2020-2021学年山东省高考数学二模试卷(文)及答案解析
2020-2021学年山东省德州市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
山东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈N B．∁R M⊆N C．M∈∁R N D．∁R N⊆∁R M2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z2的虚部是（）A．﹣2 B．﹣2i C．2i D．23．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0 B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0 D．∃x∈R，x2+2x+3=04．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．5．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.56．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．7．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程+nx+m=0有实根的概率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=19．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=且方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，3）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是______．12．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为______．13．已知变量x，y满足，则的最大值为______．14．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为______．15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．为了解甲、乙两个班级（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，学生勤奋程度和自觉性都一样）的数学成绩，现随机抽取甲、乙两个班级各8名同学的数学考试成绩，并做出茎叶图，但是不慎污损．已知两个班级所抽取的同学平均成绩相同，回答下面的问题并写出计算过程：（I）求出甲班中被污损的一名学生的成绩；（Ⅱ）样本中考试分数在70～90分之问的同学里，两班各任选一名同学座谈，甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率为多少？17．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．（e=2.71828…）（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）﹣x在上有两个零点，求实数t的取值范围．21．如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈N B．∁R M⊆N C．M∈∁R N D．∁R N⊆∁R M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】化简N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，从而确定M⊊N；从而求得．【解答】解：∵N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，而M={x|0＜x＜2}，∴M⊊N；∴∁R N⊆∁R M，故选D．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z2的虚部是（）A．﹣2 B．﹣2i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后求解复数的虚部．【解答】解：复数z满足z•（1﹣i）=2，可得z===1+i．z2=（1+i）2=2i．则z2的虚部是：2．故选：D．3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0 B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0 D．∃x∈R，x2+2x+3=0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．故选：A．4．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，利用x=0时的函数值判断选项即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，并且x=0时，f（0）=1，故选：C．5．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.5【考点】线性回归方程．【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．【解答】解：=，∴=9.4×4+9.2=46.8．设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．解得a=39．故选C．6．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．7．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程+nx+m=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】这是一个几何概型问题，关于x的方程+nx+m=0有实根根据判别式大于等于零，可以得到m和n之间的关系，写出对应的集合，做出面积，得到概率．【解答】解：方程+nx+m=0有实根⇔△≥0⇔n2﹣m2≥0，集合A={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，面积SΩ=2×3=6；设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为A={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R，n2﹣m2≥0}，其面积S A=4，所以P（A）=．故选：C．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=，即a2+b2=5，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得a=2，b=1，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=，即a2+b2=5，双曲线的渐近线方程为y=±x，将渐近线方程和抛物线y=x2+联立，可得x2±x+=0，由直线和抛物线相切的条件，可得△=﹣4××=0，即有a2=4b2，解得a=2，b=1，可得双曲线的方程为﹣y2=1．故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，∴几何体的最长棱为PC==．故选B．10．已知函数f（x）=且方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，3）C．（2，3）D．（2，4）【考点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f（x）=的图象，从而化方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0为t2﹣at+2=0在（1，2]上有两个不同的根，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，当1＜b≤2时，f（x）=b有两个不同的解，方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0，恰有四个不同的实根，转化为t2﹣at+2=0在（1，2]上有两个不同的根，故，解得，＜a＜3，故选：B．二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是600 ．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出合格人数．【解答】解：由频率分布直方图得合格的频率=（0.035+0.015+0.01）×10=0.6合格的人数=0.6×1000=600故答案为：60012．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为﹣．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y ﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=6y=2不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣1，y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故答案为：﹣．13．已知变量x，y满足，则的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：的几何意义为区域内的点到P（﹣2，2）的斜率，由图象知，PA的斜率最大，由，得，即A（2，3），故PA的斜率k==．故答案为：．14．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为 e ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得lnx＞0，lny＞0，lnx•lny=，由基本不等式可得lnx+lny的最小值，由对数的运算可得xy的最小值．【解答】解：∵x＞1，y＞1，∴lnx＞0，lny＞0，又∵lnx，，lny成等比数列，∴=lnxlny由基本不等式可得lnx+lny≥2=1，当且仅当lnx=lny，即x=y=时取等号，故ln（xy）=lnx+lny≥1=lne，即xy≥e，故xy的最小值为：e故答案为：e15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，5] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）∈[0，]；∵g（x）=acos+5﹣2a（a＞0），当x2∈[0，1]时，∴acos∈[0，a]∴g（x）∈[5﹣2a，5﹣a]∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴[5﹣2a，5﹣a]∩[0，]≠∅，∴只需排除[5﹣2a，5﹣a]∩[0，]=∅的情况，即5﹣2a＞，或5﹣a＜0，得a＜或a＞5∴a的取值范围是[，5]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．为了解甲、乙两个班级（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，学生勤奋程度和自觉性都一样）的数学成绩，现随机抽取甲、乙两个班级各8名同学的数学考试成绩，并做出茎叶图，但是不慎污损．已知两个班级所抽取的同学平均成绩相同，回答下面的问题并写出计算过程：（I）求出甲班中被污损的一名学生的成绩；（Ⅱ）样本中考试分数在70～90分之问的同学里，两班各任选一名同学座谈，甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率为多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由两班样本总数都为8人，平均数相等，列出方程能求出x．（Ⅱ）根据题意，甲班在70～90分之间共有6人，分别为88，85，84，81，79，72，乙班在70～90分之间共有6人，分别为87，82，81，79，77，76，利用列举法能求出甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵两班样本总数都为8人，平均数相等，∴=，解得x=85．（Ⅱ）根据题意，甲班在70～90分之间共有6人，分别为88，85，84，81，79，72，乙班在70～90分之间共有6人，分别为87，82，81，79，77，76，设事件A为“两班各任选一名同学座谈，两名同学分数在80～90”之间，则基本事件空间为：Ω={（88，87），（88，82），（88，81），（88，79），（88，77），（88，76），（85，87），（85，82），（85，81），（85，79），（85，77），（85，76），（84，87），（84，82），（84，81），（84，79），（84，77），（84，76），（81，87），（81，82），（81，81），（81，79），（81，77），（81，76），（79，87），（79，82），（79，81），（79，79），（79，77），（79，76），（72，87），（72，82），（72，81），（72，79），（72，77），（72，76）}，共有36个基本事件，事件A包含的基本事件有：（88，87），（88，82），（88，81），（85，87），（85，82），（85，81），（84，87），（84，82），（84，81），（81，87），（81，82），（81，81），共12个基本事件，∴甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率P（A）=．17．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f（x）═sin2x﹣，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f（x）的值域；（2）f（C+）=﹣，求得C=，由三角形的面积公式求得ab=4，余弦定理求得a2+b2=16，联立求得a、b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）﹣cos2x=sin2x+cos2x﹣（2cos2x﹣1）﹣，=sin2x﹣，f（x）的最小正周期π，x∈[，]，2x∈[，]，f（x）的值域[﹣，﹣]；（2）f（x）=sin2x﹣，f（C+）=sin2（C+）﹣=﹣，∴sin（2C+）=，cos2C=，角C为锐角，C=，S=，S△ABC=，ab=4，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，a2+b2=16，解得b=2，a=2或b=2，a=2，18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1与a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1作差，进而计算可知=（n∈N），利用累乘法计算可知数列{a n}的通项公式；（2）通过（1），利用等差数列的求和公式裂项可知b n=2（﹣），进而利用并项相消法可知T n=，从而问题转化为数列{T n}的最大值，计算即得结论．【解答】解：（1）∵a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1（n∈N），∴当n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1，两式相减得：a n=a n+1﹣a n，即=，又∵==满足上式，∴=（n∈N），∴当n≥2时，a n=••…••a1=••…•2•1=n，又∵a1=1满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=n；（2）由（1）可知b n===2（﹣），∴T n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，∵随着n的增大而增大，∴不等式T n＜对所有n∈N都成立⇔求数列{T n}的最大值，又∵=2，∴≥2，即m≥20，故满足题意的最小正整数m=20．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（Ⅲ）解：……20．已知函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．（e=2.71828…）（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）﹣x在上有两个零点，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】先求函数f（x）的定义域，利用函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．求出a的值．（Ⅰ）计算并判断f′（x）＞0或f′（x）＜0，可得f（x）的单调区间，即可求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）原命题等价于h（x）=与y=t在[，1）∪（1，e2]上有两个不同的交点，由h′（x）=＞0得0＜x＜e，h′（x）=＜0得x＞e，可得最大值h（e）=，又h（）=﹣e，h（e2）=，h（1）=0且＞0＞﹣e，从而可求实数t的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f′（x）=，∴f′（e）=ae，∴f（x）在x=e处的切线方程为y﹣ae2=ae（x﹣e），即y=eax，∵函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e），∴a=1．（Ⅰ）由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（，+∞），由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（0，1）（1，），∴f（x）在[，]上单调递减，在[，e]上单调递增，∵f（）=2e，f（）=4，f（e）=e2，e2，∴函数f（x）在[，e]上的最大值为e2，最小值为2e；（Ⅱ）函数g（x）=tf（x）﹣x在[，1）∪（1，e2]上有两个零点，等价于h（x）=与y=t在[，1）∪（1，e2]上有两个不同的交点．由h′（x）=＞0得0＜x＜e，h′（x）=＜0得x＞e，所以当x=e时y=h（x）有极大值，即最大值h（e）=，又h（）=﹣e，h（e2）=，h（1）=0且＞0＞﹣e，所以实数t的取值范围为[，）．21．如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程y2=4x得焦点F2（1，0），设椭圆E的方程为+=1，求出C（1，2），D（1，﹣2），由抛物线、椭圆都关于x轴对称，能求出椭圆方程．（Ⅱ）设AB：y=k（x﹣2），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，∴由抛物线方程y2=4x得焦点F2（1，0），∴设椭圆E的方程为+=1，解方程组，得C（1，2），D（1，﹣2），∵抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴==2，|F2S|=，∴S（1，），∴+=1，解得b2=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得k2＜，，，∵|AB|＜，∴（1+k2）[]＜，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴k2＞，∴，∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴，y=[k（x1+x2）﹣4k]=，∵点P在椭圆上，∴+2=2，∴16k2=t2（1+2k2），∴t2==8﹣，∴，∴﹣2＜t＜﹣或，∴实数t的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．。
山东省济南市2021届新高考数学二模试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B 【解析】 【分析】先辨别出图象中实线部分为函数()y f x =的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数()xf x y e =的导数为()()xf x f x y e'='-，由0y '<，得出()()f x f x '<，只需在图中找出满足不等式()()f x f x '<对应的x 的取值范围即可. 【详解】若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()xf x y e=求导得()()xf x f x y e'='-，由0y '<得()()f x f x '<，由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此，函数()xf x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.2．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）A ．23+B ．1+C ．2+D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-=，利用复数几何意义计算. 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上，而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-(,)a b到(2,1)-的距离，故21z i +-≤+=1. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决.3．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】 【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 4．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 5．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】 解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.6．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．231⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．231⎛ ⎝⎦,D ．3]【答案】C 【解析】 【分析】由444222222a b c a b c a b+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222(2)a b c a b c a b ++-=+， 可得22222222222()c a b c a b a b c a b+-++-=+， 通分得2222222222()()0a b c c a b a b a b+---+=+， 整理得222222()a b c a b +-=，所以22221()24a b c ab +-=，因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-， 又由余弦定理2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-2223()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，所以)2c a b >+，即3a b c +≤， 又由a b c +>，所以a b c +的取值范围是(1,]3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.7．已知集合{lgsin A x y x ==，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==.由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 9．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]【答案】A 【解析】 【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k=0时，解2839ω≤≤， 当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A. 【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 10．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【分析】由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9α=-【详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭又∵cos()sin 2παα+=-∴7sin 9α=- 故选：A 【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题11．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年山东省高考二模考试数学试题（文）及答案解析
2020-2021学年⼭东省⾼考⼆模考试数学试题（⽂）及答案解析⼭东省⾼三下学期⼆模考试⾼三数学（⽂科）试题第Ⅰ卷（共50分）⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设全集U R =，集合{}2|20M x x x =+->，11|()22x N x -?=≥，则()U M N =I e（） A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22.若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知平⾯向量a r 和b r 的夹⾓为60?，(2,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r（）A ．20B ．12C ．D ．4.已知3cos 5α=，cos()10αβ-=，且02πβα<<<，那么β=（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 5.设3log 6a =，4log 8b =，5log 10c =，则（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>6.某产品的⼴告费⽤x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归⽅程9.4y x a =+，据此模型预测，⼴告费⽤为6万元时的销售额为（）万元 A ．63.6B ．65.5C ．72D ．67.77.下列说法正确的是（）A ．命题“x R ?∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ?∈，210x x ++>”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12//ll 的充要条件是12a = D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题8.已知双曲线22221x y a b-=（a >，0b >）的两条渐进线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若AOB S ?=e =（）A ．32B ．2C ．2 D9.已知某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．403B ．343C ．4210+D ．436 10.已知函数|ln |,0,()(2),2,x x e f x f e x e x e <≤?=?-<f x b -=+（b R ∈）的四个实根从⼩到⼤依次为1x ，2x ，3x ，4x ，对于满⾜条件的任意⼀组实根，下列判断中⼀定成⽴的是（） A ．122x x += B ．2234(21)e x x e <<-C ．340(2)(2)1e x e x <--<D ．2121x x e <<第Ⅱ卷（共100分）⼆、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数221,1,()log (1),1,x x f x x x ?-≤=?->?则7(())3f f = ．12.在长为5的线段AB 上任取⼀点P ，以AP 为边长作等边三⾓形，3和3的概率为．13.设x，y满⾜约束条件360,20,0,0,x yx yx y--≤-+≥≥≥则22x y+的最⼤值为．14.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的结果是．15.若对任意的x D∈，均有()()()g x f x h x≤≤成⽴，则称函数()f x为函数()g x到函数()h x在区间D上的“任性函数”．已知函数()f x kx=，2()2g x x x=-，()(1)(ln1)h x x x=++，且()f x 是()g x到()h x在区间[]1,e上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共75分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）16.某⾷品⼚为了检查甲、⼄两条⾃动包装流⽔线的⽣产情况，随机在这两条流⽔线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[495,510)内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（Ⅰ）求甲流⽔线样本合格的频率；（Ⅱ）从⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的产品中任取2个产品，求这2件产品中恰好只有⼀件合格的概率．17.已知函数()4sin cos()33f x x x π=++，0,6x π??∈. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知锐⾓ABC ?的两边长a ，b 分别为函数()f x 的最⼩值与最⼤值，且ABC ?的外接圆半径为32，求ABC ?的⾯积． 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，13SC =．（Ⅰ）求证：//SC 平⾯BDE ；（Ⅱ）求证：平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163n n S a +=+（a N +∈）．