(完整版)苏科版八年级数学下册期中试卷及答案

(完整版)苏科版八年级数学下册期中试卷及答案
一、选择题
1．下列调查中，最不适合普查的是（ ）
A ．了解一批灯泡的使用寿命情况
B ．了解某班学生视力情况
C ．了解某校初二学生体重情况
D ．了解我国人口男女比例情况
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，5AB =，6AC =，过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则BDE ∆的面积为（ ）
A ．22
B ．24
C ．48
D ．44
3．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AB ＝4，BC ＝3，则四边形CODE 的周长是（ ）
A ．5
B ．8
C ．10
D ．12
4．一个事件的概率不可能是（ ）
A ．32
B ．1
C ．23
D ．0
5．如果把分式a a b
-中的a 、b 都扩大2倍，那么分式的值一定（ ） A ．是原来的2倍 B ．是原来的4倍
C ．是原来的12
D ．不变 6．如图，▱ABCD 的周长为22m ，对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 与AC 垂直的直线交边AD 于点
E ，则△CDE 的周长为（ ）
A ．8cm
B ．9cm
C ．10cm
D ．11cm 7．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A ．等腰三角形
B ．平行四边形
C ．线段
D ．正方形
8．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF CE
⊥交AB于点F，若2
DE=，矩形ABCD的周长为16，且CE EF
=，求AE的长( )
A．2B．3C．4D．6
9．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（）
A．调查某市成年人的学历水平B．调查某批次日光灯的使用寿命
C．调查市场上矿泉水的质量情况D．了解某个班级学生的视力情况
10．下列判断正确的是（）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．两组邻边相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是___．
12．若分式x3
x3
-
-
的值为零，则x=______．
13．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=6，BD=8，AB=x，那么x 的取值范围是__________．
14．一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组的数据的个数分别为2、8、15、5，则第5组的频率为______。

15．若点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，则y1，y2的大
小关系是y1_____y2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，P为AD上一动点，把△ABP沿BP翻折，使点A落在点F处，连接CF，若BF＝CF，则AP的长为_____．
17．2，则该正方形的边长为_____．
18．方程x2=0的解是_______．
19．▱ABCD的周长是32cm，∠ABC的平分线交AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB的长为_____．
20．如图，在□ABCD中，AB＝7，AD＝11，DE平分∠ADC，则BE＝_
_．
三、解答题
21．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，
PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
22．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，DE是ABC的中位线，AF是ABC的中线．求证DE＝AF．
证法1：∵DE是ABC的中位线，
∴DE＝．
∵AF是ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝，
∴DE ＝AF ．
请把证法1补充完整，连接EF ，DF ，试用不同的方法证明DE ＝AF
证法2：
23．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．
（1）求证：BG =DE ；
（2）若E 为AD 中点，FH =2，求菱形ABCD 的周长．
24．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，则BG 与DH 有怎样数量关系？证明你的结论．
25．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB ，A ，B 均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB 为对角线画一个面积最小的菱形AEBF ，且E ，F 为格点；
（2）在（1）中该菱形的边长是 ，面积是 ；
（3）以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E ，F 为格点，则可画 个菱形．
26．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG 、DF ．
（1）求证：BD DF =；
（2）求证：四边形BDFG 为菱形；
（3）若13AG =，6CF =，求四边形BDFG 的周长．
27．如图，点P 为ABC ∆的BC 边的中点，分别以AB 、AC 为斜边作Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，且BAD CAE α∠=∠=，DPE β∠=．
（1）求证：PD PE =．
（2）探究：α与β的数量关系，并证明你的结论．
28．（数学实验）小明在学习轴对称一章角平分线一节后，做了一个实验：
第一步：如图1在一张纸上画了一个平角∠AOB ；
第二步：如图2在平角∠AOB 内画一条射线，沿着射线将平角∠AOB 裁开；
第三步：如图3将∠AO'C'放在∠COB 内部，使两边分别与OB 、OC 相交，且O'A ＝O'C'； 第四步：连接OO'， 测量∠COB 度数和∠COO'度数．
（数学发现与证明）通过以上实验，小明发现OO'平分∠COB ． 你能根据小明的实验给出的条件：（1）∠AO'C'与∠COB 的关系是 ；（2）线段O'A 与O'C'的关系是 ． 请您结合图3将小明的实验条件和发现结论完成下面“已知”“求证”，并给出证明．
已知：
求证：
证明：
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．
【详解】
A、了解一批灯泡的使用寿命情况，适合采用抽样调查，所以A选项符合题意；
B、了解某班学生视力情况，适合采用普查，所以B选项不合题意；
C、了解某校初二学生体重情况，适合采用普查，所以C选项不合题意；
D、了解我国人口男女比例情况，适合采用普查，所以D选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．2．B
解析：B
【分析】
先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可.
