第五讲：模糊线性规划

换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250
的弹性指标分别取 (元)，工时 ，工时。 50 5( ) 5( ) 第一步 解普通线性规划问题 ax m f = 7x1 + 3x2 3x1 + 2x2 ≤ 1500 f 求 0. x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
可通过引入m个松弛变量 n+1 , …, xn+m， 可通过引入 个松弛变量x 个松弛变量 将原问题化成如下标准形式： 将原问题化成如下标准形式：
m ax f = cx x A + xB = b, s.t . (x, xB ) ≥ 0.
xn+1 xn+2 xB = ⋮ x n+m
而对于线性规划问题： 而对于线性规划问题：
m f = cx in Ax ≥ b(≥ 0) s.t. x ≥ 0.
可通过引入m个松弛变量 n+1 , …, xn+m， 可通过引入 个松弛变量x 个松弛变量 将原问题化成如下标准形式： 将原问题化成如下标准形式：
xn+1 m ax f = cx xn+2 x A + (−1)xB = b, xB = s.t . ⋮ (x, xB ) ≥ 0. x n+m
二、线性规划模型解的有关概念 1 满足约束条件， x 是线 定义 若x（0） 满足约束条件，则称（0）
性规划问题的可行解。 性规划问题的可行解。 2 定义 使目标函数达到最大值 的可行解称
为最优解。 为最优解。 3 A 定义 若系数矩阵 有s个列向量 Pj1 , Pj2 ,⋯, Pjs
线性无关，则称向量组 线性无关， B = Pj1 , Pj2 ,⋯, Pjs） （ 为线性规划问题的一个 。与基对应的变量 基 称为基变量， 称为非基变量。 称为基变量，其余变量 称为非基变量。
x1 b 1 Ax = b, x 2 b2 s.t. x = b = ⋮ ⋮ x≥0指x中的每 x ≥ 0. x b 一个分量xj ≥0 n m
A = (aij )m×n ×
对于线性规划问题： 对于线性规划问题：
n
i = 1,2,⋯, n. d ≥ 其中 i (≥ 0)是适当选择的弹性参数 。
Байду номын сангаас
D 若令 = D1 ∩ D2 ∩⋯∩ Dm， ~ ~ D Ax 则可用 来代表约束条件 ≤ b， Ax ≤ b的 即 m D 的隶属函数为 ( x) = ∧ Di ( x).
D 当di = 0(i = 1,2,⋯, m)时， 就退化为普 ~ 通约束，这时“ 成为“ 通约束，这时“”成为“ ”。 ≤ ≤
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
x x 取单位向量作为基， 应的基变量为 3， 4， 取单位向量作为基，对 x x 为非基变量。 x ， 则 1， 2为非基变量。令 1 = x2 = 0 得基础 x 可行解 = (0,0,10,6),目标函数值为 f = 1.5x1 + x2 + 0x3 + 0x4 = 0 检验数中1.5， 均为正数 目标值非最优， 均为正数， 检验数中 ，1均为正数，目标值非最优，需换 基。
条件 ≥ f0，在 Cx 将目标函数转化为约束 ~ 原模糊约束下变成模糊 Cx ≥ f0 . 集
i=1 =
f 其中 0为普通线性规划m f = Cx ax 的最优值。 s.t. Ax ≤ b 的最优值。 x≥0
~ 设模糊集“ Cx 设模糊集“ ≥ f0”的隶属函数为
G( x) = g(∑ci xi )
m f = cx in x A = b(≥ 0) s.t. x ≥ 0.
等价于如下标准形式： 等价于如下标准形式：
m ax f ′ = −cx x A = b, s.t . x ≥ 0.
而对于线性规划问题： 而对于线性规划问题：
m f = cx ax Ax ≤ b(≥ 0) s.t. x ≥ 0.