（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y +=与直线0x y b ++=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的⼀个动点，Q 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平⾏线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，求||||MN OQ 的取值范围． 21.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a <时，讨论函数()f x 单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()f m f n a m n->-恒成⽴？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．⾼三数学（⽂科）试题答案⼀、选择题1-5:ACDCA 6-10:BDDBB⼆、填空题13 12.2513.52 14.8 15.[]2,2e - 三、解答题16.解：（Ⅰ）由表知甲流⽔线样本中合格品数为814830++=，故甲流⽔线样本中合格品的频率为300.7540=．（Ⅱ）⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的合格产品件数为0.025404??=，不合格产品件数为0.015402??=．设合格产品的编号为a ，b ，c ，d ，不合格产品的编号为e ，f ．抽取2件产品的基本事件空间为{(,)a b Ω=，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，}(,)e f 共15个．⽤A 表⽰“２件产品恰好只有⼀件合格”这⼀基本事件，则{(,)A a e =，(,)a f ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，}(,)d f 共8个，故所求概率815P =． 17.解：（Ⅰ）1()4sin (cos )22f x x x x =?-+22sin cos x x x =-+sin 22x x =2sin(2)3x π=+，∵06x π≤≤，∴22333ππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，∴函数()f x的值域为2??．（Ⅱ）依题意a =2b =，ABC ?的外接圆半径4r =，sin 2a A r ===，sin 232b B r ===，cos 3A =，1cos 3B =，sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，∴11sin 2223ABC S ab C ?==?=． 18.证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于F ，则F 为AC 中点，连接EF ，∵E 为SA 的中点，F 为AC 中点，∴//EF SC ，⼜EF ?⾯BDE ，SC ?⾯BDE ，∴//SC 平⾯BDE ．（Ⅱ）∵2SB =，3BC =，13SC =，∴222SB BC SC +=，∴BC SB ⊥，⼜四边形ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，⼜AB 、SB 在平⾯SAB 内且相交，∴BC ⊥平⾯SAB ，⼜BC ?平⾯ABCD ，∴平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.解：（Ⅰ）∵等⽐数列{}n a 满⾜163n n S a +=+（a N +∈），1n =时，169a a =+；2n ≥时，1166()3(3)23n n n n n n a S S a a +-=-=+-+=?.∴13n n a -=，1n =时也成⽴，∴169a ?=+，解得3a =-，∴13n n a -=.（Ⅱ）122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++1222(1)(221)(1)n n n n n --++=+12211(1)(1)n n n -??=-+??+?? .当n 为奇数时，22222221111111()()11223(1)(1)n T n n n ??=+-++++=+??++??…；当n 为偶数时，n T =22222221111111()()11223(1)(1)n n n ??+-++-+=-??++??…. 综上，1211(1)(1)n n T n -=+-+． 20.解：（Ⅰ）由已知可得：圆⼼到直线0x y b ++=的距离为11=，所以b =，⼜椭圆C经过点，所以221413a b+=，得到a = 所以椭圆C 的标准⽅程为22132x y +=．（Ⅱ）设00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，OQ 的⽅程为x my =，则MN 的⽅程为1x my =+.由22,1,32x my x y =+=??得222226,236,23m x m y m ?=??+??=?+?即22022026,236.23m x m y m ?=??+?=+所以0||||OQ y ==由221,1,32x my x y =++=??，得22(23)440m y my ++-=，所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，12||||MN y y =-====所以||||MNOQ====，因为2 11m+≥，所以21011m<≤+，即212231m<+≤+，即213221m≤<++，所以||23||MNOQ≤<，即||||MNOQ的取值范围为[,2) 3．21.解：（Ⅰ）当1 a=-时，21()2ln32f x x x x=+-，2232(1)(2)x x x xf x xx x x-+--=+-==．当01x<<或2x>时，'()0f x>，()f x单调递增；当12x<<时，'()f x<，()f x单调递减，所以1x=时，5()(1)2f x f==-极⼤值；2x=时，()(2)2ln24 f x f==-极⼩值．（Ⅱ）当0a<时，2'()(2)ax=-+-2(2)2x a x ax+--=(2)()x x ax-+=，①当2a->，即2a<-时，由'()0f x>可得02x<<或x a>-，此时()f x单调递增；由'()0 f x<可得2x a<<-，此时()f x单调递减；②当2a-=，即2a=-时，'()0f x≥在(0,)+∞上恒成⽴，此时()f x单调递增；③当2a-<，即20a-<<时，由'()0f x>可得0x ax>，此时()f x单调递增；由'()0f x<可得2a x-<<，此时()f x单调递减．综上：当2a <-时，()f x 增区间为(0,2)，(,)a -+∞，减区间为(2,)a -；当2a =-时，()f x 增区间为(0,)+∞，⽆减区间；当20a -<<时，()f x 增区间为(0,)a -，(2,)+∞，减区间为(,2)a -．（Ⅲ）假设存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴，不妨设0m n >>，则由()()1f m f n a m ->-恒成⽴可得：()()f m am f n an ->-恒成⽴，令()()g x f x ax =-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0g x ≥恒成⽴，即'()0f x a -≥恒成⽴，∴2(2)0ax a a x-+--≥，即2220x x a x --≥恒成⽴，⼜0x >，∴2220x x a --≥在0x >时恒成⽴，∴2min11(2)22a x x ??≤-=-??，∴当12a ≤-时，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴.。
2020-2021学年度山东省济宁市高考第二次模拟文科数学试题及答案
济宁市高三模拟考试文科数学试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足1z i z=+(i 为虚数单位)，则z = A ．1122i + B ．1122i -+ C ．1122i -- D ．1122i - 2．设集合(){}11ln 2,,22x A x y x B x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-=>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则 A ．{}1x x <- B ．{}2x x < C ．{}12x x -<< D ．{}2x x -1<≤ 3．在某次测量中得到的甲样本数据如下：22，23，26，32，22，30，若乙样本数据恰好是甲样本数据都减3后所得数据，则甲，乙两个样本的下列数字特征对应相同的是A ．平均数B ．标准差C ．众数D ．中位数4．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为23356,6,64=n S a a a a S +=⋅=则A ．31B ．32C ．63D ．645．已知12F F 、分别为双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点，过点1F 且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 两点，当2F AB ∆为等腰直角三角形时，此双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 56．已知函数()()()()2sin 00x f x e x f x f =+，则在点，处的切线方程为 A ．10x y +-= B ．10x y ++= C ．310x y -+= D ．310x y --=7.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为A ．()2sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()2sin 12g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．函数()2ln 22e xf x x -=-的图象可能是9．下列程序框图最终输出的结果S 为A ．910B ．1011 C ．9D ．1010．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．1823+B ．1842+C ．142342++D ．182342++11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()201f x f x x -=<≤，当时，()1x f x e x =-，则函数()(]23y f x =-在，上的零点个数是 A ．7 B ．8 C ．9D ．10 12．斜率为k 的直线l 过抛物线()220C y px p =>：的焦点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，若8,=AB EF =则A ．2B ．4 C.8 D. 16第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()()2,1,4,,//a b m a b =-=若，则实数m= ▲ ． 14．已知实数,x y 满足约束条件2020,220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩则11y z x +=+的最小值为 ▲ ． 15．已知直线3410x y -+=与圆C ：2284170x y x y +--+=相交于A 、B 两点，则AB AC ⋅u u u r u u u r = ▲ 16．已知数列{}{},n n a b 均为公差为1的等差数列，其首项11111,4,a b a b a +=满足且1b N *∈设()n n a c b n N *=∈，则数列{}n c 的前10项和为 ▲ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin sin b B a A b c C -=-．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若6,33a b c ABC =+=∆，求的面积．18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，D ，E 分别为BC ，CC 1的中点，12,3AA AC AB BC ====．(I)证明：1//A B 平面1ADC ；(Ⅱ)求三棱锥1E A BC -的体积．19．(本小题满分12分)某企业为提高生产效率，决定从全体职工中抽取60名男性职工，40名女性职工进行技术培训，培训结束后，将他们的考核分数分成4组：[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图：(I)若从考核分数[]90,100内随机抽取2人代表本企业外出比赛，求至少抽到一名女性职工的概率；(Ⅱ)若考核分数不低于80分的定为“技术能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为“技术能手与职工性别有关”?附()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为())123,03,0F F -和，椭圆E 与抛物线26C x y =：的一个交点坐标为13,2⎫⎪⎭． (I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过抛物线C 的焦点的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值(其中O 为坐标原点)．21．(本小题满分12分)已知函数()()()2ln ,xe f x x a x a R g x x=-∈=． (I)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当2a =时，证明：()()g x f x >．(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，曲线121cos :4sin x C x y C y αα=+⎧+=⎨=⎩，曲线：（α为参数），过坐标原点O 的直线l 交曲线1C 于点A ，交曲线2C 于点B(点B 不是原点)．(I)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，写出曲线1C 和2C 的极坐标方程； (Ⅱ)求OB OA 的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)设函数()21f x x =-．(I)设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；(Ⅱ)已知m 为(I)中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=(其中,,a b c 为正实数)， 求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥．。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( ) A ．72B ．4C ．92D ．55．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．67．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．1711．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则x =12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” y e =- 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ． 14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 ． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，ABD 的交线长为 ．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2nb件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//(OP AD O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2021年山东省新高考高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解答】解：用Venn 图表示M ，N 如下：由Venn 图看出，RM N ⊆，R MN N =．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足132||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i【解答】解：由2213132||()()1222i z ⋅=+=+， 得211222i z i i i -===--． 故选：C ．3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，若3A π=，则1cos 2A =，是充分条件， 在ABC ∆中，若1cos 2A =，则3A π=，是必要条件，故选：C ．4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：实数x 、y 满足22326x y x +=， 223302y x x ∴=-，因此02x ， 22221193(3)222x y x x x ∴+=-=--+，02x ，∴当2x =时，22x y +的最大值为4．故选：B ．5．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：由题意，易知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即340kx y k -+-=， 曲线22(2)(3)1x y -+-=表示圆心(2,3)，半径为1的圆， 圆心(2,3)到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，∴1，即2|2|1k k -+，解得3k ， 故选：C ．6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．6【解答】解：2CD DB =，∴1112()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， ||37AD AD ==||9AC AC ==，60A =︒，设AB c =∴9||||cos 2AB AC AB AC A c ⋅==则222212144437()92339999AC AB AC AC AB AB c c =+=+⋅+=++，∴整理可得，2291260c c +-=0c >解可得，6c =，由余弦定理可得，2222cos a c b bc A =+-⋅ 22196296632=+-⨯⨯⨯=， BC ∴的长为37．故选：A ．7．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a【解答】解：设3()2019f x x x =+，则()f x 为奇函数且单调递增， 因为366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-， 所以62015(1)(1)a a -=--，且6201511a a ->-， 即620152a a +=，62015a a >，202012020620151010()1010()2020S a a a a =+=+=，故选：A ．8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【解答】解：因为左右变换，是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，有其他三步可以自由排列，故有442212A A =中排法．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱 【解答】解：对于A ，取BE 的中点H ，连结AH ，SH ， 正三棱锥A SBE -中，AH BE ⊥，SH BE ⊥，又AH SH H =，AH ，SH ⊂平面SAH ，所以BE ⊥平面SAH ，因为AS ⊂平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD ，所以AS CD ⊥，故选项A 正确； 对于B ，设底面中心为O '，球心为O ，半径为R ，因为正四棱锥S BCDE -外接球的球心在O S '上，所以OS OB R ==， 因为正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，所以2O B O S ''==，由222()OB O B O S OS ''=+-，可得22222()()R a a R =+-，解得2R a =，故选项B 正确；对于C ，设内切球半径为r ，可求得侧面面积为2213sin 23S a a π=⋅⋅=， 由等体积法可得222121134333a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅，解得(62)ar -=，故选项C 错误； 对于D ，取SE 的中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由222222233()()(2)122cos 2332()a a a BF DF BDBFD BF DFa +-+-∠===-⋅⋅， 222222233()()122cos 2332()a a a AF BF BAAFD AF BFa +-+-∠===⋅⋅， 故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD BC ====，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC ， 故四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解答】解析：如图，由两种情况：（1）左图中R 为AB 中点，设ABC ∆的直角边长a ，为PQR ∆的直角边长为x ，PQC α∠= 则sin()2cos 2(cos sin )sin4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒12(cos sin )2sin()4x a πααα==++⇒21()4PRQ min ABC S x S a ∆∆==（2）右图中，3sin()4cos (2cos sin )sin 4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒ 12cos sin 5cos()x a αααθ==++，tan 2θ=， ⇒21()5PRQ maxABCS x S a ∆∆==， 所以1[4PRQ ABCS S ∆∆∈，1]5， 故选：AB ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则51x -=【解答】解：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，A 中，2PF x ⊥轴时，P 的坐标为：2(,)b c a即(,)P c c ，所以21212||1tan ||22PF c PF F F F c ∠===，所以1230PF F ∠≠︒，所以A 不正确； B 中，因为2b ac =，所以可得22c a ac -=，可得210e e --=，又1e >，解得：51e+=，所以B正确；C，设(P x，)y，则2200221x ya b-=，所以2222002x ay ba-=⋅，由题意可得(,0)A a-，(,0)B a，所以2200012222000y y y bk kx a x a x a a=⋅==+--，由2b ac=，可得1215ck ka+==，所以C正确；D中因为1212IPF IPF IF FS S xS=+，所以1212111||||||222PF r PF r x F F r⋅=⋅+⋅⋅，可得1212||||251||215PF PF axF F c--====+，所以D正确；故选：BCD．12．（5分）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b+和()G x kx b+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R=∈，1()(0)g x xx=<，()2(h x elnx e=为自然对数的底数），则( )A．()()()m x f x g x=-在3(2x∈内单调递增B．()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4-C．()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[4-，1]D．()f x和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y ex e=-【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确； B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩对任意0x <恒成立， 故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩对任意0x <恒成立，由210kx bx +-对任意0x <恒成立， 若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --对任意x 都成立，又102x k =<轴，从而2140k b =+，所以0b ，则02bx k'=-轴， ∴△2240b k =+，即24k b -且24b b -，421664k b k ∴-，故40k -<，同理可得，421664b k b -即40b -<，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-， 由()(0)f x kx k e e x ->恒成立， 若0k =，则20x e -，(0)x >不恒成立， 若0k <，由20(0)x kx e x -+>恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x 在上单调递增，0u =， 故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(20k =-时只有k=y e =-，下面证明()2h x ex e -，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x 0，也是最小值， 所以()0G x ，故()2h x e e -，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ． 【解答】解：而项式25201234555552108642111111(2)(1)(2)(1)x x C C C C C x x x x x x+-=+⋅⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-， 故它的展开式的常数项为4523C -=， 故答案为 3．14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 49． 【解答】解：将三药分别记为A ，B ，C 三方分别记为a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有116424m C C ==（种)，两名患者可选择的药方共有119654n C C ==（种)， 所以两人选取药方完全不同的概率是244549m P n ===． 故答案为：49． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，22为半径的球面与侧面ABD 的交线长为 5π ．【解答】解：如图，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，5AB AD ==，5BC CD ==，AE BD ∴⊥，CE BD ⊥，又8BD =，∴22543AE CE ==-=， 3AC =，AEC ∴∆为等边三角形，取AE 中点F ，则CF AE ⊥，可得223333()2CF -=．又设C 到AB （或)AD 的距离为h ， 由22111()222ABC S AB h AC AB AC ∆=⋅=- 可得9325391422h ⨯-==>∴以C 为球心，22ABD 的交线为圆，圆的半径为22335(22)()2r =-=， 则交线长为525ππ=． 5π．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ． 【解答】解：当5m =时，5168421→→→→→共5步雹程变成1，若m 需经过5步雹程首次变成1则1248165←←←←←或12481632←←←←←两种情况，即5m =或32m =，则53237+=， 故答案为：5，37．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ．【解答】解：若选①，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得22()b c a bc -=-， 则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选②，sin sin 2B C b a B +=，由正弦定理可得sin sin()sin sin 22AB A B π-=， sin 0B ≠，cos 2sin cos 222A A A ∴=， cos 02A≠， 1sin 22A ∴=， 022A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 22C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选③sin cos()6a B b A π=-，由正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=-，sin 0B ≠，sin cos()6A A π∴=-，62A A ππ∴+-=或26A A ππ+=-，3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=，64C ππ∴-=，512C π∴=． