浙江省温州市平阳二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析

2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
1．设A={x∈Z|x≤5}，B={x∈Z|x＞1}，那么A∩B等于（）
A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5} C．{2，3，4} D．{x|1＜x≤5}
2．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）
A．﹣1 B．C．D．
3．f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）
A．{2} B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]
4．已知a=，b=，c=1.10.7，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
5．下列函数在（﹣∞，0）上不是增函数的是（）
A．f（x）=1﹣B．y=2x C．y=x3D．f（x）=|x|
6．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）
A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣1
8．函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）
A．B．C． D．
9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有
．则（）
A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）
A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}
二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）
11．已知f（2x+1）=x，则f（x）=．
12．855°角的终边在第象限．
13．若集合M⊆{1，2，3}，则这样的集合M共有个．
14．计算：=．
15．将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是．
16．函数的定义域为．
17．已知函数f（x）=若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f （x2），则x1f（x2）的取值范围是．
三、解答题（本大题共4小题，共42分）
18．已知全集U=R，集合A={x|x＜3或x＞4}，B={x|4＜x＜5}．
（1）求（∁U A）∪B；
（2）已知C={x|x≥a}，若C∩B≠∅，求实数a的取值范围．
19．已知函数y=a x在[﹣1，0]上的最大值与最小值的和为3．
（1）求a的值．
（2）若1≤a x＜16，求x的取值范围．
20．已知函数f（x）=是奇函数：
（1）求实数a和b的值；
（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
（3）解不等式f（x2﹣x+2）＜f（4）
21．已知二次函数f（x）=x2+bx+c的定义域为R，且f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值（1）求f（x）的解析式，用m表示
（2）当x∈[﹣2，1]时，f（x）≥﹣3恒成立，求实数m的取值范围．
2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
1．设A={x∈Z|x≤5}，B={x∈Z|x＞1}，那么A∩B等于（）
A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5} C．{2，3，4} D．{x|1＜x≤5}
【考点】交集及其运算．
【专题】常规题型．
【分析】结合A，B中的元素是整数的特点，运用交集的概念直接求A与B的交集．
【解答】解：由A={x∈Z|x≤5}，B={x∈Z|x＞1}，得A∩B={x∈Z|1＜x≤5}={2，3，4，5}．
故选B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了交集的概念，是基础题．
2．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）
A．﹣1 B．C．D．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．
【解答】解：f（x）=，则f（f（﹣2））=f（2﹣2）=f（）=1﹣=1﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
3．f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）
A．{2} B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】根据二次函数的图象，可得f（x）在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数．由此结合题意建立关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称，
∴函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数
∵在（﹣∞，1]上f（x）是增函数
∴1≤，解之得m≥2
故选：C
【点评】本题给出二次函数在给定区间上为增函数，求参数m的取值范围，着重考查了二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．
4．已知a=，b=，c=1.10.7，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值；不等关系与不等式．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数函数对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵0=log0.71＜log0.70.8＜log0.70.7=1，log1.10.7＜log1.11=0，1.10.7＞1.10=1，
∴b＜a＜c．
故选B．
【点评】熟练掌握指数函数函数对数函数的单调性是解题的关键．
5．下列函数在（﹣∞，0）上不是增函数的是（）
A．f（x）=1﹣B．y=2x C．y=x3D．f（x）=|x|
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】直接根据各类函数的性质，对各个选项作出单调性的判断，用到幂函数，指数函数，绝对值函数的图象和性质．
【解答】解：根据各类函数的性质对各选项判断如下：
A选项，函数f（x）=1﹣在（﹣∞，0）单调递增，因为y=在该区间递减；
