高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件文新人教A版
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2021版新高考数学一轮复习第九章9.1基本公式直线的斜率与直线方程课件新人教B版
B.k3<k1<k2
C.k1<k3<k2
D.k3<k2<k1
3.(2020·石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是
()
A.[0, ] 4
C.[0，] ( ，) 42
B.[3 , ) 4
D.[，) [3 , ) 42 4
4.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
4 42
2.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线 的方程为________.
【解析】设所求直线的方程为 x y =1.
ab
因为A(-2,2)在直线上,所以- 2＋2 =1.①
ab
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,
所以 1 |a|·|b|=1.②
2
由①②可得(i)
2.直线的斜率
(1)若直线l的倾斜角α≠ ，则l的斜率k=__t_a_n__α_.
2
y2 y1
(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=__x_2___x_1 __.
3.直线方程的五种形式
【常用结论】
1.直线倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.
【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的
横截距为a2+2,所以四边形的面积S= 1 ×2(2-a)+
2
= (a 1)2＋15 .又0<a<2,所以当a= 1 时面积最小.
24
2
答案: 1
2
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理
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第二十六页，共五十页。
(2)由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为xa＋12－y a＝1， 又直线过点(－3，4)，从而－a3＋124－a＝1，解得 a＝－4 或 a＝9. 故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x－5＝0 满足题意； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y－10＝k(x－5)，即 kx－y＋10－5k＝0. 由点线距离公式，得|10k－2＋5k1|＝5，解得 k＝34. 故所求直线方程为 3x－4y＋25＝0. 综上12，/11/2所021 求直线方程为 x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0.
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第十八页，共五十页。
【迁移探究 1】 (变条件)若将本例(2)中 P(1，0)改为 P(－1，0)，其他条件不变，求直
线 l 斜率的取值范围． 解：因为 P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)，所以 kAP＝2－（1－－01）＝13，
kBP＝0－（3－－01）＝ 3.
如图可知，直线 l 斜率的取值范围为13，
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第二十五页，共五十页。
【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0≤α＜π)， 从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4)， 即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
3.
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第十九页，共五十页。
【迁移探究 2】 (变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求 直线 l 倾斜角的范围． 解：如图，直线 PA 的倾斜角为 45°，直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角 的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．
高三数学一轮复习课件9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
点N在x轴上,则直线MN的方程为
.
思考求直线方程时应注意什么?
答案: (1)x+2y+1=0 或 2x+5y=0 (2)√3x-y+6=0 (3)5x-2y-5=0
-19-
考点1
考点2
考点3
解析 (1)①当横截距、纵截距均为零时,
设所求的直线方程为 y=kx(k≠0),将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=-25, 此时,直线方程为 y=-25x.即 2x+5y=0.
截距式 纵、横截距
������ ������
+
������������=1
适用条件 与 x 轴不垂 直的直线 与两坐标轴均 不垂直的直线 不过原点且与 两坐标轴均不 垂直的直线
一般式
Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 所有直线
-8-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.常用结论
(1)过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的特殊直线方程 ①当x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1; ②当x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1; ③当x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为x=0; ④当x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0. (2)直线系方程
②当横截距、纵截距都不为零时,
设所求直线方程为 ������
2������
+
������������=1(a≠0),
将(-5,2)代入所设方程,解得 a=-12,
此时,直线方程为 x+2y+1=0.
综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第1节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(
A.
C.
)
π 3π
,
4 4
π 3π
π
0, 4 ∪ 2 , 4
B.
D.
π 3π
,
4 4
π 3π
π π
, ∪ 2, 4
4 2
(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则
直线l的斜率k的取值范围是(
A.
C.
3
,
2
4
3
, +∞
4
)
B.
3
−∞, 4
D.(-∞,2)
π
,π
2
时也是如此,但当 α∈
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
斜截式
纵截距,斜率
y=kx+b
点斜式
过一点,斜率
y-y0=k(x-x0)
过两点
y-y 1
y 2 -y 1
截距式
纵、横截距
x
a
一般式
—
Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面内所有直线都适用
两点式
+
适用条件
=
x-x 1
x 2 -x 1
综上,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
突破方法1.求解直线方程的2种方法
直接法 根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
①设所求直线方程的某种形式;
待定系 ②由条件建立所求参数的方程(组);
数法
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程
2.谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在;
A.