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2n b件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 【解答】解：（1）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 102b a a -=，所以132a b =； 2122b a a -=，所以274b a =． （2）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 由题：10212122........2n n nb a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，相加可得02....222n n b b ba a -=+++，即121112....(2)1222212n n n nb b b a b b b +-=++++=⨯=--； （3）当4000b =时，14000(2)2n na =-， 设获利为n T ，则有110100040000(2)10002n n n T a n n =⨯-=--， 欲使n T 最大，则11n n n n T TT T +-⎧⎨⎩，所以：111140000(2)100040000(2)1000(1)221140000(2)100040000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧----+⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩，解得55n n ⎧⎨⎩，故5n =，此时7875n a =，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，（1分） 则1//2NQ AC ，（2分）又1//2MF AC ，所以//MF NQ所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，（3分） 又因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊂/平面FCB ，（4分） 所以//MN 平面FCB （5分）（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒， 可得1BC =，3AC ，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．（6分） 又因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ， 所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，（7分） 所以1FC =．又因为2FB =222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．（8分） 则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),(A B M ，所以3(,0,1),(3,1,0)MA AB =-=-设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则取23x =(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，（10分） 又(0,1,0)n =为平面MAC 的一个法向量，（11分） 所以657257cos ,||||571m n m n m n ⋅〈〉====⨯，故平面MAB 与平面MAC 257．（12分） 20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=， 5152222221()()22015001(5)2(10)ˆ8(2)(1)012()ii i ii x x y y b x x ==---⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124yx =-+， （2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=， 且806745-=<，6∴月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”． （3）因为X 服从正态分布(8,9)X N ∽，所以(214)0.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=人． 21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<． （1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-， 因为514x -，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<， 故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4， (1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432a f =-， 所以()f x 的值域为[1，15]a -，又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增， 所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a -，问题转化为直线y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aaaa⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a的取值范围是2(5-，8]75-．（2）由（1）可知，问题转化为y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a的取值范围是16(2,)15--．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ x⊥轴时，//(OP AD O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则MFN∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当PQ x⊥轴时，点P的横坐标Px c=代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya=，由题意知1c=，(,0)A a-，(0,)D b，又当OP x⊥轴时，//OP AD，所以2b ba a=，得1b=，所以2222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=； （2）MFN ∠为定值，且定值为2π，理由如下： 由（1）得((0,1),A D B ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，3(,)M t y ，设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程可得221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=， 则12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 由A ，P ，M因为221112x y +=，所以22111221)y x x x =-=，1=②， 由①②1=， 由B ，Q ，M=， 由③④12= 分别将111x my =+，221x my =+代入，21212121)()32m y y m y y y y -++-+=， 将12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入并整理，3=-2t =，设4(,)N t y '，同理可得2t '=，由B ，P ，N=⑤，由③⑤得341y y =-，所以3434(21,)(21,)10FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+=， 所以MFN ∠为定值2π．。
2021届山东省实验中学高三第二次模拟数学试题(解析版)
2021年山东省实验中高考数学二模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（）A．1B．0C．2D．﹣23．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A．28B．29C．30D．315．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c 的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．16．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）A．48B．50C．98D．688．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（）A．2B．2log23C．4D．4log23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年度山东省济南市高考第二次模拟考试数学试题(文)及答案
文科数学参考公式：锥体的体积公式:1 3V Sh=,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R=,集合{}10A x x=-≤,集合{}260B x x x=--<则下图中阴影部分表示的集合为（）A．{}3x x<B．{}31x x-<≤C．{}2x x<D．{}21x x-<≤2.设复数z满足()12z i-=(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是（）A．2z=B．复数z的虚部是iC．1z i=-+D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限3.已知{}n a是公差为2的等差数列,n S为数列{}n a的前n项和,若515S=,则5a=（）A．3B．5C．7D．94.已知角a的终边经过点(),2m m-,其中0m≠,则sin cosa a+等于（）A．55-B．55± C.35-D．35±5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为1,2,3,4,5的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（）A．110B．15C.310D．256.已知变量,x y满足约束条件1,50,210,xx yx x⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩则目标函数2z x y=+的最小值为（）A．3B．6 C.7D．87.已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱5的左视图的面积为（）A ．186B ．183 C. 182 D ．27228.设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,12,A A 为双曲线的左右顶点,其中1212,3,F F A A =,若双曲线的顶点到渐近线的距离为2,则双曲线的标准方程为（ ）A ．22136x y -= B ．22163x y -= C. 2212y x -= D ．2212x y -= 9.执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是（ ）A ．3-B ．12-C.13D ．2 10.如图,半径为1的圆O 中,,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（ ）A. B.C.C.11.已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O为坐标原点若,0PA PB =u u u r u u u r,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3- C.18- D ．4- 12.已知定义在R 上的函数()f x ,当1x >-时,21,10,()1n ,0,x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩且(1)f x -为奇函数,若方程()()R f x kx k k =+∈的根为12,,,n x x x L ,则12x x x +++L 的所有的取值为（ ）A ．6-或4-或2-B ．7-或5-或3-C. 8-或6-或4-或2- D ．9-或7-或5-或3-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知12,e e u r u u r 是互相垂直的单位向量,向量123a e e =-u r u u r r,12b e e =+u r u u r r ,则a b ⋅=r r ．14.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．15.已知[]x 表示不超过x 的最大整数,例如:[][]2.32, 1.52=-=-.在数列{}n a 中,[]1,n a gn n N +=∈,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2018S =．16.已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30,=3BAC AC ∠=o,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为．三、解答题:共70分。
2020-2021学年山东省滨州市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
山东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|（x+2）（x﹣2）≤0}，则集合∁R A=（）A．（2，+∞）B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）2．复数z=（i为虚数单位），则（）A．z的实部为2 B．z的虚部为i C．=1+i D．|z|=3．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y=B．y=﹣x3C．y=x D．y=x+4．已知p，q为命题，则“p∨q为假”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n 的比值=（）A．1 B．C．D．6．已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9（a，b∈R）上的两个不同的点，且满足|+|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．27．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1，圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）A．+B．+C．D．8．函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，bc=4，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．210．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（）A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．执行如图所示的程序框图，若输入的n值为5，则输出的S值是______．12．在区间[0，6]上随机地取一个数m，则事件“关于x的方程x2+2mx+m+2=0有实根”发生的概率为______．13．设变量x，y满足约束条件，则z=（）2x﹣y的最小值为______．14．已知正实数m，n满足m+n=1，当+取得最小值时，曲线y=xα过点P（，），则α的值为______．15．已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F，其准线与双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线与抛物线C1在第一象限内的交点的横坐标为，且△FAB 为正三角形，则双曲线C2的方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．一个盒子中装有形状、大小、质地均相同的5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5．甲、乙两人分别从盒子中不放回地随机抽取1张卡片．（Ⅰ）求甲、乙两人所抽取卡片上的数字之和为偶数的概率；（Ⅱ）以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为线段长度，求以这三条线段为边可以构成三角形的概率．17．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0）的图象上两个相邻的最高点之间的距离为π．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（θ）=，求cos（﹣4θ）的值．18．如图，四边形ABCD为菱形，EB⊥平面ABCD，EF∥BD，EF=BD．（Ⅰ）求证：DF∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥平面AFC．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（3a n﹣1）．数列{b n}为等差数列，b1=a1，b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，以椭圆E的半长轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设点A，B，C在椭圆E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|（x+2）（x﹣2）≤0}，则集合∁R A=（）A．（2，+∞）B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】根据题意，化简集合A，求出它在R中的补集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|（x+2）（x﹣2）≤0}={x|﹣2≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜﹣2x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C．2．复数z=（i为虚数单位），则（）A．z的实部为2 B．z的虚部为i C．=1+i D．|z|=【考点】复数求模．【分析】由已知的等式求出复数z，然后直接利用复数模的公式求模，根据共轭复数的定义，以及复数的概念判断即可．【解答】解：z===1+i，∴z的实部为1，虚部为1，=1﹣i，|z|==，故选：D．3．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y=B．y=﹣x3C．y=x D．y=x+【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和单调性，对选项中的函数进行分析判断即可．【解答】解：对于A，y=（x≥0）是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y=﹣x3，是定义域R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数，满足条件；对于C，y=x，定义域是（0，+∞），是非奇非偶的函数，不满足条件；对于D，y=x+，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，但在区间（0，+∞）上不是单调减函数，也不满足题意．故选：B．4．已知p，q为命题，则“p∨q为假”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【分析】“p∨q为假”，则命题p与q都为假命题；“p∧q为假”，则命题p与q至少有一个为假命题．即可判断出结论．【解答】解：“p∨q为假”，则命题p与q都为假命题；“p∧q为假”，则命题p与q至少有一个为假命题．∴“p∨q为假”是“p∧q为假”的充分不必要条件．故选：A．5．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n 的比值=（）A．1 B．C．D．【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．6．已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9（a，b∈R）上的两个不同的点，且满足|+|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量加法的几何意义，结合直线和圆相交时的弦长公式进行求解即可．【解答】解：设AB的中点是D，则+=2，∵|+|=2||=2，∴||=，∵圆C的半径为3，∴CB=3，则BD==，则AB=2BD=2，故选：D．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1，圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）A．+B．+C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是四分之一圆锥，由三视图和题意求出圆锥的半径、母线长、高，由圆锥的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是四分之一圆锥，由题意得，底面圆的半径是1，∵正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，∴圆锥的母线长是2，则高为=，∴该几何体的表面积S==故选：A．8．函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于f（﹣x）=﹣f（x）可知函数f（x）是奇函数，排除A；取，f（x）＞0，排除B；由于x→+∞时，f（x）→0，排除C．即可得出．【解答】解：f（﹣x）=﹣f（x）可知函数f（x）是奇函数，排除A；∵，f（x）＞0，排除B；∵x→+∞时，f（x）→0，排除C．故选：D．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，bc=4，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．2【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】根据正弦定理化简已知的式子，由余弦定理求出cosA的值，再由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A，结合条件和三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：在△ABC中，因为asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，所以由正弦定理得a2=b2+（c﹣b）c，即b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得，cosA==，由0＜A＜π得，A=，又bc=4，所以△ABC的面积S===，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（）A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，﹣log2（1﹣x3）=﹣a，x4+x5=6，即可得出关于x的方程f（x）+a=0（0＜a ＜1）的所有根之和．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x≥1，f（x）=，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3，∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故选：C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．执行如图所示的程序框图，若输入的n值为5，则输出的S值是11 ．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出S，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得n=5，m=1，S=1满足条件m＜5，执行循环体，S=2，m=2满足条件m＜5，执行循环体，S=4，m=3满足条件m＜5，执行循环体，S=7，m=4满足条件m＜5，执行循环体，S=11，m=5不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11．故答案为：11．12．在区间[0，6]上随机地取一个数m，则事件“关于x的方程x2+2mx+m+2=0有实根”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】由题意知方程的判别式大于等于零求出m的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．【解答】解：若关于x的方程x2+2mx+m+2=0有实根，则△=（2m）2﹣4×（m+2）≥0，即m2﹣m﹣2≥0，解得m≥2或m≤﹣1；记事件A：设在区间[0，6]上随机地取一个数m，方程x2+2mx+m+2=0有实根符合几何概型，∴P（A）==．故答案为：．13．设变量x，y满足约束条件，则z=（）2x﹣y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】解：设m=2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域，要求z的最小值，则等价为求m的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设m=2x﹣y，要求z的最小值，则等价为求m的最大值．由m=2x﹣y，得y=2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣m，由平移可知当直线y=2x﹣m，经过点C时，直线y=2x﹣m的截距最小，此时z取得最大值，由，得，得C（1，0），代入m=2x﹣y，得m=2×1﹣0=2，即目标函数z=（）2x﹣y的最小值z=（）﹣2=，故答案为：14．已知正实数m，n满足m+n=1，当+取得最小值时，曲线y=xα过点P（，），则α的值为．【考点】基本不等式．【分析】由条件可得+=（m+n）（+）=17++，运用基本不等式可得最小值，及等号成立的条件，代入可得P的坐标，再由P满足曲线方程，可得α的值．【解答】解：正实数m，n满足m+n=1，+=（m+n）（+）=17++≥17+2=25，当且仅当n=4m=时，取得最小值25，曲线y=xα过点P（，），即有P（，），可得=（）α，解得α=．故答案为：．15．已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F，其准线与双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线与抛物线C1在第一象限内的交点的横坐标为，且△FAB 为正三角形，则双曲线C2的方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线C1：y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，利用△FAB为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线与抛物线C1在第一象限内的交点的横坐标为，可得交点坐标，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线C2的方程．【解答】解：抛物线C1：y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，∵△FAB为正三角形，∴|AB|=4，将（﹣，2）代入双曲线C2：﹣=1可得=1，∵双曲线的一条渐近线与抛物线C1在第一象限内的交点的横坐标为，∴交点坐标为（，2）∴=2，∴a=，b=2，∴双曲线C2的方程为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．一个盒子中装有形状、大小、质地均相同的5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5．甲、乙两人分别从盒子中不放回地随机抽取1张卡片．（Ⅰ）求甲、乙两人所抽取卡片上的数字之和为偶数的概率；（Ⅱ）以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为线段长度，求以这三条线段为边可以构成三角形的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据盒子中装有形状大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，可以写出所有可能的结果，从而求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；（Ⅱ）确定剩下的三边长包含的基本事件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）共20个设“甲、乙两人所抽取卡片上的数字之和为偶数”为事件A，则事件A包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），共8个．所以．（Ⅱ）以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为线段长度所包含的基本事件有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，共10个．设“以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为线段长度，求以这三条线段为边可以构成三角形”为事件B，则事件B包含的基本事件有{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，共3个．所以．17．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0）的图象上两个相邻的最高点之间的距离为π．