【详解】
解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
在RT△BCO中，4
=，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=1
24 2
DE BD
⋅=．
故答案为B.
【点睛】
此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
由矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，易证得四边形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的长，继而求得OC的长，则可求得答案.
【详解】
解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°
∴OC＝OD，
∴四边形CODE是菱形
∵AB＝4，BC＝3
5
AC
∴=
∴OC＝5 2
∴四边形CODE的周长＝4×5
2
＝10
故选：C.
【点睛】
本题考查菱形的判定，运用勾股定理解三角形，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键.
4．A
解析：A
【分析】
根据概率的意义知，一件事件的发生概率最大是1，所以只有A项是错误的，即找到正确选项．
【详解】
∵必然事件的概率是1，不可能事件的概率为0，
∴B、C 、D 选项的概率都有可能， ∵32
＞1， ∴A 不成立．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了概率的定义，正确把握各事件的概率是解题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
把2a 、2b 代入分式，然后进行分式的化简计算，从而与原式进行比较得出结论．
【详解】
解：把2a 、2b 代入分式可得
22222()a a a a b a b a b
==---， 由此可知分式的值没有改变，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时扩大或者缩小相同的倍数，分式的值不变.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，AO ＝CO ，可得AD+CD ＝11cm ，由线段垂直平分线的性质可得AE ＝CE ，即可求△CDE 的周长＝CE+DE+CD ＝AE+DE+CD ＝AD+CD ＝11cm ．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AO ＝CO ，
又∵EO ⊥AC ，
∴AE ＝CE ，
∵▱ABCD 的周长为22cm ，
∴2（AD+CD ）＝22cm
∴AD+CD ＝11cm
∴△CDE 的周长＝CE+DE+CD ＝AE+DE+CD ＝AD+CD ＝11cm
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用平行四边形的性质是本
题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可.
【详解】
等腰三角形是轴对称图形,故A 错误;
平行四边形不是轴对称图形,故B 正确;
线段是轴对称图形,故C 错误;
正方形是轴对称图形,故D 错误;
故答案为:B.
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的判断,针对平常所熟悉的图形的理解进行分析,要注意平行四边形的特殊.
8．B
解析：B
【分析】
易证△AEF ≌△ECD ，可得AE=CD ，由矩形的周长为16，可得2(AE+DE+CD)=16，可求AE 的长度．
【详解】
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵EF ⊥CE ，
∴∠CEF=90°，
∴∠CED+∠AEF=90°，
∵∠CED+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠AEF ，
在△AEF 和△DCE 中，
A D AEF DCE EF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△DCE(AAS)，
∴AE=DC ，
由题意可知：2(AE+DE+CD)=16，DE=2，
∴2AE=6，
∴AE=3；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定以及直角三角形的性质等知识，熟练掌
握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少分析解答即可．
【详解】
A. 调查某市成年人的学历水平工作量比较大，宜采用抽样调查；
B. 调查某批次日光灯的使用寿命具有破坏性，宜采用抽样调查；
C. 调查市场上矿泉水的质量情况具有破坏性，宜采用抽样调查；
D. 了解某个班级学生的视力情况工作量比较小，宜采用全面调查．
故选D．
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．A
解析：A
【分析】
利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可.
【详解】
A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误
C、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误
故选：A.
【点睛】
本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.
二、填空题
11．（﹣5， 3）
【详解】
解：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）．
故答案为: （﹣5， 3）．
解析：（﹣5， 3）
【详解】
解：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）．
故答案为: （﹣5， 3）．
12．-3
【分析】
分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【详解】
依题意，得
|x|-3=0且x-3≠0，
解得，x=-3．
故答案是:-3.
【点睛】
考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零
解析：-3
【分析】
分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【详解】
依题意，得
|x|-3=0且x-3≠0，
解得，x=-3．
故答案是:-3.