B选项，指数函数f（x）=2x在（﹣∞，0）单调递增；
C选项，幂函数f（x）=x3在（﹣∞，0）单调递增；
D选项，绝对值函数f（x）=|x|在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断和单调区间的确定，涉及指数函数，对数函数，绝对值函数的单调性，属于基础题．
6．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】紧扣函数零点的判定定理即可．
【解答】解：函数f（x）=lnx﹣在（0，+∞）上连续，
且f（1）=﹣2＜0，
f（2）=ln2﹣1＜0，
f（3）=ln3﹣＞0．
故选C．
【点评】本题考查了函数零点的判定定理，属于基础题．
7．已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）
A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣1
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】利用对数的幂的运算法则及积的运算法则将log38﹣2log36用log32，从而用a表示．【解答】解：∵log38﹣2log36
=3log32﹣2（1+log32）
=log32﹣2
=a﹣2
故选B．
【点评】解决对数的化简、求值题时，先判断出各个对数的真数的形式，再选择合适对数的运算法则化简．
8．函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）
A．B．C． D．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】作图题；运动思想．
【分析】根据0＜a＜1，判断出函数的单调性，即y=log a x在（0，+∞）上单调递减，故排除C，D，而函数y=log a（x﹣1）的图象是由y=log a x的图象向右平移一个单位得到，得到答案．【解答】解：∵0＜a＜1，
∴y=log a x在（0，+∞）上单调递减，
又∵函数y=log a（x﹣1）的图象是由y=log a x的图象向右平移一个单位得到，
故选A．
【点评】此题是个基础题．考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，有效考查了学生对基础知识、基本技能的掌握程度．
9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有
．则（）
A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，
+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项
【解答】解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．
∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，
又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．
且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，
由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大
∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．
10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）
A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，
令x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）
∴f（x）=﹣x2﹣3x，
∴
∵g（x）=f（x）﹣x+3
∴g（x）=
令g（x）=0，
当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，
当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，
∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．
二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）
11．已知f（2x+1）=x，则f（x）=x﹣．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】变形为f（2x+1）=x=，即可得到．
【解答】解：∵f（2x+1）=x=，
则f（x）=x﹣．
故答案为：x﹣．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，考查了计算能力，属于基础题．
12．855°角的终边在第二象限．
【考点】象限角、轴线角．
【专题】对应思想；转化法；三角函数的求值．
【分析】判断角的范围，写出结果即可．
【解答】解：855°∈（720°+90°，720°+180°），所以角的终边在第二象限角．
故答案为：二．
【点评】本题考查象限角的表示，基本知识的考查．
13．若集合M⊆{1，2，3}，则这样的集合M共有8个．
【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】根据集合中元素的个数确定集合的子集的个数．
【解答】解：∵集合{1，2，3}的子集有23=8个，集合M⊆{1，2，3}，
∴集合M⊆{1，2，3}，则这样的集合M共有8个，
故答案为：8
【点评】本题给出集合的包含关系，求满足条件集合M的个数．考查了集合的包含关系的理解和子集的概念等知识，属于基础题．
14．计算：=．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．
【解答】解：=+1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．
15．将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是．
【考点】弧度制．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．
【解答】解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π
将分针拨慢是逆时针旋转
∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=
故答案为：．
【点评】本题考查弧度的定义，一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．16．函数的定义域为{x|x＞2且x≠3}．
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】根据对数函数及分式有意义的条件可得，解不等式可得