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（θ）=，求cos（﹣4θ）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由二倍角公式和辅助角公式化简，由图象上两个相邻的最高点之间的距离为π，即可得到ω，由此得到单调增区间．（Ⅱ）由f（θ）=，得到．由此由二倍角公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）===．由题意知，函数f（x）的最小正周期为π，则，故ω=1．所以f（x）=，由，得，所以函数f（x）的单调递增区间为．（Ⅱ）由f（x）=，，得．．18．如图，四边形ABCD为菱形，EB⊥平面ABCD，EF∥BD，EF=BD．（Ⅰ）求证：DF∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥平面AFC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）设AC与BD的交点为O，连接EO，则四边形DOEF为平行四边形，故而DF∥OE，于是DF∥平面AEC；（II）由BE⊥平面ABCD可得BE⊥BO，即四边形OBEF是矩形，于是OB⊥OF，由菱形的性质得OB⊥AC，故而OB⊥平面AFC，而OB∥EF，EF⊂平面AEF，故而平面AEF⊥平面AFC．【解答】证明：（I）设AC与BD的交点为O，连接EO，因为，所以EF=OD．因为EF∥BD，所以EF∥OD．故四边形DOEF为平行四边形，所以DF∥OE，又OE⊂平面AEC，DF⊄平面AEC，所以DF∥平面AEC．（Ⅱ）连结OF，因为，所以EF=OB，因为EF∥BD，所以EF∥OB，故四边形BOFE为平行四边形．所以EB∥FO，因为EB⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD，又OB⊂平面ABCD，所以FO⊥OB．因为四边形ABCD为菱形，所以OB⊥AC，又AC⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，AC∩OF=O，所以OB⊥平面AFC．又EF∥OB，所以EF⊥平面AFC．因为EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面AFC．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（3a n﹣1）．数列{b n}为等差数列，b1=a1，b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式可得：a n．利用等差数列的通项公式可得b n．（II）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式相减得：，即a n=3a n﹣1（n≥2），由，得a1=1．∴数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，故．设等差数列{b n}的公差为d，依题设得，b1=a1，b5=a3，由上式可得1+4d=9，解得d=2，∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n+1=2n+1，∴=．∴=．20．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）代入a值，求出导函数，利用导函数的概念求出切线方程；（Ⅱ）求出导函数，对参数a进行分类讨论，得出导函数的正负，判断原函数的单调性；（Ⅲ）整理不等式得e x﹣lnx﹣2＞0，构造函数h（x）=e x﹣lnx﹣2，则，通过特殊值，知存在唯一实根x0，即，得出函数的最小值为．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，，f'（1）=﹣2．f（1）=0．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2=0．（Ⅱ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），由已知得．当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅲ）证明：当a=1时，不等式f（x）+e x＞x2+x+2可变为e x﹣lnx﹣2＞0，令h（x）=e x﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，而，所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；所以．即e x﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，所以对任意x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2成立．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，以椭圆E的半长轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设点A，B，C在椭圆E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件：d=r，解得a=2，b=1，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当AB为长轴（或短轴）时，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由直线AB方程代入椭圆方程，可得A的坐标，求得|OA|，求得直线OC的方程为，代入椭圆方程，可得C的坐标，求得|OC|，求出△ABC的面积，运用基本不等式，可得最小值，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）以原点O为圆心，以椭圆E的半长轴长为半径的圆的方程为x2+y2=a2，因为该圆与直线相切，所以有，解得a=2．又，所以，故b2=a2﹣c2=1．所以椭圆E的方程为；（Ⅱ）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C是椭圆的上顶点或下顶点（左顶点或右顶点），此时，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则直线AB的方程为y=kx，由，解得，所以，由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为线段AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为，由，解得x32=，y32=，，=．当且仅当1+4k2=4+k2，即k=±1时，上式中的等号成立，此时△ABC的面积的最小值为，因为，所以△ABC的面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x，或y=﹣x．。
2021-2022年高三二模数学(文)试卷 含解析
2021-2022年高三二模数学（文）试卷 含解析 考生注意： 本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知全集，集合，则集合的补集 .2.指数方程的解是 .3.已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .4.函数的递增区间为 .5.算法流程图如图所示，则输出的值是 .6.抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是 .8.关于 的函数2()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为，则的解析式为 .9.如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于 .10.圆心在直线2x y 7=0上的圆C 与y 轴交于A (0, 4)、B (0, 2) 两点， ( 第5题图 )( 第9题图 )则圆C的方程为 .11.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则 .12.若不等式组0,34,34xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .13.掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)(i为虚数单位)为实数的概率为 .14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.的展开式中的系数为( )A. 1B.4C.6D.1216.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A的弧度数为( )A. B. C. D.17.若函数为奇函数，且g(x)=f(x)＋2，已知 f(1) =1，则g(－1)的值为( )A.1B.－1C. 2D.－218.已知实数满足20,0,3,x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩则的最大值为 ( )A. 17B. 15C. 9D. 5三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF(底面正六边形ABCDEF 的中心为球心).求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知分别是椭圆(其中)的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点.(第19题图)(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以的平均速度在水上旅游线航行(将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过).(1)问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？(2)海中有一处景点(设点在平面内，，且)游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点C的坐标.(第21题图)22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数，若在区间内有且只有一个实数()，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.(1)判断函数在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点；(3)若函数在区间内具有唯一零点，求实数m的取值范围.23.(本小题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项为正的数列是等比数列，且，；数列满足：对于任意，有=.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)在数列的任意相邻两项与之间插入个()后，得到一个新的数列. 求数列的前xx项之和.xx 静安区高考数学（文科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集.【参考答案】【试题分析】{}{}|(1)(4)0|14A x x x x x =--=-≤≤≤，所以,故答案为.2. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.【参考答案】【试题分析】令，则有，所以或（舍去），即，故答案为.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】12【试题分析】因为数列的公比，故数列存在极限，则有118[1()]2lim lim1211()2nnn nS→→⨯--==--∞∞，故答案为12.4. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.【参考答案】【试题分析】因为的递增区间为，所以又因为，所以，故答案为.5. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.【参考答案】5【试题分析】执行第一次，，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，满足判断条件，输出k，故答案为5.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】【试题分析】因为，则抛物线的准线方程为，因为抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离相等，所以设该点的横坐标为，则有，故答案为.7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/含有绝对值的不等式的解法.【参考答案】【试题分析】即，所以，故答案为.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.【参考答案】【试题分析】 222()cos 2cos 1(cos )1f x x x θθθθ=--=---，因为，所以当时，22()(1)12M x x x x =----=；当，22()(1)12M x x x x =---=-，所以，故答案为.9.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/投影与画图/三视图；图形与几何/简单几何体的研究/柱体，球.【参考答案】 【试题分析】由图形的三视图可知球的半径为，圆柱的高，则几何体的体积324413()()1332233a a V V Vb π=+=π+π=π⨯+π=球圆柱，故答案为. 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的和基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程与一般方程.【参考答案】【试题分析】设圆的标准方程为，因为点满足圆的方程，则有①，②，由①－②得，，又因为圆心在直线上，故，则 ，把代入得，所以圆的标准方程为，故答案为.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】12【试题分析】如图，取BC 中点D ，联结AD ,则,又因为,所以O 为BC 的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC 外接圆的半径为2，所以,所以3423122CA CB ⋅=⨯⨯=,故答案为12.第11题图 apto612.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/二次一次不等式所表示的平面区域. 【参考答案】【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图()，直线恒过的顶点A ,要使得其平分的面积，则其过线段AB 的中点D,由得,,所以,代入得，故答案为.第12题图 apto713.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率； 数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】【试题分析】复数22(i)(i)2()i z m n n m mn n m =+-=+-为实数，则，掷两颗骰子，其向上的点数的组合有36种，其中相等的组合有6种，故事件“复数为实数”的概率为. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.【参考答案】9【试题分析】令2()3,()f x ax g x x b =+=-，在同一坐标系下作出两函数的图像： ①如图(1)，当的在轴上方时，，，但对却不恒成立；第14题图(1) apto8②如图(2),,令得，令得，要使得不等式在上恒成立，只需2239,,9b b a b a a =-==.第14题图(2) apto9综上，，故答案为9.二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关整理与概率统计的基本知识.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【正确选项】C【试题分析】展开式的第项为，所以含的为第3项，其系数为,故答案为C.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【正确选项】D 【试题分析】因为的面积222111sin ()cos 242S bc A b c a bc A ==+-=,所以,. 17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;【正确选项】B【试题分析】因为，所以，又因为为奇函数，所以(1)(1)2(1)+1-=-=-=-，F F f所以，,故答案为B.18.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/简单的线性规划.【正确选项】A【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其中直线将其分为的两部分，联立得,联立得,在上，直线在点有最大值，此时，在上，直线在点有最大值，此时，所以的最大值为17，故答案为A.第18题图 apto10三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/球、锥体.【参考答案】设底面中心为O，AF中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，…………2分HEM62第19题图OM⊥AF，PM⊥AF，∵OA＝OP＝2，∴OM＝，∴.∴. …………6分. …………8分∴. …………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）运算能力/能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.【参考答案】（1）抛物线的焦点为 ………1分所以椭圆的左焦点为， ，………2分又，得，解得（舍去），………4分故椭圆C 的方程为. ………6分（2）直线的方程为． …………………7分 联立方程组222,162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去并整理得． ……………10分 设，，故． …………………11分则12|||AB x x =-==…………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离、两条相交直线的交点和夹角.（2）图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的交点和夹角、两条直线的平行关系与垂直关系.【参考答案】（1）由已知得：，直线的方程为，………1分设，由及图得，………3分直线的方程为，即，………5分由得即，………6分∴=AB游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．………8分（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为. ………10分由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为，………12分所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．……14分解法2：设游轮在线段上的点处，则，，………10分，，222∴=-+-PC t t(218)(188)，，………12分时，当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1,5).………14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质与图像.（2）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.（3）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.【参考答案】（1）函数在定义域内不具有唯一零点, ………2分因为当时,都有；………4分(2) 因为1π12cos21sin(2)126m n x x x⋅+=++=++,所以,…………7分的解集为ππ,3A x x k k⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z；因为,所以在区间内有且只有一个实数,使得成立,因此在开区间内具有唯一零点. …………10分(3) 函数在开区间内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为．以下分m与区间的位置关系进行讨论．①当即时, 在开区间是增函数,只需解得…………12分② 当即时,若使函数在开区间内具有唯一零点，，所以分三种情形讨论：当时,符合题意；当时, 空集；当时, 只需解得. …………14分③当即时, 在区间是减函数,只需解得.综上讨论，实数m的取值范围是或或．…………16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等比数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.【参考答案】(1)由得， ………2分………4分（2），得. ………5分当时，n n n n n n n n b a b a b a b a b a 2)()(111111⋅=++-++=-- . ………8分 于是. ………10分（3）设数列的第项是数列的第项，即. 当时，(1)[12(1)]2k k k m k k +=++++-=. ………12分 ，，， ………14分设表示数列的前n 项之和.则]62)1(2)1()1[()(6262221163212016b b b a a a S ⋅-++⋅-+-++++= . 其中，.又，则626222162)1(2)1()1(b b b -++-+-=26222262)1(2)1(1)1(-++-+-=)6162(])12()2[()34()12(22222222-++--++-+- m m =(411)(421)(41)(4311)n ⨯-+⨯-++-++⨯- 31(4114311)19532⨯-+⨯-==因此，195121953)22(64642016+=+-=S . ………18分L38541 968D 隍"20319 4F5F 佟=29611 73AB 玫 B~x823360 5B40 孀4r22552 5818 堘。
2020-2021学年山东省烟台市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
【解答】解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，
∴∁UA={1，5}，
故选：C．
2．在复平面内，复数z= ﹣2i3（i为虚数单位）表示的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
满足条件k＞4，退出循环，输出S的值为﹣11．
故选：B．
8．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则 + 最小值（ ）
A．2B．6C．12D．3+2
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），建立m，n的关系，利用基本不等式即可求 + 的最小值．
选项B，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆否命题为“若a≥b，则am2≥bm2”为真命题，故B正确，
选项C，命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1≥0，故C错误，
选项D，命题“若x= ，则tanx=1”的逆命题“若tanx=1，则x= ”，因为tanx=1，则x=kπ+ ”，故D错误，
【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，
∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，
∴S△ABC= bcsinA= = ，
故选：B．
7．执行如图的程序框图，若输入n为4，则输入S值为（ ）
A．﹣10B．﹣11C．﹣21D．6
【考点】程序框图．
2023年山东省济南市高考数学二模试卷【答案版】
2023年山东省济南市高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z =−12+√32i ，则z 2+z ＝（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．12．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝x }，B ＝{（x ，y ）||x |+|y |＝1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A ．7.6B ．7.8C ．8D ．8.25．已知直线y ＝x ﹣1与曲线y ＝e x +a 相切，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．26．17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法．如图，AEB̂是一个半圆，圆心为O ，ABCD 是半圆的外切矩形．以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD ，阴影部分，半圆AEB ̂所形成的几何体的体积分别为V 1，V 2，V 3，则下列说法正确的是（ ）A ．V 1+V 2＜V 3B ．V 1+V 2＞V 3C ．V 1＞V 2D ．V 1＝V 27．已知函数f(x)=3x−13x +1，数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +），f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，则∑ 2023i=1a i =（ ） A ．0B ．1C ．675D ．20238．已知函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x −π6)是偶函数B ．f （x ）的最小正周期为2πC ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．方程f （x ）＝2b 在区间[0，2π]上有2个实根二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．1a−c＞1b−cB ．a ﹣c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab +bc ＞010．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A ．乙发生的概率为12B ．丙发生的概率为12C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件11．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，E ，F ，G 分别是线段AD ，CD ，BC 的中点，将△ABD 沿直线BD 折起得到三棱锥A ﹣BCD ，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）A ．直线EF ∥平面ABCB ．直线BE 与DG 是异面直线C ．直线BE 与DG 可能垂直D ．若EG =√74AB ，则二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π312．若定义在[0，1]上的函数f （x ）同时满足：①f （1）＝1；②对∀x ∈[0，1]，f （x ）≥0成立；③对∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]，f （x 1）+f （x 2）≤f （x 1+x 2）成立；则称f （x ）为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]是“正方和谐函数”B ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （0）＝0C ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （x ）在[0，1]上是增函数D ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则对∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x 成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)，则tan(α+π6)的值为 ．14．已知abc 表示一个三位数，如果满足a ＞b 且c ＞b ，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共 个（用数字作答）．15．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，2)，若非零向量c →与a →，b →的夹角均相等，则c →的坐标为 （写出一个符合要求的答案即可）．16．如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝2|AD |，A 1，A 2分别为边AB ，CD 的中点，M ，N 分别为线段A 2C （不含端点）和AD 上的动点，满足|MA 2||CD|=|DN||AD|，直线A 1M ，A 2N 的交点为P ，已知点P 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）根据国家统计局统计，我国2018﹣2022年的新生儿数量如下：（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y 与年份编号x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量． 参考公式及数据：r =∑x i y n i=1−nxy√(∑ i=1x i −nx2)(∑ i=1y i −ny 2)，b =∑x i y ini=1−nxy ∑ n i=1x i2−nx 2，a =y −b x ，∑ 5i=1y i =6206，∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如下所示，求该数阵中所有项的和T n ． (a 1b 1，a 1b 2，a1b 3，⋯，a 1b n a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，⋯，a 2b n a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，⋯，a 3b n⋯a nb 1，a n b 2，a n b 3，⋯，a n b n)19．