【点睛】
考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为
0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．1<x<7
【解析】
因为平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC=3，OB=OD=4，所以4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，故答案为1＜x＜7.
解析：1<x<7
【解析】
因为平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC=3，OB=OD=4，所以4-3＜x＜4+3，即
1＜x＜7，故答案为1＜x＜7.
14．4
【解析】
【分析】
根据总数计算出第5组的频数，用第5组的频数除以数据总数就是第五组的频率．
【详解】
解：第5组的频数：50-2-8-15-5=20，
频率为：20÷50=0.4，
故答案为：
解析：4
【解析】
【分析】
根据总数计算出第5组的频数，用第5组的频数除以数据总数就是第五组的频率．【详解】
解：第5组的频数：50-2-8-15-5=20，
频率为：20÷50=0.4，
故答案为：0.4．
【点睛】
本题考查频数和频率的求法，关键知道频数=总数×频率，从而可求出解．15．＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数中，k＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，
解析：＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数
1
y
x
=-中，k＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，且﹣2＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
16．【分析】
过点F作EN∥DC交BC于点N，交AD于点E，设AP＝x，则PF＝x，得出（3﹣x）2+12＝x2，解方程即可得解．
【详解】
解：过点F作EN∥DC交BC于点N，交AD于点E，∵四
解析：5 3
【分析】
过点F作EN∥DC交BC于点N，交AD于点E，设AP＝x，则PF＝x，得出（3﹣x）2+12＝x2，解方程即可得解．
【详解】
解：过点F作EN∥DC交BC于点N，交AD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴FN⊥BC，FE⊥AD，
∵BF＝CF，BC＝6，
∴CN＝BN＝3，
由折叠的性质可知，AB＝BF＝5，AP＝PF，
∴224
FN BF BN
=-=，
∴EF＝EN﹣FN＝5﹣4＝1，
设AP＝x，则PF＝x，
∵PE2+EF2＝PF2，
∴（3﹣x）2+12＝x2，
解得，
5
3
x=，
故答案为：5
3
．
【点睛】
本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠变换的性质、勾股定理是关键．
17．【分析】
利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠D＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD＝CD ，∠D＝90°
设AD ＝CD ＝x ，在Rt
解析：【分析】
利用正方形的性质，可得AD ＝CD ，∠D ＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ，∠D ＝90°
设AD ＝CD ＝x ，在Rt △ADC 中，
∵AD 2+CD 2＝AC 2
即x 2+x 2＝（2）2
解得：x ＝1，（x ＝﹣1舍去）
所以该正方形的边长为1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键．
18．【分析】
直接开平方，求出方程的解即可．
【详解】
∵x2=0，
开方得，，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，比较简单．
解析：120x x ==
【分析】
直接开平方，求出方程的解即可．
【详解】
∵x 2=0，
开方得，120x x ==，
故答案为：120x x ==．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，比较简单．
19．6cm 或12cm ．
【分析】
证△ABE 是等腰三角形，分“点E 在线段AD 上” 和“点E 在AD 的延长线上”两种情况，分别求得答案即可．
【详解】
解：分两种情况：
①点E 在线段AD 上，如图1，
∵四边
解析：6cm 或12cm ．
【分析】
证△ABE 是等腰三角形，分“点E 在线段AD 上” 和“点
E 在AD 的延长线上”两种情况，分别求得答案即可．
【详解】
解：分两种情况：
①点E 在线段AD 上，如图1，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，
∴AB +AD ＝12×32＝16（cm ），∠AEB ＝∠CBE ，
∵∠ABC 的平分线交AD 所在的直线于点E ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
∴∠ABE ＝∠AEB ，
∴AB ＝AE ，
∵AE ：ED ＝3：2，
∴AB ：AD ＝3：5，
∵平行四边形ABCD 的周长为32cm ．
∴AB 的长为：16×3
8＝6（cm ）．
②点E 在AD 的延长线上，如图2，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝1
2
×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：1，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×3
4
＝12（cm）；
故答案为：6cm或12cm．
【点睛】
本题考查了平行四边形与角平分线线的综合应用，熟知以上知识点及应用是解题的关键．20．4
【解析】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AB=7，AD=11，
解析：4
【解析】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AB=7，AD=11，
∴CD=AB=7，BC=AD=11，
∴BE=BC-CE=11-7=4．
三、解答题
21．（1）AP=EF，AP⊥EF，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）正方形中容易证明∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，利用AAS证明
△AMO≌△FOE.(2) （3）按照（1）中的证明方法证明△AMP≌△FPE（SAS），结论依然成立.