C.
)
π 3π
,
4 4
π 3π
π
0, 4 ∪ 2 , 4
B.
D.
π 3π
,
4 4
π 3π
π π
, ∪ 2, 4
4 2
(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则
直线l的斜率k的取值范围是(
A.
C.
3
,
2
4
3
, +∞
4
)
B.
3
−∞, 4
D.(-∞,2)
π
,π
2
时也是如此,但当 α∈
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
斜截式
纵截距,斜率
y=kx+b
点斜式
过一点,斜率
y-y0=k(x-x0)
过两点
y-y 1
y 2 -y 1
截距式
纵、横截距
x
a
一般式
—
Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面内所有直线都适用
两点式
+
适用条件
=
x-x 1
x 2 -x 1
综上,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
突破方法1.求解直线方程的2种方法
直接法 根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
①设所求直线方程的某种形式;
待定系 ②由条件建立所求参数的方程(组);
数法
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程
2.谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在;
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
解 (方法 1)设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),则可得
2-1
A( ,0),B(0,1-2k).
∵直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,
∴
2-1
> 0,
解得 k<0.
1-2 > 0,
∴|MA|·|MB|=
1
2
+ 1 ·√4 + 4 2 =
k<0,即 k=-1 时,等号成立.
(4)已知△ABC的顶点A(2,3),边AC,AB的中线方程分别为x-3y=0,5x+6y14=0,求直线BC的方程.
解 (1)当直线过原点时,方程为
当直线 l
3
y= x,即
2
不过原点时,设直线方程为
−
3x-2y=0.
=1.
将 P(2,3)代入方程,得 a=-1,所以直线 l 的方程为 x-y+1=0.
+2
上,则 2
−
32-5
=0,解得
4
c=4,所以点 C 的坐标为
(4,-1).
直线 BC 的斜率为
-1-0 1
k= 4-0 =-4,因此直线
BC 的方程为
1
y=-4x,即
x+4y=0.
规律方法 求直线方程的两种方法
考点三
直线方程的综合应用
例题已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B
3
故直线
1
l 的斜率的取值范围是[ , √3].
3
引申探究2(变条件变结论)若将本题组(2)中的B(0, √3 )改为B(2,-1),其他条
2-1
A( ,0),B(0,1-2k).
∵直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,
∴
2-1
> 0,
解得 k<0.
1-2 > 0,
∴|MA|·|MB|=
1
2
+ 1 ·√4 + 4 2 =
k<0,即 k=-1 时,等号成立.
(4)已知△ABC的顶点A(2,3),边AC,AB的中线方程分别为x-3y=0,5x+6y14=0,求直线BC的方程.
解 (1)当直线过原点时,方程为
当直线 l
3
y= x,即
2
不过原点时,设直线方程为
−
3x-2y=0.
=1.
将 P(2,3)代入方程,得 a=-1,所以直线 l 的方程为 x-y+1=0.
+2
上,则 2
−
32-5
=0,解得
4
c=4,所以点 C 的坐标为
(4,-1).
直线 BC 的斜率为
-1-0 1
k= 4-0 =-4,因此直线
BC 的方程为
1
y=-4x,即
x+4y=0.
规律方法 求直线方程的两种方法
考点三
直线方程的综合应用
例题已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B
3
故直线
1
l 的斜率的取值范围是[ , √3].
3
引申探究2(变条件变结论)若将本题组(2)中的B(0, √3 )改为B(2,-1),其他条
高考数学总复习 第9章 解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文 新人教A版
l
的倾
斜角
α
的范围．
[听前试做] (1)直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α，因
为 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23，因此 k＝2·cos α∈[1， 3 ]．设 直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3 ]．又 θ∈[0，π)，所以 θ
∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.
)
(3)倾斜角越大，斜率越大．(
)
(4) 经 过 点
示．(
)
P(x0， y0)的直线都可以用方程
y－ y0＝ k(x－ x0)表
和过原点的直线
答案：60°
平面直角坐标系内 的直线都适用
Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A2 ＋ [典题3] 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半 轴分别交于 A，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值 及此时直线 l 的方程．
0.