（12分）如图，在正三棱台ABC ﹣DEF 中，M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，AB ＝2DE ． （1）证明：四边形MNFD 为矩形；（2）若四边形MNFD 为正方形，求直线BC 与平面ACFD 所成角的正弦值．20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →⋅BG →=0． （1）若∠GAB =π6，求tan ∠GAC 的值； （2）求cos ∠ACB 的取值范围．21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，由E 的三个顶点构成的三角形的面积为2．（1）求E 的方程；（2）记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，点P 在线段AB 上运动，垂直于x 轴的直线PQ 交E 于点M （点M 在第一象限），P 为线段QM 的中点，设直线AQ 与E 的另一个交点为N ，证明：直线MN 过定点．22．（12分）已知函数f(x)=lnx (x−a)2．（1）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，e ]上的值域； （2）若f （x ）有唯一的极值点，求a 的取值范围．2023年山东省济南市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z =−12+√32i ，则z 2+z ＝（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：由z =−12+√32i 得z 2+z =z(z +1)=(−12+√32i)(12+√32i)=(√32i)2−(12)2=−1． 故选：A ．2．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝x }，B ＝{（x ，y ）||x |+|y |＝1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：解{y =x |x|+|y|=1得，{x =12y =12或{x =−12y =−12， ∴A ∩B ={(−12，−12)，(12，12)}，A ∩B 的元素个数为2． 故选：C ．3．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8解：由于抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为x 轴正半轴上， x 2+y 2＝4与x 轴正半轴的交点为（2，0）， 故抛物线的焦点为（2，0），所以p2=2⇒p =4，因此抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4． 故选：C ．4．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A ．7.6B ．7.8C ．8D ．8.2解：这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数， 又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9， 又极差为3，所以最小数字为6， 所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为6+7+8+9+95=7.8．故选：B ．5．已知直线y ＝x ﹣1与曲线y ＝e x +a 相切，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2解：由y ＝e x +a ，得y ′＝e x +a •（x +a ）′＝e x +a ， 设切点为（x 0，y 0），则{y 0=x 0−1①y 0=e x 0+a ②e x 0+a =1③，由①②得，x 0−1=e x 0+a ④， 联立③④得，x 0＝2，a ＝﹣2． 故选：A ．6．17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法．如图，AEB̂是一个半圆，圆心为O ，ABCD 是半圆的外切矩形．以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD ，阴影部分，半圆AEB ̂所形成的几何体的体积分别为V 1，V 2，V 3，则下列说法正确的是（ ）A ．V 1+V 2＜V 3B ．V 1+V 2＞V 3C ．V 1＞V 2D ．V 1＝V 2解：设半圆的半径为r ，则△OCD 以直线OE 为轴旋转一周所得图形为圆锥， 底面半径与高均为r ，则V 1=13πr 3； 半圆AEB̂所形成的几何体为半球，体积V 3=12×43πr 3=23πr 3； 阴影部分所形成的几何体为圆柱挖去一个半球，体积V 2=πr 3−23πr 3=13πr 3． ∴V 1＝V 2，V 1+V 2＝V 3，结合选项可知，D 正确． 故选：D ．7．已知函数f(x)=3x−13x +1，数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +），f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，则∑ 2023i=1a i =（ ） A ．0B ．1C ．675D ．2023解：函数f （x ）的定义域为R ，且f （﹣x ）=3−x−13−x +1=−3x−13x +1=−f （x ），故函数f （x ）为奇函数，又f （x ）＝1−23x+1为R 上的增函数， 因为f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，所以f （a 1）＝﹣f （a 2+a 3）＝f （﹣a 2﹣a 3）， ∴a 1+a 2+a 3＝0，因为数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +）， 所以∑ 2023i=1a i =674（a 1+a 2+a 3）+a 2023＝0+a 1＝1， 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x −π6)是偶函数B ．f （x ）的最小正周期为2πC ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．方程f （x ）＝2b 在区间[0，2π]上有2个实根解：∵函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称， ∴f （0）＝f （π3），即b ＝a sin2π3+b cos2π3，所以a =√3b ，所以f （x ）=√3b sin2x +b cos2x ＝2b sin （2x +π6）， 此时f （π6）＝2b sin （2×π6+π6）＝2b ， 故函数图象关于x =π6对称，f （x −π6）＝2b sin （2x ﹣2×π6+π6）＝2b sin （2x −π6）， 令g （x ）＝f （x −π6）＝2b sin （2x −π6）， 则g （π12）＝2b sin （π6−π6）＝0，而g （−π12）＝2b sin （﹣2×π6）=−√3b ≠0，故g （x ）＝f （x −π6）＝2b sin （2x −π6）不是偶函数，故A 错误； f （x ）的最小正周期为2π2=π，故B 错误；因为b 的正负无法确定，故f （x ）在区间[−π3，π6]上的单调性无法确定，故C 错误； 令f （x ）＝2b ，x ∈[0，2π]，因2b ≠0，则sin （2x +π6）＝1，因为x ∈[0，2π]，所以2x +π6∈[π6，25π6]，所以2x +π6=π2或2x +π6=5π2，解得x =π6或x =7π6，故D 正确． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．1a−c＞1b−cB ．a ﹣c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab +bc ＞0解：对于A ，∵a ＞b ＞c ，∴a ﹣c ＞b ﹣c ＞0，∴1a−c＜1b−c，A 错误；对于B ，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴b +c ＝﹣a ＜0，a ﹣b ＞0， ∴a ﹣b ＞b +c ，即a ﹣c ＞2b ，B 正确；对于C ，∵a ﹣b ＞0，a +b ＝﹣c ＞0，∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＞0，即a 2＞b 2，C 正确； 对于D ，ab +bc ＝b （a +c ）＝﹣b 2≤0，D 错误． 故选：BC ．10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A ．乙发生的概率为12B ．丙发生的概率为12C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件解：对于A ，基本事件总数为6×5＝30，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”包含的基本事件数为5×3＝15，∵P （乙）=1530=12，∴正确，对于B ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”包含的基本事件数为2×3×3＝18， ∴P （丙）=1830=35，∴错误，对于C ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”包含的基本事件数为2×3×2＝12， ∴P （丁）=1230=25，∵P （甲丁）=3×230=15，∴P （甲）=12， ∴P （甲丁）＝P （甲）P （丁），∴正确，对于D ，∵丙与丁两个事件不会同时发生，是互斥事件，且并事件为必然事件，∴丙与丁互为对立事件，∴D 正确． 故选：ACD ．11．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，E ，F ，G 分别是线段AD ，CD ，BC 的中点，将△ABD 沿直线BD 折起得到三棱锥A ﹣BCD ，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）A ．直线EF ∥平面ABCB ．直线BE 与DG 是异面直线C ．直线BE 与DG 可能垂直D ．若EG =√74AB ，则二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π3解：对于A ，∵E ，F 分别为AD ，CD 中点，∴EF ∥AC ， ∵AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ，A 正确； 对于B ，∵BE ∩平面BCD ＝B ，DG ⊂平面BCD ，B ∉DG ， ∴BE 与DG 为异面直线，B 正确；对于C ，设菱形ABCD 的边长为2，又∠BAD =π3，则BD ＝2，∵BE →=BD →+DE →=BD →+12DA →，DG →=DB →+BG →=DB →+12BC →， ∴BE →⋅DG →=(BD →+12DA →)⋅(DB →+12BC →)=−BD →2+12BD →⋅BC →−12BD →⋅DA →+14DA →⋅BC → =−4+12×4×12−12×4×(−12)+14DA →⋅BC →=−2+14DA →⋅BC →， ∵DA →⋅BC →=4cos ＜DA →，BC →＞∈[−4，4]，∴BE →⋅DG →≠0， 即BE 与DG 不可能垂直，C 错误；对于D ，取BD 中点O ，连接AO ，CO ，OG ，OE ，∵△ABD ，△CBD 为等边三角形，∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴∠AOC 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角， 设菱形ABCD 的边长为2，则OA =OC =√3，∵EG →=OG →−OE →=12(OB →+OC →)−12BA →=12(OB →+OC →)−12(OA →−OB →)=12OC →−12OA →+OB →， ∴EG →2=14OC →2+14OA →2+OB →2−12OA →⋅OC →+OB →⋅OC →−OA →⋅OB →=34+34+1−32cos∠AOC =52−32cos∠AOC ， 又EG =√74AB ，∴52−32cos∠AOC =74，解得：cos ∠AOC =12，∴二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π3，D 正确． 故选：ABD ．12．若定义在[0，1]上的函数f （x ）同时满足：①f （1）＝1；②对∀x ∈[0，1]，f （x ）≥0成立；③对∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]，f （x 1）+f （x 2）≤f （x 1+x 2）成立；则称f （x ）为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]是“正方和谐函数”B ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （0）＝0C ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （x ）在[0，1]上是增函数D ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则对∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x 成立 解：A ：易知①②满足，∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]时，f(x 1)+f(x 2)=x 12+x 22≤(x 1+x 2)2≤f(x 1+x 2)，故A 对；B ：由②知f （0）≥0，在③中令x 1＝x 2＝0，故2f （0）≤f （0）得f （0）≤0，故f （0）＝0，故B 对；C ：举反例，函数f(x)={0，x =01，0＜x ≤1是正方和谐函数，但不是增函数，故C 错；实际上，若0≤x 1＜x 2≤1，则0＜x 2﹣x 1≤1，故f （x 1）+f （x 2﹣x 1）≤f （x 1+x 2﹣x 1）＝f （x 2），f （x ）为[0，1]上的不减函数； D ：由C 知，f （x ）为[0，1]上的不减函数，0＝f （0）≤f （x ）≤f （1）＝1，当12≤x ≤1时，得f （x ）≤1≤2x ；当14≤x ＜12时，12≤2x ＜1，故f （2x ）≤1≤4x ；依次类推，⋯，当12n≤x ＜12n−1时，则12≤2n−1x ＜1，f(2n−1x)≤1≤2n x （1）， 条件③中令x 1=x 2=x ∈[0，12]，2f(x)≤f(2x)⇒f(x)≤12f(2x)，f(2x)≤12f(4x)(x ∈[0，14])，⋯，f(x)≤12f(2x)≤⋯≤12n−1f(2n−1x)(x ∈[0，12n−1])（2）， 由（1）（2）得f(x)≤12f(2x)≤⋯≤12n−1f(2n−1x)≤2x ，12n≤x ≤1时，f （x ）≤2x ，当n →+∞时，12n→0，故0＜x ≤1时，f （x ）≤2x ，又由f （0）＝0也满足上式，故∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x ，故D 对． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)，则tan(α+π6)的值为 √3 ． 解：由sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)可得sin[π−(π6+α)]=√3cos(α+π6)⇒sin(π6+α)=√3cos(α+π6)⇒tan(α+π6)=√3． 故答案为：√3．14．已知abc 表示一个三位数，如果满足a ＞b 且c ＞b ，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共 240 个（用数字作答）．解：a ，b ，c 为取自0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的不同的三个数字， 最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为2×C 103=240．故答案为：240．15．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，2)，若非零向量c →与a →，b →的夹角均相等，则c →的坐标为 （1，1）（答案不唯一，可以去直线y ＝x 上除原点外的任意点） （写出一个符合要求的答案即可）． 解：设c →=（x ，y ），c →与a →，b →的夹角分别为α，β，则cos α＝cos β，∴c →⋅a→|c →||a →|=c →⋅b→|c →||b →|，可得2√5(x +2y)=√5(4x +2y)，整理得x ＝y ，不妨取x ＝y ＝1，则c →=(1，1)．故答案为：（1，1）（答案不唯一，可以去直线y ＝x 上除原点外的任意点）．16．如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝2|AD |，A 1，A 2分别为边AB ，CD 的中点，M ，N 分别为线段A 2C （不含端点）和AD 上的动点，满足|MA 2||CD|=|DN||AD|，直线A 1M ，A 2N 的交点为P ，已知点P 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 √3 ．解：以A 1A 2所在的直线为y 轴，线段A 1A 2的中垂线所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系：设|AD |＝|BC |＝m （m ＞0），则|AB |＝|CD |＝2m ，则有A （﹣m ，−m2），B （m ，−m 2），A 1（0，−m 2），A 2（0，m2），C （m ，m2），D （﹣m ，m2），设M （x 0，m2）（0＜x 0＜m ），N （﹣m ，y 0）（−m 2≤y 0≤m2），所以|MA 2|＝x 0，|DN |=m2−y 0， 又因为|MA 2||CD|=|DN||AD|，所以x 02m=m2−y 0m，所以x 0＝m ﹣2y 0或y 0=m−x 02， 又因为k AM =m 2−(−m 2)x 0−0=m x 0， 所以直线A 1M 的方程为：y ﹣（−m2）=mx 0（x ﹣0），即y =mx 0x −m2，同理可得直线A 2N 的方程为：y −m2=−y 0−m 2m （x ﹣0），即y =m 2−y 0−m2m x =m 2−m−x 02−m 2mx =m 2+x2m ，由{y =m x 0x −m 2y =m 2+x 02m x ，可得{x =2x 0m 22m 2−x 02y =2m 3+mx 022(2m 3−x 02)， 即P （2x 0m 22m 2−x 02，2m 3+mx 022(2m 2−x 02)），因为x P =2x 0m 22m 2−x 02，∴x P 2=（2x 0m 22m 2−x 02）2， y P =2m 3+mx 022(2m 2−x 02)=m(2m 2+x 02)2(2m 2−x 02)，∴y P 2=（m(2m 2+x 02)2(2m 2−x 02)）2=m 24•(2m 2−x 02)2+8m 2x 02(2m 2−x 02)2=m 24•（1+8m 2x 02(2m 2−x 02)2=m 24+2m 4x 02(2m 2−x 02)2=m 24+x P 22，即有y P2−x P 22=m 24，∴y P 2m 24−x P 2m 22=1，所以点P 所在双曲线方程为：y 2m 24−x 2m 22=1，所以a 2=m 24，b 2=m 22，所以c 2＝a 2+b 2=3m 24，所以e =ca =√32m 12m =√3．故答案为：√3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）根据国家统计局统计，我国2018﹣2022年的新生儿数量如下：（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y 与年份编号x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量． 参考公式及数据：r =∑x i y n i=1−nxy√(∑ i=1x i −nx 2)(∑ i=1y i −ny 2)，b =∑x i y ini=1−nxy ∑ n i=1x i2−nx 2，a =y −b x ，∑ 5i=1y i =6206，∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564．解：（1）∵x =1+2+3+4+55=3，y =15∑ 5i=1y i =15×6206=1241.2， ∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564，∴r =∑5i=1i i −5xy√(∑ i=1x i −5x 2)(∑ i=1y i −5y 2)≈17081−5×3×1241.21564≈−0.983．∴新生儿数量y 与年份编号x 具有很强的负相关性； （2）b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x 2=17081−5×3×1241.212+22+32+42+52−5×32=−153710=−153.7， a =y −b x =1241.2−(−153.7)×3=1702.3． ∴y =−153.7x +1702.3．取x ＝6，得y =−153.7×6+1702.3=780.1． ∴预测我国2023年的新生儿数量为780.1万人．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如下所示，求该数阵中所有项的和T n ． (a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，⋯，a 1b n a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，⋯，a 2b n a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，⋯，a 3b n⋯a nb 1，a n b 2，a n b 3，⋯，a n b n)解：（1）由S n＝2n+1﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，对n＝1也成立．所以a n＝2n，n∈N*；b n＝log2a n＝log22n＝n；（2）T n＝（a1b1+a1b2+...+a1b n）+（a2b1+a2b2+...+a2b n）+...+（a n b1+a n b2+...+a n b n）＝（a1+a2+...+a n）（b1+b2+...+b n）=2(1−2n)1−2•12n（1+n）＝n（1+n）（2n﹣1）．19．（12分）如图，在正三棱台ABC﹣DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，AB＝2DE．（1）证明：四边形MNFD为矩形；（2）若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值．证明：（1）延长AD，BE，CF，则AD，BE，CF相交于一点G，连接FM，GN，DN，GM，M，N分别为棱AB，BC的中点，所以MN∥AC，且MN=12AC，由于AB＝2DE，所以AC＝2DF，又AC∥DF，所以DF∥MN，MN＝DF，所以四边形MNFD为平行四边形，在三棱锥G﹣ABC中，GA＝GC，GM＝GN，MC＝AN，所以△GAN≅△GCM，进而得∠CGM＝∠AGN，又GF＝GD，GM＝GN，因此△FGM≅△DGN，所以MF＝DN，故四边形MNFD为矩形；解：（2）由DE =12AB ，DE ∥AB 可知D ，E 分别是GA ，GB 的中点， 所以DM ∥GB ，DM =12GB ，又四边形MNFD 为正方形，所以DM ＝MN ，所以AC ＝GB ，由于三棱锥G ﹣ABC 为正三棱锥，且AC ＝GB ，因此三棱锥G ﹣ABC 为正四面体， 因此直线BC 与平面ACFD 所成的角即为直线GC 与平面ABC 所成角，取△ABC 的中心为O ，连接GO ，则GO ⊥平面ABC ，所以∠GCO 为直线GC 与平面ABC 所成角， 设四面体G ﹣ABC 的棱长为a ，在△ABC 中，由正弦定理可得AO =12BCsin60°=√33a ，GO =√GC 2−OC 2=√a 2−(√33a)2=√63a ，在△GOC 中，sin ∠GCO =GO GC =√63， 故直线BC 与平面ACFD 所成的角的正弦值为√63．20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →⋅BG →=0． （1）若∠GAB =π6，求tan ∠GAC 的值； （2）求cos ∠ACB 的取值范围．解：（1）延长CG 交AB 于点D ，如图所示：∵点G 是△ABC 的重心，∴D 是AB 的中点，且DG =12CG ，∵AG →⋅BG →=0，∴AG ⊥BG ，∴DG ＝DA ＝DB =12c ，GC ＝2DG ＝c ， 又∠GAB =π6，则AG =√32c ，在△AGC 中，设∠CAG ＝α，由正弦定理得AGsin∠ACG=CGsinα，即√32c sin(π6−α)=c sinα，∴√32sin α＝sin （π6−α），即cos α＝2√3sin α， ∴tan α=sinαcosα=√36，即tan ∠GAC =√36； （2）由（1）得CD =32c ，在△ABC 中，cos ∠BAC =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =b 2+c 2−a 22bc ，在△ACD 中，cos ∠DAC =AD 2+AC 2−DC22AD⋅AC=c 24+b 2−9c 242b⋅c 2=b 2−2c 2bc ，∴b 2+c 2−a 22bc=b 2−2c 2bc，即a 2+b 2＝5c 2，在△ACB 中，cos ∠ACB =a 2+b 2−c 22ab =2(a 2+b 2)5ab ≥45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又∠ACB ∈（0，π），则cos ∠ACB ＜1， 故cos ∠ACB 的取值范围为[45，1）．21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，由E 的三个顶点构成的三角形的面积为2．（1）求E 的方程；（2）记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，点P 在线段AB 上运动，垂直于x 轴的直线PQ 交E 于点M （点M 在第一象限），P 为线段QM 的中点，设直线AQ 与E 的另一个交点为N ，证明：直线MN 过定点．解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，故2a ＝4，所以a ＝2，E 的三个顶点构成的三角形，面积为12×2ab =ab ； 所以ab ＝2，解得b ＝1， 故E 的方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由于MQ ⊥x 轴，所以MN 不可能垂直于x 轴，故直线MN 的斜率存在，故设直线MN 的方程为y ＝kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 24+y 2=1⇒⇒(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 则Δ=(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)＞0，x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2，直线AB 的方程为x2+y =1，当x ＝x 1时，y =1−x 12，所以P(x 1，1−x12)，P 是MQ 的中点，所以Q （x 1，2﹣x 1﹣y 1），k QA =2−x 1−y 1x 1−2=y 2x 2−2，即−1−y 1x 1−2=y 2x 2−2，所以−1=y 1x 1−2+y 2x 2−2， 则（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝y 2（x 1﹣2）+y 1（x 2﹣2）⇒（kx 2+m ）（x 1﹣2）+（kx 1+m ）（x 2﹣2）＝﹣（x 1﹣2）（x 2﹣2），化简得（2k +1）x 1x 2﹣（2+2k ﹣m ）（x 1+x 2）﹣4m +4＝0， 代入x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2得(2k +1)4m 2−41+4k2−(2+2k −m)−8km 1+4k2−4m +4=0，故（m +2k ）（m +2k ﹣1）＝0，所以m ＝﹣2k 或m ＝﹣2k +1， 故直线NM 的方程为y ＝kx ﹣2k 或y ＝kx ﹣2k +1，由于M 不与A 重合，所以直线不经过（2，0），故直线NM 的方程为y ＝kx ﹣2k +1，此时Δ＝（8km ）2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣4）＝64k 2﹣16m 2+16＝64k 2﹣16（﹣2k +1）2+16＝64，故k ＞0，此时直线过定点（2，1）． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx (x−a)2．（1）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，e ]上的值域； （2）若f （x ）有唯一的极值点，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝0时，f （x ）=lnx x 2， f ′（x ）=1x ⋅x 2−2xlnxx 4=1−2lnxx 3， 令f ′（x ）＝0得x =√e ，所以在（1，√e）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（√e，e）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x=√e处的极大值，且f（√e）=12e ，又f（1）＝0，f（e）=1e2，所以f（x）在[1，e]上的值域为[0，12e ]．（2）f′（x）=1x(x−a)2−2(x−a)lnx(x−a)4=1−ax−2lnx(x−a)3，x＞0，f（x）的极值点等价于f′（x）的变号零点，设g（x）＝1−ax−2lnx，x＞0，①若a≤0时，f（x）的定义域为（0，+∞），因为x＞0，所以x﹣a＞0，所以（x﹣a）3＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为g（1）＝1﹣a＞0，g（e﹣a）＝1−ae−a−2ln（e﹣a）＜0，所以存在唯一的x0∈（1，e﹣a），使得g（x0）＝0，即f′（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）存在唯一极大值点，符合题意，②若a＞0，f（x）的定义域为（0，a）∪（a，+∞），当x∈（a，+∞）时，（x﹣a）3＞0，g（x）＝1−ax−2lnx，g′（x）=ax2−2x=a−2xx2＜0，所以g（x）单调递减，又g（a）＝﹣2lna，当a＞1时，g（a）＜0，所以g（x）＜0，f′（x）＜0，所以f（x）在（a，+∞）上无极值点，当a＝1时，g（a）＝0，所以g（x）≤0，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以f （x ）在（a ，+∞）上无极值点， 当0＜a ＜1时，g （a ）＞0，g （2）＜0，所以存在唯一的x 1∈（a ，2），g （x 1）＝0，即f ′（x 1）＝0， 所以当x ∈（a ，x 1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（x 1，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以x ＝x 1为f （x ）在（a ，+∞）的极大值点， 所以f （x ）在（a ，+∞）有一个极值点， 当x ∈（0，a ）时，（x ﹣a ）3＜0， g （x ）＝1−ax −2lnx ，g ′（x ）=a x 2−2x =a−2x x2， 令g ′（x ）＝0得x =a2，所以当x ∈（0，a2）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ∈（a2，a ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，令g （a 2）＝﹣1﹣2ln a2=0，解得a =2√e， 当a ＞1时，若a ∈（1，√e），g （a2）＞0，g （a ）＝﹣2lna ＜0，当x ∈（0，a2）时，g （a 216）＝1−16a −2ln a 216＜1−16a +√a216−4＝﹣3＜0，所以存在x 2∈（a 216，a 2），x 3∈（a2，a ），g （x 2）＝g （x 3）＝0，当x ∈（0，x 2）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（x 2，x 3）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ∈（x 3，a ）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以x ＝x 2为f （x ）的极大值点，x ＝x 3为f （x ）的极小值点， 所以f （x ）在（0，a ）上有两个极值点， 若a ∈（√e，+∞），则g （a2）≤0，g （x ）≤0，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（0，a ）上无极值点， 所以a ＞1不符合题意， 当a ＝1时，g （12）＞0，g （116）＜0，g （1）＝0，所以存在唯一x 4∈（116，12），使得g （x 4）＝0，当x ∈（0，x 4）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0， 当x ∈（x 4，1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0， 所以x ＝x 4为f （x ）的极大值点， 此时f （x ）在（0，a ）有一个极值点， 所以a ＝1符合题意，当0＜a ＜1时，g （a2）＞0，g （a ）＝﹣2lna ＞0，当x ∈（0，a2）时，g （a 216）＜0，所以存在为友谊x 5∈（a 216，a 2），使得g （x 5）＝0，当x ∈（0，x 5）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（x 5，a ）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以x ＝x 5为f （x ）的极大值点，所以f （x ）在（0，a ）有一个极值点，不合题意， 综上所述，a 的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．。