由题意可建立如下模糊的弹性指标分别取模糊约束50250第一步解普通线性规划问题4001500400150040015004001500检验数无正数150第二步解普通线性规划问题4005015004051550873250第三步解综合线性规划问题155050155050多目标线性规划在相同的条件下要求多个目标函数都得到最好的满足这便是多目标规划
模糊线性规划的形式为
ax m f = Cx ~ s.t. Ax ≤ b x≥0
~ 其中“ 表示某种弹性， 其中“ ”表示某种弹性，意思 “近似小于 ≤ 是 ~ 等于” Ax m个模糊集描述的， x 等于”。 ≤ b是由 个模糊集描述的，以 0 1 Ax 界于 和 之间的某个隶属度使不 等式 ≤ b成 立。 ~ 设模糊集“ Ax ” D 设模糊集“ ≤ b 的隶属函数为 i ( x),
ax m f = 7x1 + 3x2 3x1 + 2x2 ≤ 1500 x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1
0 0 − 0.5 0.5 − 8 1 → 1 0 −1 4 0 1 −1 2 2 检验数中没有正数，目标值最优，完成计算： 检验数中没有正数，目标值最优，完成计算：
i =1
n ∑ci xi ≤ f0 0, i =1 n 1 n = 1 − (∑ci xi − f0 ), f0 < ∑ci xi ≤ f0 + d0 i =1 d0 i =1 n 1, ∑ci xi > f0 + d0 i =1 f b b 其中 0 + d0是将约束条件的限i改为 i + di后普
例 甲乙两机械每月最多约能运行分别为 400和250个工时。甲机械每工时消耗（维修、 个工时。 和 个工时 甲机械每工时消耗（维修、 折旧等） 元 但获净利润7元 折旧等）3元，但获净利润 元；乙机械每工时 消耗2元 但获净利润3元 消耗 元，但获净利润 元。甲乙两机械每月消 费总和约不得超过1500元，问如何安排两机械 费总和约不得超过 元 的运行可获得最大利润？ 的运行可获得最大利润？ 解 设 1、 1分别为甲、乙两机械运 x x 分别为甲、 行工时数， 行工时数， 规划模型： 由题意可建立如下模糊 规划模型： ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1
ax{ = m λ D1( x) ≥ λ,⋯, Dm ( x) ≥ λ, G( x) ≥ λ, λ ≥ 0}
x∈X
于是， 于是，综合线性规划为
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n)
例 求解规划问题 m f = 1.5x1 + x2 ax 2x1 + x2 + x3 = 10 s.t.x1 + x2 + x4 = 6 x , x , x , x ≥ 0 1 2 3 4 首先确定约束方程系数矩阵是一个基： 解 首先确定约束方程系数矩阵是一个基： x1 x2 x3 x4 f
4 定义 基变量非零而非基变量 为零的向量称 为基础解。 解称为基础可行解。 为基础解。可行的基础 解称为基础可行解。
三、线性规划模型解的性质 1.线性规划问题的可行解 集为凸集； 集为凸集； A x A 一个凸集 中的点 ，如果不能成为 中
任何线段的内点，则称为A的极点。 x 的极点。 任何线段的内点， 2.可行解集中的点 是极点的充分必要条件 x 是
x为基础可行解； 为基础可行解； 4.线性规划问题的最优解 必在某极点达到。 必在某极点达到。
二、线性规划问题的解法
1.图解法 2.单纯形法
根据性质3， 根据性质 ，最优解可以在基础可行解中 去找。为此，首先确定A中的一个基 然后， 中的一个基， 去找。为此，首先确定 中的一个基，然后， 由检验数是否为负来判断目标函数是否为最优。 由检验数是否为负来判断目标函数是否为最优。 如果不是，则要换基， 如果不是，则要换基，直到检验数均为负或者 零为止。 零为止。
n
通规划的最优值， d 通规划的最优值， 0表示满意程度的摆动范 。 围
D G 为兼顾模糊约束 和模糊目标 ，采用 B = D∩G 进行模糊判决， 进行模糊判决，再用最 大隶属原则求最优解
x ，使得 ∗ B( x ) = m [D( x) ∧ G( x)] ax
∗
= m λ D( x) ≥ λ, G( x) ≥ λ, λ ≥ 0} ax{
得到最优解为 x1 = 4, x2 = 2, x3 = x4 = 0, f = 8.
§5.2 模糊线性规划
普通线性规划其约束条件和目标函数都 是确定的，但在一些实际问题中， 是确定的，但在一些实际问题中，约束条件 可能带有弹性，目标函数可能不是单一的， 可能带有弹性，目标函数可能不是单一的， 必须借助模糊集的方法来处理. 必须借助模糊集的方法来处理. 模糊线性规划是将约束条件和目标函数 模糊化，引入隶属函数， 模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的 线性规划问题，它的最优解称为原问题的模 线性规划问题，它的最优解称为原问题的模 糊最优解. 糊最优解.
i = 1,2,⋯, m,为简单计，令 为简单计，
Di ( x) = fi (∑aij x j )
j =1
n 1, ∑aij xj ≤ bi j =1 n 1 n = 1− (∑aij x j − bi ), bi < ∑aij x j ≤ bi + di j =1 di j=1 n 0, ∑aij xj > bi + di j =1
第5章 模糊线性规划
§5.1 普通线性规划 普通线性规划
一、线性规划模型的基本形式 线性规划问题的数学模型是将实际问题转化 为一组线性不等式或等式约束下求线性目标函数 的最小( 值问题, 它都可以化为如下标准( 的最小(大)值问题, 它都可以化为如下标准(矩 形式： 阵)形式： m f = cx c = (c1 , c2 , … , cn ) ax