【详解】
解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP 是正方形，
∴MP=PE ，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB ﹣BM=AM ，BC ﹣BE=EC=PF ，且AB=BC ，BM=BE ，
∴AM=PF ，
∴△AMP ≌△FPE （SAS ），
∴AP=EF ，∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF ，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP ⊥EF ，
故AP=EF ，且AP ⊥EF ．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB 交PF 于H ，证法与（2）完全相同．
【点睛】
利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.
22．
2BC ，2
BC ，证明见解析 【分析】
证法1：根据三角形中位线定理得到DE=12BC ，根据直角三角形的性质得到AF=12
BC ，等量代换证明结论； 证法2：连接DF 、EF ，根据三角形中位线定理得到DF ∥AC ，EF ∥AB ，证明四边形ADFE 是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．
【详解】
证法1：∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=12
BC ， ∵AF 是△ABC 的中线，∠BAC=90°， ∴AF=
12BC ， ∴DE=AF ，
证法2：连接DF 、EF ，
∵DE 是△ABC 的中位线，AF 是△ABC 的中线，
∴DF 、EF 是△ABC 的中位线，
∴DF ∥AC ，EF ∥AB ，
∴四边形ADFE 是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ADFE 是矩形，
∴DE=AF ．
故答案为：
12BC ；12
BC ． 【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
23．(1)详见解析；(2)8
【分析】
（1）先根据矩形的性质、平行线的性质得出,FG HE GFH EHF =∠=∠，再根据邻补角的定义可得BFG DHE ∠=∠，又根据菱形的性质、平行线的性质可得GBF EDH ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图，连接EG ，先根据矩形的性质可得EG 的长，再根据中点的性质、菱形的性质、题（1）的结论可得四边形ABGE 是平行四边形，从而可得AB 的长，然后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】
（1）∵四边形EFGH 是矩形
,//FG HE EH FG ∴=
GFH EHF ∴∠=∠
180,180BFG GFH DHE EHF ∠=︒-∠∠=︒-∠
BFG DHE ∴∠=∠
∵四边形ABCD 是菱形
//AD BC ∴
GBF EDH ∴∠=∠
在BGF ∆和DEH ∆中，BFG DHE GBF EDH FG HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BGF DEH AAS ∴∆≅∆
BG DE ∴=；
（2）如图，连接EG
∵四边形EFGH 是矩形，2FH =
2EG FH ∴==
∵四边形ABCD 是菱形
,//AD BC AD BC ∴=
∵E 为AD 中点
AE DE ∴=
BG DE =
,//AE BG AE BG ∴=
∴四边形ABGE 是平行四边形
2AB EG ∴==
∴菱形ABCD 的周长为248⨯=
故菱形ABCD 的周长为8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
24．见解析
【分析】
由平行四边形的性质得AD ∥BC ，根据平行线的性质证明∠E ＝∠F ，角边角证明△AFG ≌△CEH ，其性质得AG ＝CH ，进而可证明BG ＝DH ．
【详解】
BG ＝DH ，理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AB ＝DC ，
∴∠E ＝∠F ，
又∵BE ＝DF ，AF ＝AD +DF ，CE ＝CB +BE ，
∴AF ＝CE ，
在△CEH 和△AFG 中，
A C AF CE F E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AFG ≌△CEH （ASA ），
∴AG ＝CH ，
∴BG ＝DH ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．（1）见解析；（2
，6；（3）3
【分析】
（1）根据菱形的定义以及已知条件画出满足条件的菱形即可．
（2）利用勾股定理，菱形的面积公式计算即可．
（3）画出满足条件的菱形即可判断．
【详解】
解：（1）如图，菱形AEBF 即为所求．
（2）AE
，菱形AEBF 的面积＝
12
×6×2＝6，
，6．
（3）如图备用图可知：可以画3个菱形，