2020-2021学年山东省高考数学模拟(文)试题及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B U ð=（A ）{2,6}（B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6} （2）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56 （B）60 （C）120 （D）140（4）若变量x，y满足2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）12+π33（B）123（C）123（D）2（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，b内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面b相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离（8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A=（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6 (9)已知函数f(x)的定义域为R.当x ＜0时，f(x)=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x)= —f(x)；当x ＞12时，f(x+12)=f(x —12).则f(6)= （A ）-2 （B ）-1（C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020-2021学年山东省青岛市高考数学二试卷(文)及答案解析
山东省青岛市高考数学二试卷（文科）（解析版）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]2．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1z2是实数，则t等于（）A．B．C．﹣D．﹣3．命题p：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），命题q：∃x∈N，x3＜x2．则（）A．p假q假B．p真q假C．p假q真D．p真q真4．平面向量与夹角为，，则等于（）A．13 B．C．D．35．已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．4 B．C．D．6．（5分）（2014大连学业考试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．647．（5分）（2016衡阳二模）将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[2k+1，2k+2]（k∈Z）D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数m满足f（log3m）+≤2f（1），则m的取值范围是（）A．（0，3] B．[，3] C．[，3）D．[，+∞）9．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知椭圆，双曲线和抛物线y2=2px（p＞0）的离心率分别为e1、e2、e3，则（）A．e1e2＞e3B．e1e2=e3C．e1e2＜e3D．e1e2≥e3二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．（5分）（2010北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a= ．12．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为[25，30）的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25，30）的人数为．13．双曲线的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是．14．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”；②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．④函数y=log2其中真命题的序号是．（请填上所有真命题的序号）三、解答题（共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16．（12分）（2016平度市模拟）已知，（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．17．（12分）（2016平度市模拟）现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品 A B C数量240 240 360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件．（I）求三种产品分别抽取的件数；（Ⅱ）已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件．现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率．18．（12分）（2016平度市模拟）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．19．（12分）（2016平度市模拟）已知数列{a n}中，a1=2，且．（I）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=n（a n﹣1），数列{b n}的前n项和为S n，求证：1≤S n＜4．20．（13分）（2016平度市模拟）已知椭圆C：，离心率为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|．求直线l的方程．21．（14分）（2016平度市模拟）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（I）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]【分析】先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可．【解答】解：集合M={x|x2﹣4x＜0}=（0，4），N={x||x|≤2}=[﹣2.2]．∴M∪N=[﹣2，4），故选：B【点评】本题考查了集合得并集运算，属于基础题．2．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1z2是实数，则t等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】直接利用复数的乘法运算法则，复数是实数，虚部为0求解即可．【解答】解：t∈R，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1z2是实数，可得（3+4i）（t+i）=3t﹣4+（4t+3）i，4t+3=0则t=．故选：D．【点评】本题考查复数的基本知识，复数的概念的应用，考查计算能力．3．命题p：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），命题q：∃x∈N，x3＜x2．则（）A．p假q假B．p真q假C．p假q真D．p真q真【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题p，q的真假，可得答案．【解答】解：当x=2时，log a（x﹣1）=log a1=0恒成立，故命题p：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），为真命题；∀x∈N，x3≥x2恒成立，故命题q：∃x∈N，x3＜x2为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质及幂函数的图象和性质，属于基础题．4．平面向量与夹角为，，则等于（）A．13 B．C．D．3【分析】运用向量的数量积的定义可得，运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得||=3，=||||cos＜，＞=3×2×（﹣）=﹣3，则====．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于基础题．5．已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．4 B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）（2014大连学业考试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【分析】根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则V正方体=4×4×4=64=16故V=64+16=80故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键．7．（5分）（2016衡阳二模）将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[2k+1，2k+2]（k∈Z）D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：∵将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数解析式为：y=cos（πx）；再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的解析式为：g（x）=cos[π（x﹣1）]；∴可得：，∵由2k≤≤2kπ+，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，由2kπ﹣≤≤2k，k∈Z，解得：4k﹣1≤x≤4k+1，k∈Z，可得函数g（x）的单调递增区间是：[4k﹣1，4k+1]，k∈Z，对比各个选项，只有A正确．故选：A．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数m满足f（log3m）+≤2f（1），则m的取值范围是（）A．（0，3] B．[，3] C．[，3）D．[，+∞）【分析】根据对数的运算性质结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log3m）+≤2f（1），等价为f（log3m）+f（﹣log3m）+≤2f（1），即2f（log3m）≤2f（1），则f（|log3m|）≤f（1），∵在[0，+∞）上单调递增，∴|log3m|≤1，即﹣1≤log3m≤1，≤m≤3．故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．10．已知椭圆，双曲线和抛物线y2=2px（p＞0）的离心率分别为e1、e2、e3，则（）A．e1e2＞e3B．e1e2=e3C．e1e2＜e3D．e1e2≥e3【分析】根据题意先分别表示出e1，e2和e3，然后求得e1e2的取值范围，检验选项中的结论即可．【解答】解：依题意可知e1=，e2=，e3=1∴e1e2==＜1，A，B，D不正确．故选C．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是求出e1和e2之后，根据a，b，c之间的数量关系利用不等式推导e1e2的取值范围．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．（5分）（2010北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a= 1 ．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：1【点评】本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．12．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为[25，30）的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25，30）的人数为160 ．【分析】根据频率分布直方图中频率和等于1，计算年龄组为[25，30）的数据频率，求出对应的频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和等于1，得；年龄组为[25，30）的数据频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴估计这800名志愿者年龄在[25，30）的人数为800×0.2=160．故答案为：160．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．13．双曲线的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是3．【分析】求得双曲线的a=3，由离心率公式可得c=6，解得b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=3，c=，由e==2，即有c=2a=6，即=6，解得b=3．渐近线方程为y=±x，即为x±3y=0，则双曲线的焦点（0，6）到渐近线的距离是=3．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查离心率公式的运用，以及运算能力，属于基础题．14．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为﹣1007 ．【分析】程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．【解答】解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故答案为：﹣1007．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”；②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．④函数y=log2其中真命题的序号是①②④．（请填上所有真命题的序号）【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断．③根据几何概型的概率公式进行判断．④利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可．【解答】解：①命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”；故①正确，②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；正确，当点P的坐标满足y=时，函数f（x）为奇函数．故②正确，③若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是．如图．所以③错误．（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，④因为函数y=log2所以在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，即：在[2，+∞）上恒成立，令，因为x≥2，所以，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=，所以．则实数a的取值范围是（﹣∞，）．故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查各种命题的真假判断，正确利用相关知识进行推理，要求熟练进行应用．三、解答题（共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16．（12分）（2016平度市模拟）已知，（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．【分析】（I）利用数量积运算性质、和差公式可得，再利用单调性即可得出．（I I）由题意得P，Q．根据距离公式及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I），，解得，∵x∈[0，2]时，或，∴f（x）的单调递增区间为，．（I I）由题意得P，Q．根据距离公式，，，根据余弦定理，【点评】本题考查了向量的数量积，三角恒等变换、正弦性函数的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）（2016平度市模拟）现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品 A B C数量240 240 360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件．（I）求三种产品分别抽取的件数；（Ⅱ）已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件．现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率．【分析】（I）设出A、B产品均抽取了x件，利用分层抽样时对应的比例相等，列出方程求出x的值即可；（Ⅱ）对抽取的样本进行编号，利用列举法求出对应的事件数，计算概率即可．【解答】解：（I）设A、B产品均抽取了x件，则C产品抽取了7﹣2x件，则有：=，解得x=2；所以A、B产品分别抽取了2件，C产品抽取了3件；（Ⅱ）记抽取的A产品为a1，a2，其中a1是一等品；抽取的B产品是b1，b2，两件均为一等品；抽取的C产品是c1，c2，c3，其中c1，c2是一等品；从三种产品中各抽取1件的所有结果是{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b1c3}，{a1b2c1}，{a1b2c2}，{a1b2c3}，{a2b1c1}，{a2b1c2}，{a2b1c3}，{a2b2c1}，{a2b2c2}，{a2b2c3}共12个；根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中3件产品都是一等品的有：{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b2c1}，{a1b2c2}共4个；因此3件产品都是一等品的概率P==．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．18．（12分）（2016平度市模拟）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．【分析】（I）由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1，从而平面AEF⊥平面B1BCC1；（II）由（1）知AE为棱锥A﹣B1EF的高．于是V=V=．【解答】解：（I）∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵E是正三角形ABC的边BC的中点，∴AE⊥BC，又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1．（II）∵三棱柱所有的棱长均为2，∴AE=，，由（I）知AE⊥平面B1BCC1∴．【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．19．（12分）（2016平度市模拟）已知数列{a n}中，a1=2，且．（I）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=n（a n﹣1），数列{b n}的前n项和为S n，求证：1≤S n＜4．【分析】（I）利用递推关系变形可得a n﹣1=，即可证明；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可证明．【解答】证明：（I），又a1﹣1=1≠0∴数列{a n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．∴，得．（II），设…①则…②①﹣②得：，∴，，又，∴数列{S n}是递增数列，故S n≥S1=1，∴1≤S n＜4．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、数列的单调性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2016平度市模拟）已知椭圆C：，离心率为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|．求直线l的方程．【分析】（I）由离心率公式和点满足椭圆方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为y=kx+（k≠0），与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由|AM|=|AN|，运用两点的距离公式，化简整理可得k的方程，解方程可得k，进而得到所求直线方程．【解答】解：（I）由题意可得e==，+=1，且a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）若直线的斜率不存在，M，N为椭圆的上下顶点，即有|AM|=2，|AN|=1，不满足题设条件；设直线l：y=kx+（k≠0），与椭圆方程+y2=1联立，消去y，可得（1+3k2）x2+9kx+=0，判别式为81k2﹣4（1+3k2）＞0，化简可得k2＞，①设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+3=3﹣=，由|AM|=|AN|，A（0，﹣1），可得=，整理可得，x1+x2+（y1+y2+2）（）=0，（y1≠y2）即为﹣+（+2）k=0，可得k2=，即k=±，代入①成立．故直线l的方程为y=±x+．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的方程的求法，注意联立直线和椭圆方程，以及韦达定理，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）（2016平度市模拟）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（I）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离参数，问题转化为在[2，4]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题等价于a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）≤0即可，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围．max【解答】解：（Ⅰ），∵函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，∴在区间[2，4]上恒成立，即在[2，4]上恒成立，…（3分）只需2a不大于在[2，4]上的最小值即可．当2≤x≤4时，，…（5分）∴，即，故实数a的取值范围是．…（6分）（Ⅱ）因f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可．…（9分）由，（i）当a=0时，，当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．（ii）当a＞0时，由，令g'（x）=0，得x1=1或，①若，即时，在区间[1，+∞）上，g'（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，函数g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）无最大值，不满足条件．（iii）当a＜0时，由，因x∈[1，+∞），故g'（x）≤0，则函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．。
2020-2021学年山东省高考数学二模试卷（文科）及答案解析
