新疆维吾尔自治区阿克苏市农一师高级中学2017-2018学年高二第二次月考数学理试卷 含解析 精品

第一师高级中学2017-2018学年第一学期高二年级第二次月考
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
1．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A. 4种
B. 16种
C. 64种
D. 256种
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有1个黑球与都是黑球 B. 至少有1个黑球与至少有1个红球 C. 恰有1个黑球与恰有2个黑球 D. 至少有1个黑球与都是红球 3．下列选项中，说法正确的是( )
A. 命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”
B. 命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件
C. 命题“若22
am bm ≤,则a b ≤”是假命题
D. 命题“在ABC 中，若1sin 2A <
，则6
A π
<”的逆否命题为假命题 4.已知方程(k 2
－1)x 2
＋3y 2
＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
C. （—2，2）
D. （—1，1）
温馨提示：
1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
2、本试卷命题范围：
3、请考生将选择题答案填涂在答题卷卡规定位置，否则视为无效答案。

4、正式开考前，请在规定位置填写姓名、班号，正式开考后才允许答题。

5．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（） A. 36种 B. 60种 C. 72种 D. 108种 6．根据此程序框图输出S 的值为
11
12
，则判断框内应填入的是( )
A. 8?i ≤
B. 6?i ≤
C. 8?i ≥
D. 6?i ≥
7．矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，O 为AB 的中点，在矩形ABCD 内随机取一点，则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A.
8π B. 18π- C. 4π D. 14
π- 8．若命题：“2000,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A. (),0-∞ B. []
8,0- C. (),8-∞- D. ()8,0-
9．已知,a b R ∈>”是“log 1a b <”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
10．安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A. 90种
B. 150种
C. 180种
D. 300种
11．已知3AB =,,A B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，12
33
OP OA OB =+,点P 的轨迹方程为（ ）.
A. 2214x y +=
B. 2214y x +=
C. 2219x y +=
D. 22
19y x += 12．椭圆的焦点为12,F F ，过点1F 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦
MN 长为32
5
， 2MF N ∆的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）
35 C. 4
5
第II 卷（共90分）
二、填空题
13．若命题“[]
2,3x ∀∈，使2
0x a -≥”是真命题，则a 的取值范围是__________．
圆的右焦点为，过点的直线交于，两点，若的
14．已知椭为
，则的方程为__________．
中点坐标
15.若212n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中所有二项式系数和为64，展开式中的常数项是__________．
16．如图，已知过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交
椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为.
解答题
17．雾霾天气对城市环境造成很大影响，按照国家环保部发布的标准：居民区的PM2.5（大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米.某市环保部门加强了对空气质量的监测，抽取某居民区监测点的20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，
制成茎叶图，如图：
（Ⅰ）完成如下频率分布表，并在所给的坐标系中画出的频率分布直方图；
（Ⅱ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率.
18．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。

现随机抽出两件产品.（要求罗列出所有的基本事件）
（1）求恰好有一件次品的概率。

（2）求都是正品的概率。

（3）求抽到次品的概率。

19．已知*
N n ∈,在()2n
x +的展开式中，第二项系数是第三项系数的
15
． (1)求n 的值；
(2)若()()()()2
0122111n
n
n x a a x a x a x +=+++++
++，求n a a a +++ 21的值．
20．已知函数
（1）求函数的最小值
（2）已知
，命题
关于的不等式对任意
恒成立；命题：
，若“
”为真，“
”为假，求实数的取值范围.
21．如果点(),M x y 在运动过程中总满足关系式
=（1）说明点M 的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；
（2）O 是坐标原点，直线l ：2y kx =+交点M 的轨迹于不同的,A B 两点，求弦长|AB |（含字母k ）及AOB ∆面积的最大值.
22．已知椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>经过点P(2,1)
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM 、PN 分别交椭圆于A ，B ．探求直线AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
一、选择题
1．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A. 4种
B. 16种
C. 64种
D. 256种 【答案】B
【解析】根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选1个，即有2种选法， 则4名同学一共有222216⨯⨯⨯=种选法； 故选：B.
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有1个黑球与都是黑球 B. 至少有1个黑球与至少有1个红球 C. 恰有1个黑球与恰有2个黑球 D. 至少有1个黑球与都是红球 【答案】C
【解析】试题分析： 本题主要考查互斥事件。

