3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(课件)

经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
总结
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当
双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
2.中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )
A.2x52 －y92＝1 C.1x020－3y62 ＝1
√B.2x52 －y92＝1 或2y52 －x92＝1
D.1x020－3y62 ＝1 或1y020－3x62 ＝1
经 典 例 题 题型一 根据双曲线方程研究几何性质
例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程． 解：双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，
经典例题
题型三 求双曲线的离心率
跟踪训练3
已知双曲线的一条渐近线方程为 y＝2x，则其离心率为________．
5或
5 2
解析：当焦点在 x 轴上时，ba＝2，这时离心率 e＝ac＝ 1＋22＝ 5.
当焦点在 y 轴上时，ab＝2，即ba＝12，这时离心率 e＝ac＝
1＋122＝
5 2.
当堂达标
小试牛刀
1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线ax22－by22＝1 与ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 e＝ 2.( √ ) (3)共渐近线的双曲线的离心率相同．( × ) (4)双曲线x42－y92＝1 的渐近线方程是 3x±2y＝0.( √ )
当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了； 反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线， 如具有相同的渐近线 y＝±bax 的双曲线可设为ax22－by22＝λ(λ≠0，λ∈R)， 当 λ>0 时，焦点在 x 轴上，当 λ<0 时，焦点在 y 轴上．
自主学习
二．双曲线的中心和等轴双曲线 1.双曲线的中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e＝ 2.
同理有 a2＝b2，③a52－b92＝1，④由③④得 a2＝b2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x42－y42＝1.
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
(2)设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，将点(－3,2 3)代入得 λ＝14，
∴双曲线方程为x92－1y62 ＝14，即双曲线的标准方程为x92－y42＝1. 4
课后作业
对应课后练习
当堂达标
4.已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上，C 的焦距为 4，则它的 离心率为________．
2 解析：由题意知a42－b92＝1，c2＝a2＋b2＝4，得 a＝1，b＝ 3， ∴e＝2.
当堂达标
5.求过点(2，－2)且与x22－y2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程．
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
(2)设以 y＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x42－y92＝λ(λ≠0)， 当 λ＞0 时，a2＝4λ，∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝94. 当 λ＜0 时，a2＝－9λ，∴2a＝2 －9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x92－48y12＝1 或y92－x42＝1.
易知△AF1F2 为直角三角形，则|AF1|＝12|F1F2|＝c，|AF2|＝ 3c， ∴2a＝( 3－1)c，从而双曲线的离心率 e＝ac＝1＋ 3.
经典例题
题型三 求双曲线的离心率
总结
求双曲线离心率的方法 1.若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解． 2.若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解． 3.若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r 为常数， 且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋qe＋r＝0 求解．
总结
2．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为 y＝±mn x 的双曲线方程可设为mx22－ny22＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的 方程为 Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为ax22－by22＝λ 或ay22－bx22＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为ax22－by22＝λ(λ＞0)或 ay22－bx22＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为a2x－2 λ－λ－y2b2＝1(b2＜λ＜a2)．
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围 对称性
顶点 轴长 离心率
渐近线
x≥a 或 x≤－a
y≤－a y≥a
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
实轴长＝ 2a，虚轴长＝2b e＝ac>1
y＝±bax
y＝±abx
自主学习
思考 1：椭圆与双曲线的离心率都是 e，其范围一样吗？ 不一样，椭圆的离心率 0<e<1，而双曲线的离心率 e>1. 思考 2：若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
经 典 例 题 题型一 根据双曲线方程研究几何性质
跟踪训练1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线 方程．
解：把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为4y22－3x22＝1. 由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3； c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率 e＝ac＝54；渐近线方程为 y＝±43x.
A 解析：令 y＝0，得 x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝12c2＝12×16＝8，故选 A.
当堂达标
3.已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2 5，0)，且离心率为 e＝ 25，则双曲线的标准方程为________．
1x62 －y42＝1 解析：由焦点坐标，知 c＝2 5，由 e＝ac＝ 25，可得 a＝4，所 以 b＝ c2－a2＝2，则双曲线的标准方程为1x62 －y42＝1.
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
例 2 根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点 P(3，－ 5)，离心率为 2； 解(2)：与双(1曲)若线双x9曲2－线1y的62 ＝焦1点有在共x同轴渐上近，线设其 ，方且程过为点ax(22－－3by2,22＝13()a．>0，b>0)，
∵e＝ 2，∴ac22＝2，即 a2＝b2.①又双曲线过 P(3，－ 5)，∴a92－b52＝1，② 由①②得 a2＝b2＝4，故双曲线方程为x42－y42＝1. 若双曲线的焦点在 y 轴上，设其方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
经典例题
题型三 求双曲线的离心率
例 3 如图所示，F1 和 F2 分别是双曲线ax22－by22＝1
(a＞0，b＞0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，
|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且
△F2AB 是等边三角形 ， 则双曲线的离心率为 _1_＋___3___． 解析：连接 AF1(图略)，由△F2AB 是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
y 1 x ，可得 b=2，一条渐近线为 y 1 x ，如果双曲线的焦点坐标在 x 轴上，可得 a=4，
2
2
双曲线方程为： x2 y2 1．如果双曲线的焦点坐标 在 y 轴上，可得 a=1，此时双曲线
16 4
方程为： y2 x2 1．故选：AD．
4
当堂达标
2.中心在原点，焦点在 x 轴上，且一个焦点在直线 3x－4y＋12＝0 上的等 轴双曲线的方程是（ ） A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
离心率 e＝ac＝ 313，渐近线方程为 y＝±23x.
经 典 例 题 题型一 根据双曲线方程研究几何性质
总结 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 1.把双曲线方程化为标准形式； 2.由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值； 3.由 c2＝a2＋b2 求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 第1课时
双曲线的简单几何性质
学习目标
素养目标
学科素养
1.掌握双曲线的简单几何性质.
1.直观想象
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 2.数学运算
3.可以根据双曲线几何性质求离心率和取值范围.
3.逻辑推理
自主学习
一．双曲线的几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
解：法一：当焦点在
x
轴上时，由于ba＝
2 2.
故可设方程为2xb22－by22＝1，
代入点(2，－2)得 b2＝－2(舍去)；
当焦点在 y 轴上时，可知ab＝ 22， 故可设方程为ay22－2xa22＝1，
代入点(2，－2)得 a2＝2. 所以所求双曲线方程为y22－x42＝1.
当堂达标
法二：因为所求双曲线与已知双曲线x22－y2＝1 有相同的渐近线， 故可设双曲线方程为x22－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2，－2)得 λ＝－2， 所以所求双曲线的方程为x22－y2＝－2， 即y22－x42＝1.
1.（多选）设中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 的虚轴长为 4，
一条渐近线为 y 1 x ，则双曲线 C 的标准方程可以为（ ）
2
A． y2 x2 1 B． x2 y2 1
4
4 16
C． x2 y2 1 D． x2 y2 1
4
16 4
AD 解析：中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 的虚轴长为 4，一条渐近线为
经典例题
跟踪训练2
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝±32x.
解：(1)设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知 2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.