2020-2021学年山东省高考数学二模试卷（文科）及答案解析山东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（）A．B．C．1 D．i2．设集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={x|log2（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（1，2）3．正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S5=7+12，则公比q等于（）A．B．2 C． D．44．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（℃）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据，得线性回归方程，由此估计用电量为72度时气温的度数约为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣45．已知直线y=m（0＜m＜2）与函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻的三个交点依次为A（1，m），B（5，m），C （7，m），则ω=（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7．已知定义在R上的函数f（x）满足条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②函数f（x+2）的关于y轴对称，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③对任意的x1则下列结论正确的是（）A．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）D．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2过F2垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若△MF1N为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A． B．C．D．2+9．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．10．若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．不等式3x＞2的解为______．12．执行如图的程序框图，则输出的S=______．13．过圆x2+y2﹣4x+my=0上一点P（1，1）的切线方程为______．14．正方形ABCD的边长为2，P，Q分别是线段AC，BD上的点，则的最大值为______．15．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域D 上的任何实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b 为函数f（x）和g （x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f （A）=，a=3，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．17．某种产品的质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从该产品中随机抽取了一部分样本，经过数据处理，得到如图所示的频率分布表：（I）求出a，b，c的值；（Ⅱ）现从等级为4和5的所有样本中，任意抽取2件，求抽取2件产品等级不同的概率．等级频数频率1 1 a2 6 0.33 7 0.354 b c5 4 0.218．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；（Ⅱ）求三棱锥E﹣AFB的体积．19．已知单调递增的等比数列{a n}满足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n．若对任意的n∈N*，不等式T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．20．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：．21．已知椭圆经过点，离心率为，设A、B椭圆C上异于左顶点P 的两个不同点，直线PA和PB的倾斜角分别为α和β，且α+β为定值θ（0＜θ＜π）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（）A．B．C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的虚部可求．【解答】解：由复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，可得z==，则z的虚部为：．故选：A．2．设集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={x|log2（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的不等式组解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，由B中的不等式变形得：log2（x﹣1）≤0=log21，得到0＜x﹣1≤1，解得：1＜x≤2，即B=（1，2]，则A∩B=（1，2]．故选：C．3．正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S5=7+12，则公比q等于（）A．B．2 C． D．4【考点】数列的求和．【分析】利用S7﹣S2=12+14=q2S5，S5=6+7，即可求出公比q．【解答】解：由题意，∵S7﹣S2=12+14=q2S5，S5=6+7，∴q2=2，∵q＞0，∴q=．故选：A．4．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（℃）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据，得线性回归方程，由此估计用电量为72度时气温的度数约为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归方程得出，从而得出回归方程，把y=72代入回归方程计算气温．【解答】解：=，=40．∴40=﹣2×10+，解得=60．∴回归方程为，令y=72得，﹣2x+60=72，解得x=﹣6．故选C．5．已知直线y=m（0＜m＜2）与函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻的三个交点依次为A（1，m），B（5，m），C （7，m），则ω=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得函数f（x）的相邻的两条对称轴分别为x=3，x=6，可得函数的周期为2?（6﹣3）=，由此求得ω的值．【解答】解：∵直线y=m（0＜m＜2）与函数f（x）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻的三个交点依次为A（1，m），B（5，m），C（7，m），故函数f（x）的相邻的两条对称轴分别为x==3，x==6，故函数的周期为2?（6﹣3）=，求得ω=，故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：三视图复原的几何体是圆锥，底面半径为：，高为：1，圆锥的母线长为：2，圆锥的表面积为：=（3+2）π．故选：D．7．已知定义在R上的函数f（x）满足条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②函数f（x+2）的关于y轴对称，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③对任意的x1则下列结论正确的是（）A．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）D．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，利用函数对称性，周期性和单调性之间的关系将函数值进行转化比较即可得到结论．【解答】解：∵对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；∴函数是4为周期的周期函数，∵函数f（x+2）的关于y轴对称∴函数函数f（x）的关于x=2对称，∵对任意的x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．∴此时函数在[0，2]上为增函数，则函数在[2，4]上为减函数，则f（7）=f（3），f（6.5）=f（2，5），f（4.5）=f（0.5）=f（3.5），则f（3.5）＜f（3）＜f（2.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），故选：D8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2过F2垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若△MF1N为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A． B．C．D．2+【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线C的两渐近线方程，利用△MF1N为正三角形，建立三角形，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，x=c时，y=±，∵△MF1N为正三角形，∴2c=×，∴a=b，∴c=b，∴e==．故选：A．9．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣ax=0，即x=0或x=a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣x）e x，∴f'（x）=（x2+x﹣1）e x，由f'（x）=（x2+x﹣1）e x＞0，解得x＞或x＜．由f'（x）=（x2﹣1）e x＜0，解得：﹣＜x＜，即x=﹣1是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．10．若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．【解答】解：可行域为△ABC，如图，当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，a＜2．当a＜0时，k=﹣＜k AB=2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．不等式3x＞2的解为x＞log32 ．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可．【解答】解：∵3x＞2＞0，∴，即x＞log32．故答案为：x＞log32．12．执行如图的程序框图，则输出的S= ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1，n=2满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1+，n=3满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1++，n=4满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1+++，n=5不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值．由于：S=1+++=．故答案为：．13．过圆x2+y2﹣4x+my=0上一点P（1，1）的切线方程为x ﹣2y+1=0 ．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的方程，求出圆心与已知点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出过此点切线方程的斜率，即可确定出切线方程．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+my=0上一点P（1，1），可得1+1﹣4+m=0，解得m=2，圆的圆心（2，﹣1），过（1，1）与（2，﹣1）直线斜率为﹣2，∴过（1，1）切线方程的斜率为，则所求切线方程为y﹣1=（x﹣1），即x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．14．正方形ABCD的边长为2，P，Q分别是线段AC，BD上的点，则的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可知线段AC，BD互相垂直且平分，从而可分别以这两线段所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，进而可求出A，B，C，D四点坐标，并设P（0，y），Q（x，0），且由题意知x，y，这样便可求出向量的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出，而配方即可得出的最大值．【解答】解：正方形ABCD的对角线DB，CA互相垂直平分，∴分别以这两线段所在直线为x，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：；设P（0，y），Q（x，0），；∴；∴=；∴时，取最大值．故答案为：．15．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f （x）和g（x）对其公共定义域D 上的任何实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g （x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是①③．【考点】函数的值域．【分析】画出图象，数形结合即得答案．【解答】解：①f（x）=+1与g（x）=sinx的公共定义域为R，显然f（x）＞1，而g（x）≤1，故满足题意；②f（x）=x3与g（x）=﹣的公共定义域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0＜g（x），当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0＜f（x），故不满足题意；③f（x）=x+与g（x）=lgx图象如右图，显然满足题意；④函数f（x）=2x﹣的图象如图，显然不满足题意；故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f （A）=，a=3，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由题意可得A，，运用周期公式，可得ω，再由最值的条件，可得φ=，即可得到所求解析式；（Ⅱ）求得A，再由正弦定理和余弦定理，求得bc=1，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得A=，=﹣=2π，可得T=4π，ω==，由sin（×+φ）=﹣，解得×+φ=2kπ+，即φ=2kπ+，k∈Z，由|φ|＜，可得φ=，即有f（x）=sin（x+）；（Ⅱ）f（A）=，即为sin（A+）=，由A∈（0，π），可得A+∈（，），即有A+=，解得A=，由正弦定理可得====2，即有b=2sinB，c=2sinC，sinB+sinC=1，即b+c=2，由a=3，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（c+b）2﹣2bc﹣2bc×=12﹣3bc=9，解得bc=1，则△ABC的面积S=bcsinA=×1×=．17．某种产品的质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从该产品中随机抽取了一部分样本，经过数据处理，得到如图所示的频率分布表：（I）求出a，b，c的值；（Ⅱ）现从等级为4和5的所有样本中，任意抽取2件，求抽取2件产品等级不同的概率．等级频数频率1 1 a2 6 0.33 7 0.354 b c5 4 0.2【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设抽取的产品有x件，根据题意得，=0.3，解得x=20，即可a，b，c的值．（Ⅱ）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，y1，y2，y3，y4这6件中抽取2件产品等级不同的事件数，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设抽取的产品有x件，根据题意得，=0.3，解得x=20，所以a==0.05，b=2，c==0.1（Ⅱ）：等级为4的两件产品，记作x1，x2，等级为5的零件有4个，记作y1，y2，y3，y4，从x1，x2，x3，y1，y2，y3，y4中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，y4），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，y4），（y1，y2），（y1，y3），（y1，y4），（y2，y3），（y2，y4），（y3，y4），共计15种．记事件A为“从零件x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取2件，其等级不同”．则A包含的基本事件为（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，y4），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，y4），共8个，故P（A）=18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；（Ⅱ）求三棱锥E﹣AFB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AB的中点H，连接CH，GH，由已知可得四边形AHCD是平行四边形，得到CH ∥DA，进一步得到CH∥平面ADF，由GH是三角形ABF的中位线可得有GH∥平面ADF，由面面平行的判定得平面CGH∥平面ADF，继而得到CG∥平面ADF；（Ⅱ）由AB∥CD，结合已知得到四边形ABCD是等腰梯形，由H 是AB的中点，可得四边形AHCD 是菱形，得到BC⊥AC，又平面ACFE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面ACEF，可知BC是三棱锥B﹣AEF 的高，然后利用等积法求得三棱锥E﹣AFB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点H，连接CH，GH，∵AB=2AH=2CD，且DC∥AB，∴AH∥DC且AH=DC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥DA，则有CH∥平面ADF，∵GH是三角形ABF的中位线，∴GH∥AF，则有GH∥平面ADF，又CH∩GH=H，∴平面CGH∥平面ADF，CG?平面CHG，则CG∥平面ADF；（Ⅱ）解：∵AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CB=1，∴四边形ABCD是等腰梯形，H是AB的中点，∴四边形AHCD是菱形，CH=，∴BC⊥AC，又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACEF，即BC是三棱锥B﹣AEF的高，且BC=1，∵V E﹣AFB=V B﹣AEF，在等腰三角形ADC中，求得AC=，∴V E﹣AFB=V B﹣AEF=．19．已知单调递增的等比数列{a n}满足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n．若对任意的n∈N*，不等式T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意知，从而求得；（Ⅱ）化简b n=log2a n+1=n，c n===﹣，从而化简不等式为k≥=恒成立；从而求得．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(三)(附答案详解)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设f(z)=z，z1=3+4i，z2=−2−i，则f(z1−z2)等于()A. 1−3iB. −2+11iC. −2+iD. 5+5i2.集合A={x|2x−1x+1≤0}，集合B={x|y=√log12(1−x)}，则集合A∪B等于()A. [0,12] B. (−1,+∞) C. (−1,1) D. [−1,+∞) 3.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，满足f(2)=1且对于定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，那么f(2)+f(4)的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为()A. 83B. 108C. 75D. 635.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3，则<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=()A. 5π6B. π2C. π3D. π66.已知直线l：ax+y−2=0与⊙C：(x−1)2+(y−a)2=4相交于A、B两点，则△ABC为钝角三角形的充要条件是()A. a∈(1,3)B. a∈(2−√3,2+√3)C. a∈(2−√3,1)∪(1,2+√3)D. a∈(−∞,2−√3)∪(2+√3,+∞)7.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A. f(x)=√3cos(x−π6)B. f(x)=√3cos(x+π6)C. f(x)=√3cos(x2−π6)D. f(x)=√3cos(x2+π6)8.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为()A. 8B. 10C. 12D. 14二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x=1对称，则下列说法中正确的有()A. y=g(f(x)+1)为偶函数B. y=g(f(x))为奇函数C. y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D. y=f(g(x+1))为偶函数10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则()A. 直线B1D⊥平面A1C1DB. 二面角B1−CD−B的大小为π2C. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值D. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2 ]11.已知实数a，b满足a2−ab+b=0(a>1)，下列结论中正确的是()A. b≥4B. 2a+b≥8C. 1a +1b>1 D. ab≥27412.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点(其中A在B的上方)，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.则()A. |PM|=|NQ|B. 若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2√2C. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|>|OQ|D. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|>|OQ|三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知二项式(3√x −1x )n 的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______ ．14. 如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB =AC ，∠BAC =90°.定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB =θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______ ．15. 已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =lnx +m 的切线，则实数k =______ ，实数m = ______ ．16. 已知函数f(x)=(1+x2+x)2log−22x +1+2，x ∈R ，若∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2成立，则实数m 的范围为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)．(1)若{a n }为等差数列，S 11=165，a 3+a 8=28，求{a n }的通项公式； (2)若数列{S n }满足12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5，求S n ．18. 在平面四边形ABCD 中，AB =4，AD =2√2，对角线AC 与BD 交于点E ，E 是BD 的中点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若∠ABD =π4，求BC 的长； (2)若AC =3，求cos∠BAD ．19. 近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710，其中对商品和服务均为好评的有80次．(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ (2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求对商品和服务全好评的次数X 的分布列及其期望． 参考公式：独立性检验统计量K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 临界值表：20. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60°，∠ASD =90°，且SC =2．(1)证明：平面SAD⊥平面ABCD；(2)当四棱锥S−ABCD的体积最大时，求二面角B−SC−D的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)．(1)求椭圆C的方程；(2)设A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．22.已知函数f(x)=e x−ax−1，g(x)=kx2．(1)当a>0时，求f(x)的值域；(2)令a=1，当x∈(0,+∞)时，f(x)≥g(x)ln(x+1)−x恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：z1=3+4i，z2=−2−i，则z1−z2=5+5i，∵f(z)=z，则f(z1−z2)=z1−z2=5+5i．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.【答案】C(1−x)≥0}={x|0<1−x≤1}=【解析】解：∵A={x|−1<x≤12},B={x|log12{x|0≤x<1}，∴A∪B=(−1,1)．故选：C．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，∴f(4)=2．∴f(2)+f(4)=1+2=3，故选：C．由f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，可得f(4)=2，从而得到所求．本题考查抽象函数的应用，求出f(4)=2，是解题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60−48=12=3∴第三个n项的和为：12×1248∴前3n项的和为60+3=63故选D根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．5.【答案】B【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3，∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√3，∴cos<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|=2×1×12−123×1=0，又因为向量的夹角θ∈[0,π]．∴<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=π2，故选：B．根据已知条件求出|a⃗−b⃗ |，再代入夹角计算公式即可求解．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：⊙C：(x−1)2+(y−a)2=4的圆心为C(1,a)，半径r=2，故点C到直线l：ax+y−2=0的距离为d=√a2+1=√a2+1，故AB=2√4−d2=4√2aa2+1，又CA=CB=2，因为△ABC为钝角三角形，故AC 2+BC2<AB2，即4+4<16⋅2aa2+1，化简可得a2−4a+1<0，解得2−√3<a<2+√3，当三点A，B，C共线时，有a+a−2=0，即a=1，此时△ABC不存在，所以△ABC为钝角三角形的充要条件是a∈(2−√3,1)∪(1,2+√3).故选：C．利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式求出d ，再利用弦长公式求出AB ，然后结合△ABC 为钝角三角形，列出关于a 的不等式求解即可．本题考查了直线与圆位置关系的应用，涉及了点到直线距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为AC 2+BC 2<AB 2，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：由图知，A =√3，把点(0,32) 代入f(x)得，√3cosφ=32，∴cosφ=√32，∵φ∈(0,π)，∴φ=π6，∴f(x)=√3cos(ωx +π6)，把点(5π3,−√3)代入得，cos(5π3ω+π6)=−1，∴5π3ω+π6=π+2kπ，k ∈Z ，∴ω=12+65k ，k ∈Z ，∵ω>0，∴ω=12， ∴f(x)=√3cos(12x +π6)， 故选：D ．根据图象求出A ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，考查数形结合思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下3人安装另外1个，有2种安装方案，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下2人安装另外1个，有C 31×2=6种安装方案，则有2+6=8种不同的安装方案， 故选：A ．根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+x)，据此分析选项：对于A，对于y=g(f(x)+1)，g(f(−x)+1)=g(1−f(x))=g(f(x)+1)，则函数y= g(f(x)+1)为偶函数，A正确；对于B，对于y=g(f(x))，有g(f(−x))=g(−f(x))≠−g(f(x))，不是奇函数，B错误；对于C，g(x)图象关于直线x=1对称，则函数y=f(g(x))图象关于直线x=1对称，C 正确；对于D，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+x)，对于y=f(g(x+1))，有f(g(−x+1))=f(g(x+1))，则f(g(x+1))为偶函数，D正确；故选：ACD．根据题意，由函数奇偶性的性质以及对称性依次分析选项，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和函数图象的对称性，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B错误；在C中，∵A1D//B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C//平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P−A1C1D的体积为定值，故C正确；在D中，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为π，3故异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3,π2]，故D 错误， 故选：AC ．