试题解析：
依题意，从装有个红球和个黑球的口袋中任意取个球
至少有个黑球包含都是黑球，故至少有个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A 错误，
至少有个黑球包含黑红，至少有个红球包含黑红，两者不是互斥事件，故错误，
恰有个黑球与恰有个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故正确
D 至少有个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故错误，
故答案为
3．下列选项中，说法正确的是( )
A. 命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2
,0x R x x ∃∈->” B. 命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件
C. 命题“若22
am bm ≤,则a b ≤”是假命题
D. 命题“在ABC 中，若1sin 2A <，则6
A π
<”的逆否命题为真命题 【答案】C
【解析】A 命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是2,0x R x x ∀∈-≤．故选项错误。

B 命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，故选项错误。

C 命题“若22am bm ≤，当m=0时，a,b 的关系是任意的。

故是假命题。

选项正确。

D 命题“在ABC 中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为，若6A π≤则1
sin 2
A ≥ .故选项错误。

故答案为C.
4．已知方程(k 2
－1)x 2
＋3y 2
＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（A ）． 【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】方程(k 2
－1)x 2
＋3y 2
＝1可化为22
211113
x y k +=-. 由椭圆焦点在y 轴上，得2210
{ 1113
k k -><-解之得k >2或k <－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞).
5．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（） A. 36种 B. 60种 C. 72种 D. 108种 【答案】A
【解析】间接法做：甲与乙相邻的情况（不考虑丙的位置）减去甲乙相邻且甲丙相邻的情况：
243243236A A A -⨯=种故选A
6．根据此程序框图输出S 的值为
11
12
，则判断框内应填入的是( )
A. 8?i ≤
B. 6?i ≤
C. 8?i ≥
D. 6?i ≥ 【答案】B
【解析】第一次循环1
2
S =，4i =， 第二次循环113
+=244S =，6i =，
第三次循环3111
+=4612
S =，8i =，
此时输出S ，所以应填写6?i ≤
7．矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，O 为AB 的中点，在矩形ABCD 内随机取一点，则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A.
8π B. 18π- C. 4π D. 14
π- 【答案】D
【解析】
如图所示，由几何概型可知所求概率为2
1
21121214
ππ⨯-⨯⨯=-⨯．故本题选D ．
8．若命题：“2000,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A. (),0-∞ B. []
8,0- C. (),8-∞- D. ()8,0- 【答案】B
【解析】由题意可得：对于∀x R ∈，220ax ax --≤恒成立， 当a =0时，命题成立，
否则，结合二次函数的性质应满足：
()()2
{
420
a a a <∆=--⨯⨯-≤，
求解关于实数a 的不等式可得：80a -≤<， 综上可得：实数a 的取值范围是[]
8,0-.
9．已知,a b R ∈
>”是“log 1a b <”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
>1b 10a ->->，即1a b >>. 所以log log 1a a b a <=,充分性成立；
若“log 1a b <”，则log log a a b a <，有1a b >>或01a b <<<.必要性不成立.
>log 1a b <”的充分不必要条件. 故选A.
10．安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A. 90种
B. 150种
C. 180种
D. 300种
【解析】按每个人工作的项目数，分两种情况：（1）1+1+3,所以先选分组，再排列33
5360C A =，
（2）2+2+1，先分组，为均分组，再排列，221
3
53132
2
90C C C A A ⋅=，总方法数150,选B. 11．已知3AB =,,A B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，12
33
OP OA OB =+,点P 的轨迹方程为（ ）.
A. 2214x y +=
B. 2214y x +=
C. 2219x y +=
D. 22
19
y x += 【解析】设动点P 坐标为00P x y A a B b （，），（，），（，），
由12
33
OP OA OB =+得：
12
0033
x y a b =+（，）（，）（，）
3
32
a y
b x ∴==．，2239AB a b =∴+=，，
2
2
3392y x ⎛⎫
∴+= ⎪⎝⎭
（）， 即2
214x y += 故选A ．
12．椭圆的焦点为12,F F ，过点1F 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦
MN 长为32
5
， 2MF N ∆的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）
A.
5 B. 35 C. 4
5
【解析】∵△MF 2N 的周长=MF 1+MF 2+NF 1+NF 2=2a+2a=4a=20，∴a=5，
又由椭圆的几何性质，过焦点的最短弦为通径长2
2b a
∴MN=22b a
=325，
∴b 2
=16，c 2
=a 2
﹣b 2
=9， ∴c=3，∴e=
c a =35
， 故选B ．
一、填空题
13．若命题“[]
2,3x ∀∈，使2
0x a -≥”是真命题，则a 的取值范围是__________．
【答案】(]
,4-∞
【解析】由题意得2
a x ≤在[]
2,3上恒成立，
而当[]
2,3x ∈时，2
49x ≤≤，
∴4a ≤。