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了格点作图和菱形的性质应用，涉及了勾股定理等，正确理解，准确利用网格的特点是解题的关键．
26．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20
【分析】
（1）先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =；
（2）由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；
（3）设GF x =，则13AF x =-，2AC x =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值．
【详解】
（1）证明：90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，
12
BD AC ∴= //AG BD ，BD FG =，
∴四边形BDFG 是平行四边形，
CF BD ⊥
CF AG ∴⊥ 又点D 是AC 的中点
12
DF AC ∴= BD DF ∴=．
（2）证明：由（1）知四边形BDFG 是平行四边形
又BD DF =
BDFG ∴是菱形
（3）解：设GF x =则13AF x =-，2AC x =，6CF =，
在Rt ACF ∆中，222CF AF AC +=
2226(13)(2)x x ∴+-=
解得5x =
4520BDFG C ∴=⨯=菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关键是证明四边形BGFD 是菱形．
27．（1）详见解析；（2）2180αβ+=︒，证明见解析．
【分析】
（1）如图，分别取AB 、AC 的中点M 、N ，连接DM 、PM 、PN 、NE ，根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质可得PM NE =，DM PN =，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质和已知条件可得BMD CNE ∠=∠，根据平行线的性质可得BMP BAC ∠=∠=CNP ∠，进而可得DMP PNE ∠=∠，于是可根据SAS 证明MDP NPE ∆≅∆，从而可得结论；
（2）根据平行线的性质可得BMP MPN ∠=∠，根据全等三角形的性质可得
EPN MDP ∠=∠，然后在DMP ∆中利用三角形的内角和定理和等量代换即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图，分别取AB 、AC 的中点M 、N ，连接DM 、PM 、PN 、NE ． 点P 为ABC ∆的边BC 的中点， ∴12PM AC =， NE 为Rt AEC ∆斜边上的中线，
∴12
NE AN AC ==， PM NE ∴=，
同理可得：DM PN =，
12
DM AM AB ==， ADM BAD ∴∠=∠，
2BMD BAD ∴∠=∠，
同理，2CNE CAE ∠=∠，
又BAD CAE α∠=∠=，
BMD CNE ∴∠=∠，
又PM 、PN 都是ABC ∆的中位线，
//PM AC ∴，//PN AB ，
BMP BAC ∴∠=∠，CNP BAC ∠=∠，
BMP CNP ∴∠=∠，
∴DMP PNE ∠=∠，
MDP NPE ∴∆≅∆(SAS)，
PD PE ∴=；
（2）解：α与β的数量关系是：2180αβ+=︒；
证明：
//PN AB ，
BMP MPN ∴∠=∠，
∵MDP NPE ∆≅∆，
EPN MDP ∴∠=∠，
在DMP ∆中，∵180MDP DPM DMP ∠+∠+∠=︒，
∴180MDP DPM DMB PMB ∠+∠+∠+∠=︒，
而22DMB BAD α∠=∠=，
2180EPN DPM MPN α∴∠+∠++∠=︒，
DPE DPM MPN EPN β∠=∠+∠+∠=， 2180αβ∴+=︒．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
28．（1）互补；（2）相等；证明见解析
【分析】
根据题意写出已知、求证，过O '作O D '⊥OC 于D ，O E '⊥OB 于E ，证明Rt △Rt AO D '≅△C O E ''，推出O D O E '='，利用角平分线的判定定理即可证明'OO 平分∠COB ．
【详解】
（1）∠AO'C'与∠COB 的关系是互补；（2）线段O'A 与O'C'的关系是相等． 已知：AO C ∠''+∠COB=180︒，O'A=O'C'，
求证：'OO 平分∠COB ．
证明：过O '作O D '⊥OC 于D ，O E '⊥OB 于E ，
∵O C B O OB C O O ∠=∠+∠'''''，∠AO C ''+∠COB=180︒，
∴AO O ∠'+'AOO ∠ =180︒-(O OB C O O ∠+∠''')，
即O C B O OB C O O ∠=∠+∠'''''=180︒-(AO O ∠'+'AOO ∠)，
又OAO ∠'=180︒-(AO O ∠'+'AOO ∠)，
∴O C B OAO ∠=∠'''，
∵O'A=O'C'，
∴Rt △Rt AO D '≅△C O E ''，
∴O D O E '='，
∵O D '⊥OC ，O E '⊥OB ，
∴'OO 平分∠COB ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．。