保温回扣练习6资料

保温回扣练习（6）
1．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．
2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．
3．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．
4．若函数
()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3
P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等
于 ．
5．已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F O 且倾斜角
为
3
π
的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为4，则椭圆方程
为 ．
6．ABC ∆的内角,A B 满足sin 22
A B A B a i j +-=+r r r
(单位向量,i j r r 互相垂直)，且
||a =
r
tan tan A B 的值； ⑵若sin A =2a =，求边长c ．
7.某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由.
8．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相
交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；
⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且
2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求
1
2
S S ；②若原点O 到直线TMN 2041
，求椭圆方程．
保温回扣练习（6）答案
1.910 2． 13i - 3． 45 4． 23
π
5． 2214x y += 6．解⑴因为2223||2cos sin 222
A B A B a +-=+=r ，
1cos()3
1cos()22
A B A B --+++
=， ……………3分
所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02
A B A B
A B A B +--=，
化简整理，得
13tan tan 022A B -=，故tan tan A B =13
. …………7分 (2)由(1)可知,A B 为锐角．因为sin 13
A =
，所以2tan 3A =，1
tan 2B =，
tan tan 7
tan tan()1tan tan 4
A B C A B A B +=-+=-=-
-，
sin 65
C =
…………12分 因为正弦定理sin sin a c
A C
=，所以22713
65
c =
，所以边长75
c =． ……14分 7.解法一：（I ）设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则 S=
= =
故t=1/3时，S min =
，v= =30
即，小艇以30
海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 …4分
(2)设小艇与轮船在B 处相遇
由题意可知，（vt ）2 =202 +（30 t ）2
-2·20·30t ·cos （90°-30°）， 化简得：v 2
=+900 =400+675
由于0＜t ≤1/2，即1/t ≥2, 所以当1t
=2时，
v 取得最小值131013/小时。

…10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知2
2
400600900v t t =
-+，设1
u t
=(0)u >， 于是2
2
4006009000u u v -+-=。

（*）
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，
即：22
2
6001600(900)0,9000.
v v ⎧-->⎪⎨->⎪⎩解得15330v <<。

所以v 的取值范围是(153,30)。

…16分
解法二：（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。

设小艇与轮船在C 处相遇。

在Rt OAC V 中，20cos30103OC ==o
20sin 3010AC ==o 。

又30AC t =,OC vt = 此时，轮船航行时间101
303
t =
=，330313
v == 即，小艇以303/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。

8．解⑴因为F 是AT 的中点，所以2
2a a c c
-+=，即(2)()0a c a c -+=， 又a 、0c >，所以2a c =，所以1
2
c e a ==； ……………4分 ⑵
①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，
11
NF MF
e NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴
1
2
MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴
121
2
S S =； ……8分
解法二：∵2a c =
，∴b =，椭圆方程为22
22143x y c c
+=，(,0)F c ，(4,0)T c
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c +=上，即有22
211334
y c x =-，
∴MF =
=
1111|2|222
x c c x =
=-=- 同理21
22
NF c x =-
， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴
1
2
MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴
121
2
S S =； ……8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为22
22143x y c c
+=，
由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，
又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪
⎨
⎪⎩
22002
2220022143(24)4143x y c c
x c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩2200
2222
0022143(2)1434
x y c c x c y c c +=-+= 两式相减得：2
20022
(2)3444x x c c c --=，解得07
4
x c =， ………10分
可得0y =，故直线MN
的斜率为87644
k c c ==--，……13分
直线MN
的方程为4)y x c =-
60y +-= 原点O 到直线TMN
的距离为d =
=，
41
=
，解得c=
22
1
2015
x y
+=．……16分解法二：设(,0)
F c，则椭圆方程为
22
22
1
43
x y
c c
+=，
由①知M是,N T的中点，故12
24
x x c
-=，
直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)
y k x c
=-，与椭圆联立，并消去y 得：
222
22
(4)
1
43
x k x c
c c
-
+=，整理得：222222
(43)3264120
k x ck x k c c
+-+-=，（*）
设
11
(,)
M x y，
22
(,)
N x y，依题意：
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
122
222
122
32
43
6412
43
ck
x x
k
k c c
x x
k
+=
+
-
=
+
由
⎧
⎨
⎩
2
122
12
32
43
24
ck
x x
k
x x c
+=
+
-=
解得：
⎧
⎨
⎩
2
12
2
22
164
43
164
43
ck c
x
k
ck c
x
k
+
=
+
-
=
+
所以
22222
222
1641646412
434343
ck c ck c k c c
k k k
+--
⨯=
+++
，解之得：2
5
36
k=
，即
6
k=-．直线MN
的方程为4)
6
y x c
=--
60
y
+-=
原点O到直线TMN
的距离为d==
41
=
，解得c=
故椭圆方程为
22
1
2015
x y
+=．……………16分。