故实数a 的取值范围是(]
,4-∞。

答案：(]
,4-∞
14．已知椭圆的右焦点为
，过点的直线交于，两点，若的
中点坐标为
，则的方程为__________．
【答案】
【解析】由条件可求出直线的斜率为 ，故直线 的方程为 ，可设 点
坐标为 ，由 的中点坐标为可得 点坐标为 ，将 、 两点坐标
代入椭圆方程并两式相减化简得 ，又 ，所以 ，故答案为
．
15．若212n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中所有二项式系数和为64，展开式中的常数项是__________．
【答案】 240
【解析】由二项式定理性质可知，二项式系数和为264n
=，所以6n =，则原式为6
212x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
根据二项展开式可知通项公式为()
66631662122r
r
r
r r r
r T C x C x
x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，令2r =，则24
362240T C ==，所以展开式中的常数项为240.
16．如图，已知过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交
椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为.
【答案】
5
. 【解析】
试题分析：由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠=，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为
()
0,a ，设点Q 的坐标为
(),x y ，()()(),0,,PQ x y a x y a =-=-，
()()(),0,,QA a x y a x y =--=---，
PQ =2QA ，则有()22
x a x y a y ⎧=⋅--⎨
-=-⎩，解得
23
3x a a y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，即点Q 的坐标为2,33a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，将点Q 的坐标代入椭圆的方程得2
2
22211133a a a b ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22
5a b =，即()2225a a c =-，2245c a ∴=
，c e a ∴=
=
. 二、解答题
17．雾霾天气对城市环境造成很大影响，按照国家环保部发布的标准：居民区的PM2.5（大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米.某市环保部门加强了对空气质量的监测，抽取某居民区监测点的20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，制成茎叶图，如图：
（Ⅰ）完成如下频率分布表，并在所给的坐标系中画出的频率分布直方图；
（Ⅱ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）统计茎叶图数据，求得各组频数和频率，并作出分频表频率分布直
方图；（Ⅱ）先求得天任取天，包含的基本事件有个基本事件，符合条件的共个基
本事件所求概率为：.
试题解析：（Ⅰ）频率分频表频率分布直方图如下图所示：
（Ⅱ）设PM2.5的24小时平均浓度在内的三天记为，
PM2.5的34小时平均浓度在内的两天记为，
∴5天任取2天，包含的基本事件有：
；；；，共10个基本事件，
设事件恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米，则包含的基本事件有
；；；共6个基本事件，
∴，∴从5天中随机抽取2天，恰好有一天超过75微克/立方米的概率. 18．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。

现随机抽出两件产品.（要求罗列出所有的基本事件）
（1）求恰好有一件次品的概率。

（2）求都是正品的概率。

（3）求抽到次品的概率。

【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）写出所有的基本事件，找所研究事件所含的基本事件；（2）写出都是正品的基本事件计算即可；（3）根据对立事件计算较简单，抽到次品与都是正品互为对立事件。