Hale Waihona Puke ②若 a≠0，设所求直线的方程为x a＋a y＝1， 又点(3,4)在直线上，∴3 a＋4 a＝1，∴a＝7. ∴直线的方程为 x＋y－7＝0. 综合①②可知所求直线的方程为 4x－3y＝0 或 x＋y－7＝
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)．
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单
调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两
种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当 α∈0，π2时，斜率
k∈[0，＋∞)；当 α＝π2时，斜率不存在；当 α∈π2，π时，斜率
k∈(－∞，0)．
[典题
2]
高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件文北师大版2
点斜式 过一点,斜率 y-y0=k(x-x0)
两点式 过两点
截距式 纵、横截距
一般式
-1
2 -1
=
-1
2 -1
+ =1
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
适用条件
与 x 轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直的
直线
不过原点,且与两坐标轴
均不垂直的直线
平面内所有直线都适用
-4知识梳理
+4
(2)若直线过(0,0)点,则-4-m=0,则 m=-4,令 x=0,则 y= 2 ,
+4
+4
+4
再令 y=0,则 x= ,由在 x 轴,y 轴上的截距相等,得 2 = ,
解得 m=2.综上 m=2 或 m=-4.故选 C.
3
3
(3)对于直线 mx+ny+3=0,令 x=0 得 y=- ,故- =-3,∴n=1.
-6知识梳理
考点自诊
2.(202X河南郑州一中月考,2)点(√3,4) 在直线l:ax-y+1=0上,则直
线l的倾斜角为( C )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:∵点(√3,4)在直线 l:ax-y+1=0 上,∴√3a-4+1=0,
∴a=√3,即直线 l 的斜率为√3,直线 l 的倾斜角为 60°.故选 C.
2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.
-19考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)(202X山东青岛二模,10)已知直线l经过两条直线
l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l
两点式 过两点
截距式 纵、横截距
一般式
-1
2 -1
=
-1
2 -1
+ =1
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
适用条件
与 x 轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直的
直线
不过原点,且与两坐标轴
均不垂直的直线
平面内所有直线都适用
-4知识梳理
+4
(2)若直线过(0,0)点,则-4-m=0,则 m=-4,令 x=0,则 y= 2 ,
+4
+4
+4
再令 y=0,则 x= ,由在 x 轴,y 轴上的截距相等,得 2 = ,
解得 m=2.综上 m=2 或 m=-4.故选 C.
3
3
(3)对于直线 mx+ny+3=0,令 x=0 得 y=- ,故- =-3,∴n=1.
-6知识梳理
考点自诊
2.(202X河南郑州一中月考,2)点(√3,4) 在直线l:ax-y+1=0上,则直
线l的倾斜角为( C )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:∵点(√3,4)在直线 l:ax-y+1=0 上,∴√3a-4+1=0,
∴a=√3,即直线 l 的斜率为√3,直线 l 的倾斜角为 60°.故选 C.
2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.
-19考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)(202X山东青岛二模,10)已知直线l经过两条直线
l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l
高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 C 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－CA>0，在 y 轴上的截距
－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
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第十三页，共四十六页。
5．直线 2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是________． 解析：∵α∈π6，π3，∴12≤cos α≤ 23，∴k＝2cos α∈[1， 3]，即 tan θ∈[1， 3]， 所以倾斜角的取值范围是π4，π3. 答案：π4，π3
12/11/2021
第二十三页，共四十六页。
2．斜率的两种求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某个三角函数值，一般根据 k＝tan α 求斜 率． (2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据公式 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2) 求斜率．
12/11/2021
第二十二页，共四十六页。
►名师点津 ——————————————————— 1．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数 k＝tan α 的单调性，当 α 取值是在0，π2，即由 0 增大到π2α≠π2时，k 由 0 增大到＋∞，当 α 取值在π2，π时，即 由π2α≠π2增大到 π(α≠π)时，k 由－∞增大到 0.
D.π3，π2
第十八页，共四十六页。
解析：选 B 由题意，可作两直线的图象，如图所示，
从图中可以看出，直线 l 的倾斜角的取值范围为π6，π2.故选 B.