【解答】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
【点评】本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常考的基础型．17．已知函数f（x）=若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f
（x2），则x1f（x2）的取值范围是[，）．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先作出函数图象然后根据图象可得要使存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f （x2）则必有0≤x1＜且x+在[0，）的最小值大于等于2x﹣1在[，2）的最小值从而得出x1的取值范围然后再根据x1f（x2）=x1f（x1）=+即问题转化为求y=+在x1的取值范上的值域．
【解答】解：作出函数的图象：
∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）
∴0≤x1＜
∵x+在[0，）上的最小值为；2x﹣1在[，2）的最小值为
∴x1+≥，x1≥
∴≤x1＜
∵f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）
∴x1f（x2）=x1f（x1）=+
令y=+（≤x1＜）
∴y=+为开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线
∴y=+在区间[，）上递增
∴当x=时y=
当x=时y=
∴y∈[，）
即x1f（x2）的取值范围为[，）
故答案为[，）
【点评】本题主要考查了利用一元二次函数的单调性求函数的值域，属常考题，较难．解题
的关键是根据函数的图象得出x1的取值范围进而转化为y=+在x1的取值范上的值域即为所求同时一元二次函数的单调性的判断需考察对称轴与区间的关系这要引起重视！
三、解答题（本大题共4小题，共42分）
18．已知全集U=R，集合A={x|x＜3或x＞4}，B={x|4＜x＜5}．
（1）求（∁U A）∪B；
（2）已知C={x|x≥a}，若C∩B≠∅，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．
【分析】（1）直接利用补集、并集运算得答案；
（2）由C∩B≠∅，结合两集合端点值间的关系列不等式得答案．
【解答】解：（1）∵A={x|x＜3或x＞4}，B={x|4＜x＜5}，
∴∁U A={x|3≤x≤4}，
∴（∁U A）∪B={x|3≤x＜5}；
（2）∵C={x|x≥a}，若C∩B≠∅，
则a＜5．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，关键是利用集合间的关系列不等式，是基础题．
19．已知函数y=a x在[﹣1，0]上的最大值与最小值的和为3．
（1）求a的值．
（2）若1≤a x＜16，求x的取值范围．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由指数函数的性质可得，y=a x在[﹣1，0]单调可得a﹣1+a0=3，可求，
（2）由指数函数的单调性质，即可求出x的范围．
【解答】解：（1）由指数函数的性质可得，y=a x在[﹣1，0]单调，
∵函数y=a x在[﹣1，0]上的最大值与最小值的和为3，
∴a﹣1+a0=3
∴a=，
（2）由（1）值，y=，
∵1≤a x＜16，
∴=1≤＜16=，
∴﹣4＜x≤0，．
【点评】本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础试题，但若本题中给出的是最大值与最小值的差，就需要对a分a＞1，0＜a＜1两种情况讨论了
20．已知函数f（x）=是奇函数：
（1）求实数a和b的值；
（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
（3）解不等式f（x2﹣x+2）＜f（4）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明．
（3）根据函数单调性的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，
∴f（0）=0，
则a=0，即f（x）=，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即=﹣，
即x2﹣bx+1=x2+bx+1，
即﹣b=b，得b=0，
即a=b=0；
（2）∵a=b=0，∴f（x）=，
设1＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣
==，
∵1＜x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，则1﹣x1x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），
即y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
（3）x2﹣x+2=（x﹣）2+＞1，
∵y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
∴不等式f（x2﹣x+2）＜f（4）等价为x2﹣x+2＞4，
即x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用，利用定义法是证明函数单调性的基本方法．
21．已知二次函数f（x）=x2+bx+c的定义域为R，且f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值（1）求f（x）的解析式，用m表示
（2）当x∈[﹣2，1]时，f（x）≥﹣3恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值，用m表示b，c可得答案；
（2）分别讨论给定区间与对称轴的位置关系，结合f（x）≥﹣3恒成立，综合讨论结果，可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）在x=m时取得最值，
∴﹣=m，即b=﹣2m，
又∵f（1）=1，即1﹣2m+c=1，
∴c=2m，
∴f（x）=x2﹣2mx+2m；
（2）由函数f（x）=x2﹣2mx+2m的图象是开口朝上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，
且当x∈[﹣2，1]时，f（x）≥﹣3恒成立，则：
当m≤﹣2时，仅须f（﹣2）=6m+4≥﹣3，解得：m≥，此时不存在满足条件的m值；
当﹣2＜m＜1时，仅须f（m）=2m﹣m2≥﹣3，解得：﹣1≤m≤3，此时：﹣1≤m＜1；
当m≥1时，仅须f（1）=1≥﹣3，解得：m≥1；
综上所述：m≥﹣1．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。