试题解析：将六件产品编号，ABCD(正品),ef（次品）,从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）共有15种，
（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：Ae）（Af）（Be）（Bf）（Ce）（Cf）
（De）（Df）共有8种，则P（A）＝
（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：（AB）（AC）（AD）（BC）（BD）（CD）共6种，则P（B）＝
（3）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，则P（C）＝1－P(B)＝1－
19．已知*N n ∈,在()2n
x +的展开式中，第二项系数是第三项系数的1
5
． (1)求n 的值；
(2)若()()()()2
0122111n
n
n x a a x a x a x +=+++++++，求n a a a +++ 21的值．
【答案】（1）6（2）63
【解析】试题分析：（1）利用二项展开式定理写出其第二项系数与第三项系数，再利用两系数间关系可求得n 的值；（2）赋值法，分别令0,1x x ==-即可求出结果．
试题解析：解：（1）由题得122
1225
n n C C =
⨯, 解得6n =
（2）()()()()()6
6
2
6
0126211111x x a a x a x a x ⎡⎤+=++=+++++++⎣⎦,
令0x =，得6016264a a a +++==.
又令1x =-，得01a = 所以123663a a a a +++
+=
20．已知函数
（1）求函数的最小值
（2）已知
，命题
关于的不等式对任意恒成立；命题：
，若“
”为真，“
”为假，求实数的取值范围.
【答案】(1)的最小值为 (2)
【解析】试题分析：（1）借助于单调性即可求最小值；
（2）运用（1）中求出的f （x ）的最小值代入不等式f （x ）≥m 2
+2m-2，求出对任意x ∈R 恒成立的m 的范围，根据复合命题“p 或q”为真，“p 且q”为假时，建立不等式关系即可的实数m 的取值范围． 试题解析：
(1)利用函数的单调性得的最小值为
（2）若为真，则，所以 若假，则恒成立，则解的
所以
或
所以.
21．如果点(),M x y 在运动过程中总满足关系式
=（1）说明点M 的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；
（2）O 是坐标原点，直线l ：2y kx =+交点M 的轨迹于不同的,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值.
【答案】(1)椭圆，2213x y +=（2
）k =
=【解析】试题分析：(1)可表示(),x
y
与
)()
,
的距离之和等于常数
的定义可知：此点的轨迹为焦点在x
轴上的椭圆，a c =，即得方程（2）由
2
21{ 32
x y y kx +==+得()22131290k x kx +++=，由0∆>及韦达定理可表示
122
1
22
13S x x k =⨯-=
=
+
，换元
0)
t t =>，
∴266
4
343t S t t t
=
=
++即可得最大值. 试题解析： (1)
=可表示(),
x y
与
)()
,
的距离之
和等于常数
x
轴上的椭圆，a c ==
故轨迹方程为2
213
x y +=. （2）由2
21
{ 3
2
x y y kx +==+得()22131290k x kx +++=， ∵()(
)2
2
2
12361336360k k
k
∆=-+=->,21k >
121222
129
,1313k x x x x k k
-+=
=++，
121
22
S x x =⨯-=
=
令0)t t =>，则221k t =+，
∴266343t S t t t
=
=≤
++
当且仅当3t
=
即3
k =±时有最大值. 22．已知椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>经过点
P(2,1)
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM 、PN 分别交椭圆于A ，B ．探求直线AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
【答案】（1）22182
x y +=；（2）直线AB 过定点Q （0，﹣2）. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。

（Ⅰ）由椭圆的离心率e
=c a ==，则a 2=4b 2
， 将P （2，1）代入椭圆222214x y b b +=，
则22111b b +=，解得：b 2=2，则a 2
=8， ∴椭圆的方程为：
22182
x y +=； （Ⅱ）当M ，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y 轴上，
当M ，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y =kx +t ，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），
由22
1
{ 82
x y y kx t
+==+消去y 得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣8=0，·则△=16（8k 2﹣t 2+2）＞0， x 1+x 2=2841kt
k -+，x 1x 2=22
4841
t k -+， 又直线PA 的方程为y ﹣1=
1112y x --（x ﹣2），即y ﹣1=111
2
kx t x +--（x ﹣2）， 因此M 点坐标为（0，
()111222
k x t x ---），同理可知：N （0，()221222
k x t x ---）
，
由OM NO =，则
()111222
k x t x ---+()221222
k x t x ---=0，
化简整理得：（2﹣4k ）x 1x 2﹣（2﹣4k +2t ）（x 1+x 2）+8t =0，
则（2﹣4k ）×22
4841
t k -+﹣（2﹣4k +2t ）（2841kt k -+）+8t =0， 当且仅当t =﹣2时，对任意的k 都成立，直线AB 过定点Q （0，﹣2）.。