12/11/2021
第十九页，共四十六页。
2．记直线 l：2x－y＋1＝0 的倾斜角为 α，则sin12α＋tan 2α 的值为________． 解析：∵直线 l：2x－y＋1＝0 的斜率为 2，∴tan α＝2， ∴sin 2α＝s2ins2inα＋αccooss2αα＝1＋2tatnanα2α＝12＋×222＝45， tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×222＝－43， ∴sin12α＋tan 2α＝54－43＝－112. 1答2/11案/2021：－112
新教材高考数学一轮复习第九章9-1直线的倾斜角斜率与直线的方程课件新人教版
第一节 直线的倾斜角、 斜率与直线的方程
【教材回扣】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l
向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线l倾斜角的范围是_[_0_°_，__1_8_0_°__)_ ．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝__ta_n_α____．
解析：∵直线2x＋y－5＝0斜率为－2， ∴与直线2x＋y－5＝0垂直的斜率为12. ∴过点A(3，0)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为： y－0＝12(x－3)，即x－2y－3＝0. 故选A.
3．已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经 过两边AB和AC的中点的直线的方程是________．
答案：x＋2y－9＝0 解析：两边AB和AC的中点分别为(6，32)，(1，4)， ∴所求的直线的方程是y－4＝632−−41(x－1)， 即x＋2y－9＝0.
3．已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经 过两边AB和AC的中点的直线的方程是________．
答案：x＋2y－9＝0 解析：两边AB和AC的中点分别为(6，32)，(1，4)， ∴所求的直线的方程是y－4＝632−−41(x－1)， 即x＋2y－9＝0.
题型一 直线的倾斜角与斜率
[例1] (1)直线2x cos α－y－3＝0(α∈[π6 ， π3])的倾斜角的取值范围
是( )
A．[π6 ， π3]
B．[π4 ， π3]
C．[π4 ， π2]
D．[π4 ， 23π]
答案：B
解析：直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
【教材回扣】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l
向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线l倾斜角的范围是_[_0_°_，__1_8_0_°__)_ ．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝__ta_n_α____．
解析：∵直线2x＋y－5＝0斜率为－2， ∴与直线2x＋y－5＝0垂直的斜率为12. ∴过点A(3，0)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为： y－0＝12(x－3)，即x－2y－3＝0. 故选A.
3．已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经 过两边AB和AC的中点的直线的方程是________．
答案：x＋2y－9＝0 解析：两边AB和AC的中点分别为(6，32)，(1，4)， ∴所求的直线的方程是y－4＝632−−41(x－1)， 即x＋2y－9＝0.
3．已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经 过两边AB和AC的中点的直线的方程是________．
答案：x＋2y－9＝0 解析：两边AB和AC的中点分别为(6，32)，(1，4)， ∴所求的直线的方程是y－4＝632−−41(x－1)， 即x＋2y－9＝0.
题型一 直线的倾斜角与斜率
[例1] (1)直线2x cos α－y－3＝0(α∈[π6 ， π3])的倾斜角的取值范围
是( )
A．[π6 ， π3]
B．[π4 ， π3]
C．[π4 ， π2]
D．[π4 ， 23π]
答案：B
解析：直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件
又高线经过点 A，所以其直线方程为 x－y＋2＝0.
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2．过点 M(－1，－2)作一条直线 l，使得 l 夹在两坐标轴之间 的线段被点 M 平分，则直线 l 的方程为________． 解析：由题意，可设所求直线 l 的方程为 y＋2＝k(x＋1)(k≠0)， 直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，则 A2k－1，0，B(0， k－2)．因为 AB 的中点为 M，所以－2＝2k－1，解得 k＝－2.
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【解析】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0＜α＜π)， 从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4)．即直线方程为 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
椭 圆 性质．
会解决直线与椭圆的位置关系的问题.
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第九章 平面(píngmiàn)解析几何
知识点
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了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性 双曲线
质，了解直线与双曲线的位置关系.
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几
抛物线 何性质．
会解决直线与抛物线的位置关系的问题.
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[提醒] 求倾斜角时要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法 ①定义法：若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值，一 般根据 k＝tan α 求斜率． ②公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据 斜率公式 k＝xy22－－xy11(x1≠x2)求斜率．