直接证明直线B 1D ⊥平面A 1C 1D 判断A ；由正方体的结构特征判断B ；证明三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值判断C ；求出异面直线AP 与A 1D 所成角的最小值判断D ． 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面垂直、多面体的体积及空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．11.【答案】AD【解析】解：实数a ，b 满足a 2−ab +b =0(a >1)，A .b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2≥2√(a −1)⋅1a−1+2=4，当且仅当a =2时取等号，因此正确； B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4≥2√3(a −1)⋅1a−1+4=2√3+4，当且仅当a =1+√33取等号，因此不正确；C .∵a >1，∴1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a −1)2+1<1，因此不正确；D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).f′(x)=2x 2(x−32)(x−1)2，可得x =32时，函数f(x)取得极小值，即最小值． f(32)=(32)332−1=274，∴f(x)≥274，即ab ≥274，因此正确．故选：AD ．A .由验证可得：b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2，利用基本不等式即可判断出正误；B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4利用基本不等式即可判断出正误； C .由a >1，可得1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a2+2a=−(1a−1)2+1>1，利用二次函数的单调性即可判断出正误； D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).求出f′(x)，利用导数研究函数的单调性即可判断出正误．本题考查了基本不等式、二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】AB【解析】解：抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1)，k >0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，∴x M =x 1+x 22=1+2k 2，y M =k(x M −1)=2k ，直线MN 的方程为y =2k ， ∵O ，P ，A 共线， ∴x P x 1=y P y 1，x P =x 1y P y 1=2x1ky 1=y 122ky 1=y12k ，同理x Q =y22k ，x P +x Q =y 1+y 22k=y M k=2k 2，x M +x N =1+2k 2−1=2k 2=x P +x Q ，∴x M −x P =x Q −x N ，即|MP|=|NQ|，A 正确； 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则|PQ|=13|MN|，y 1−y 22k=13(1+2k 2+1)=13(2+2k 2)，y 1−y 2=4(k 2+1)3k，又y 1+y 2=2y M =4k ，y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2(x 1x 2−x 1−x 2+1)=−4， ∴y 1−y 2=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16k 2+16，∴√16k 2+16=4(k 2+1)3k，解得k =2√2，(∵k >0)，B 正确；由k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，得x =k 2+2±2√k 2+1k 2，x 2=k2+2−2√k 2+1k 2，∴y 2=k(x 2−1)=2−2√k 2+1k，x Q =y 22k =1−√k 2+1k2， 又y Q =y M =2k ，∴|OQ|=(1−√k 2+1k 2)+(2k )=√2+5k 2−2√k 2+1k 2，|PQ|=y 1−y 22k=2√1+k 2k 2，∴|OQ|2−|PQ|2=5k 2+2−2√k 2+1−4(1+k 2)k 4=(1+√k 2+1)(√k 2+1−3)k 4，当k>2√2时，|OQ|>|PQ|，C错误；由图可知|NQ|≤1，而|OQ|≥y Q=2k，只要0<k<2，就有|OQ|>1>|NQ|，D错误，故选：AB．设直线AB的方程为y=k(x−1)，k>0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质，可判断A；若P，Q是线段MN的三等分点，则|PQ|=13|MN|，运用韦达定理和弦长公式，可得直线AB的斜率，可判断B；运用求根公式，求得Q的坐标，结合|OQ|2−|PQ|2的表达式，可判断C；由图可知|NQ|≤1，由|OQ|的范围和k的取值，可判断D．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】1215【解析】解：∵二项式(3√x−1x)n的展开式中，所有项的系数之和为2n=64，∴n=6．∴它的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅36−r⋅x3−3r2，令3−3r2=0，可得r=2，故二项式(3√x−1x)n的展开式的常数项为C62⋅34=1215，故答案为：1215．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．14.【答案】(10000√5+25000)m2【解析】解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，s△AOB=12×OA×OB×sinθ=10000sinθ；在三角形△AOB中，AB2=OB2+OA2−2OB×OA×cosθ=50000−40000cosθ，三角形△ABC为等腰直角三角形，∴s△ABC=12AB×AC=12AB2=25000−20000cosθ，所以“直接监管覆盖区域”面积为s△AOB+s△ABC=25000+10000sinθ−20000cosθ=25000+10000√5sin(θ−α)，其中tanα=2，当sin(θ−α)=1时，面积取得最大值为25000+10000√5， 故答案为：25000+10000√5．由题意“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC 和三角形△AOB 的面积之和，列出关于θ的函数关系式，即可解决．本题考查了函数的应用，三角函数最值的求法，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】e 2【解析】解：对于y =e x ，设切点为(n,e n )， 因为y′=e x ，故切线斜率k =e n ，故切线方程为y −e n =e n (x −n)，由已知得切线过(0,0)， 所以−e n =e n (−n)，故n =1，所以k =e ． 对于y =lnx +m ，设切点为(c,lnc +m)，所以y′=1x ，因为切线为y =ex ，得y′|x=c =1c =e ，所以c =1e ，所以切点为(1e ,1)，代入y =lnx +m 得1=ln 1e +m ， 所以m =2． 故答案为：e ；2．根据y =kx 是y =e x 的过原点的切线，求出k 的值，然后再对y =lnx +m 设切点，求切线方程，利用切线方程为y =kx ，列方程求出m 的值．本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及公切线的性质，同时考查了学生运用方程思想解题的意识，数学运算的能力，属于中档题．16.【答案】m >2【解析】解：令g(x)=f(x)−1=(1+x2+x)2log−22x +1+1，则g(−x)=f(−x)−1=(1+x2−x)2log−22−x +1+1，而g(x)+g(−x)=log 21+2−22x +1−2×2x2x +1=0，所以g(x)是奇函数，而(1+x2−x)2log在R 上单调递增，−22x +1+1在R 上单调递增， 所以g(x)是在R 上的单调递增函数且为奇函数，而f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2可变形成f(2sinθ⋅cosθ)−1<1−f(4−2sinθ−2cosθ−m)，即g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)=g(2sinθ+2cosθ+m −4)，由g(x)是在R 上的单调递增函数，则∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ<2sinθ+2cosθ+m −4成立，即−m <2(sinθ+cosθ)−2sinθ⋅cosθ−4，设t =sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)，θ∈[0,π2]，则t ∈[1,√2]，2sinθ⋅cosθ=t 2−1， 令ℎ(t)=2t −(t 2−1)−4=−t 2+2t −3=−(t −1)2−2，t ∈[1,√2]，则ℎ(t)的最大值为−2，所以−m <−2即m >2．综上所述：实数m 的范围为m >2． 故答案为：m >2．构造函数g(x)=f(x)−1，然后研究该函数的单调性和奇偶性，将条件变形成g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)，利用奇函数和单调性可得不等式，将m 分离，利用换元法求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．本题主要考查函数恒成立问题，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了构造法和换元法的应用，属于中档题．17.【答案】(1)由题意可设等差数列的公差为d ，则{11a 1+55d =1652a 1+9d =28，解得{a 1=5d =2，∴a n =2n +3； (2)当n =1时，12S 1=8，∴a 1=S 1=16， 当n ≥2时, 12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5,①12S 1+122S 2+⋯+12n−1S n−1=3n +2,② ①−②得，12n S n =3，∴S n =3⋅2n ， 当n =1时，S 1=16不适合上式， ∴S n ={16,n =13⋅2n ,n ≥2．【解析】(1)利用等差数列的性质解题； (2)求通项注意检验n =1时是否成立．本题考查了等差数列的性质，以及通项公式的求法，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理知，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD ， ∴8=16+BD 2−2⋅4⋅BD ⋅cos π4，化简得BD 2−4√2BD +8=0， 解得BD =2√2，∵E 是BD 的中点，∴BE =12BD =√2，在△ABE 中，由余弦定理知，AE 2=AB 2+BE 2−2AB ⋅BE ⋅cos∠ABD =16+2−2×4×√2×√22=10，∴AE =√10，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC =32AE =3√102， 由余弦定理知，cos∠BAC =AB 2+AE 2−BE 22AB⋅AE=16+10−22×4×√10=3√10，在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =16+(3√102)2−2×4×3√102×3√10=52，∴BC =√102．(2)∵AC =3，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE =2， ∵∠AEB +∠AED =π， ∴cos∠AEB =−∠AED ， 设BE =DE =x ， 则AE 2+BE 2−AB 22AE⋅BE=−AE 2+DE 2−AD 22AE⋅DE，即4+x 2−162⋅2x=−4+x 2−82⋅2x，解得x =2√2， ∴BD =2BE =4√2，在△ABD 中，由余弦定理知，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=2×4×2√2=−√24．【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理求得BD =2√2，再在△ABE 中，由余弦定理可得AE =√10，进而得cos∠BAC 的值，然后在△ABC 中，再次利用余弦定理，即可得解； (2)由cos∠AEB =−∠AED ，结合余弦定理可求得BE 的长，再在△ABD 中，利用余弦定理，得解．本题主要考查解三角形中余弦定理的运用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：K 2=200(1600−2400)2140×60×120×80=1.587，1.587<2.706，所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好好评与题务好评有关． (2)每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4． 其中P(X =0)=(35)4=8154:P(X =1)=C 41(25)(35)3=21654;P(X =2)=C 42(25)2(35)2=21654;P(X =3)=C 43(25)3(35)=9654，P(X =4)=(25)4=1654， X 的分布列：由于X ∽B(4,25).则E(X)=85．【解析】本题考查独立性检验，离散型随机变量及其分布列，期望，属于中档题． (1)列二联表，求K 2,再判断；(2)对商品和服务全好评的次数为随机变量可以是0，1，2，3，4． 求出对应的概率，列分布列，进而求E(X)=85．20.【答案】解：(1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，∵∠ADC =∠ABC =60°，且AD =DC ，又AD =CD =2，则△ACD 为正三角形，∴CO ⊥AD ，CO =√3， 又∵∠ASD =90°，∴△ASD 为直角三角形，∴SO =12AD =1， 在△ACS 中，CO 2+SO 2=SC 2，则CO ⊥SO ， 又AD ∩SO =O ，AD 、SO ⊂平面ADS ， ∴CO ⊥平面ADS ，又∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)∵∠ASD =90°，则点S 在以AD 为直径的圆上，且SO =1， 设点S 到平面ABCD 的距离为d ，∴V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ， 而S 矩形ABCD =2×12×2×2×sin60°=2√3， ∴当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大， 此时SO ⊥平面ABCD ，又由(1)可知CO ⊥AD ，如图建系，则B(√3,−2,0)，S(0,0，1)，C(√3,0，0)，D(0,1，0)， 则BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，1)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +2y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0，取x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,0，√3)， 设平面SCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3a −c =0n ⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,√3,√3)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√7=2√77， 设二面角B −SC −D 的平面角为θ，经观察θ为钝角， 则cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√77，故二面角B −SC −D 的余弦值为−2√77．【解析】(1)取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，推导出CO ⊥AD ，CO ⊥SO ，从而CO ⊥平面ADS ，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)设点S 到平面ABCD 的距离为d ，则V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ，当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大，此时SO ⊥平面ABCD ，建系，利用向量法能求出二面角B −SC −D 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考相推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．21.【答案】解：(1)根据题意可得{c =√31a 2+(√32)2b 2=1， 解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线A 2M 的方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)， 直线A 1B 的方程为y =12x +1，联立{y =k(x −2)y =12x +1，解得P(4k+22k−1,4k2k−1)，联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 所以2x M =16k 2−44k 2+1，则x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k +1，即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)， 所以k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k，于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)， 直线A 2B 的方程为y =−12x +1，联立{y =−14k (x +2)y =−12x +1，解得Q(4k+22k−1,−22k−1)， 于是x P =x Q ， 所以PQ ⊥x 轴，设PQ的中点为N，则点N的纵坐标为4k2k−1+−22k−12=1，所以PQ的中点在定直线y=1上，所以点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|．所以△BPQ为等腰三角形．【解析】(1)根据焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)，列方程组，解得a，b，进而可得答案．(2)设直线A2M的方程为y=k(x−2)(k≠0且k≠±12)，写出直线A1B的方程，在联立直线A2M与直线A1B的方程，解得P点坐标，联立直线A2M与椭圆的方程，结合韦达定理，可得M坐标，进而可得k A1M，再写出直线A1M的方程，直线A2B的方程，联立解得Q 的坐标，推出x P=x Q，即PQ⊥x轴，进而可得PQ的中点为N纵坐标1，即可得出答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=e x−ax−1，所以f′(x)=e x−a，令f′(x)=0，解得x=lna，所以f(x)在(−∞,lna]上单调递减，在区间[lna,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(lna)=e lna−alna−1=a−alna−1，故函数f(x)的值域为[a−alna−1,+∞)；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x可变形为[f(x)+x]ln(x+1)≥kx2(x>0)，即(e x−1)ln(x+ 1)≥kx2，所以k≤(e x−1)ln(x+1)x2=e x−1xxln(x+1)=e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)，因为f(x)≥g(x)ln(x+1)−x对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=e x−1x，则m′(x)=(x−1)ex−1x2，令n(x)=(x−1)e x+1，则n′(x)=xe x，因为x>0，所以n′(x)>0，故n(x)在(0,+∞)上单调递增，所以n(x)>n(0)=0，故m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增，则m(x)>0(x>0)，又由(1)可知，当a=1，且x>0时，f(x)=e x−x−1的值域为(0,+∞)，即f(x)=e x−x−1>0，所以e x>x+1恒成立，即x>ln(x+1)，所以m(x)>m(ln(x+1))，即m(x)m(ln(x+1))>1，又k≤m(x)m(ln(x+1))对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤1，故实数k的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)求出f′(x)，利用导数判断函数f(x)的单调性，从而求出f(x)的最值，即可得到f(x)的值域；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，将不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x进行变形，最终化为k≤e x−1xe ln(x+1)−1 ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=ex−1x，然后利用导数研究函数m(x)的单调性，结合(1)中的结论可推导出即x>ln(x+1)，从而得到m(x)m(ln(x+1))>1，即可求出k的取值范围．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的性质，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求得参数的取值范围，属于难题．第21页，共21页。
2021年山东省枣庄市高考数学二模试卷 (解析版)
2021年山东省枣庄市高考数学二模试卷一、单项选择题（每小题5分）．1．已知集合A＝{x|y＝lnx}，B＝{y∈Z|y＝2sin x}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．{1，2}D．{0，1，2}2．命题“∀n∈N，n2﹣1∈Q”的否定为（）A．∀n∈N，n2﹣1∉Q B．∀n∉N，n2﹣1∈QC．∃n∈N，n2﹣1∉Q D．∃n∈N，n2﹣1∈Q3．已知函数f（x）＝，则f（2021）＝（）A．B．2e C．D．2e24．已知点（1，1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，则C的焦点到其准线的距离为（）A．B．C．1D．25．大数学家欧拉发现了一个公式，e ix＝cos x+i sin x，i是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，（cos+i sin）2022＝（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1B．﹣1C．i D．﹣i6．若x6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+……+a6（x+1）6，则a3＝（）A．20B．﹣20C．15D．﹣157．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x～N（0.9372，0.01392），若x～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）＝0.954.5，P（μ﹣3σ＜x≤μ+3σ）＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：甲：P（x≤0.9）＜0.5；乙：P（x＜0.4）＞P（x＞1.5）；丙：P（x＞0.9789）＝0.00135；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量，则P（X≥1）≈0.6．其中假命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．已知椭圆C与双曲线x2﹣y2＝1有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且．过F2作倾斜角为45°的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方），且，则λ的值为（）A．3+B．3+C．2+D．2+二、多项选择题（每小题5分）．9．已知a＞0，b＞0，a+b2＝1，则（）A．a+b＜B．a﹣b＞﹣1C．D．10．已知函数f（x）＝|sin x|+|sin（x﹣）|，则（）A．f（x）在[，π]上的最小值是1B．f（x）的最小正周期是C．直线x＝（k∈Z）是f（x）图象的对称轴D．直线y＝x与f（x）的图象恰有2个公共点11．列昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci，1170﹣1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用F（n）（n∈N*）表示斐波那契数列的第n项，则数列{F（n）}满足：F（1）＝F（2）＝1，F（n+2）＝F（n+1）+F（n）．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩AidanDwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子，下列选项正确的是（）A．[F（8）]2＝F（7）F（9）+1B．F（1）+F（2）+……+F（6）+1＝F（8）C．F（2）+F（4）+……+F（2n）＝F（2n+1）﹣2D．[F（1）]2+[F（2）]2+……+[F（n）]2＝F（n）•F（n+1）12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是△B1CD1内部（不包括边界）的动点．若BD⊥AP，则线段AP长度的可能取值为（）A．B．C．D．三、填空题：本题北4小题，每小题5分，共20分.13．已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为．14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD 中，．设，则x+y的值为．15．写出一个图象关于直线x＝2对称且在[0，2]上单调递增的偶函数f（x）＝．16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省元．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}中，a1＝a2＝1，且a n+2＝a n+1+2a n，记b n＝a n+1+a n，求证：（1）{b n}是等比数列；（2）{b n}的前n项和T n．满足+…+．18．若f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（0）＝，f（）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）在锐角△ABC中，若A＞B，f（）＝，求cos，并证明sin A＞．19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．20．天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．题目A B C 做对的概率0.80.60.4获得的奖金/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．（1）求甲获得的奖金X的分布列及均值；（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）21．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线x＝3上的动点P（3，p）（p≠0）分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点），N为弦QR的中点，直线l：3x+4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF 的面积S的取值范围．22．已知函数f（x）＝a cos x+1﹣，且f'（）＝0．（1）求实数a的值，并判断f（x）在（0，）上的单调性；（2）对确定的k∈N*，求f（x）在[2kπ+，2kπ+π]上的零点个数．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|y＝lnx}，B＝{y∈Z|y＝2sin x}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．{1，2}D．{0，1，2}解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{y∈Z|﹣2≤y≤2}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．2．命题“∀n∈N，n2﹣1∈Q”的否定为（）A．∀n∈N，n2﹣1∉Q B．∀n∉N，n2﹣1∈QC．∃n∈N，n2﹣1∉Q D．∃n∈N，n2﹣1∈Q解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n∈N，n2﹣1∉Q，故选：C．3．已知函数f（x）＝，则f（2021）＝（）A．B．2e C．D．2e2解：∵函数f（x）＝，∴f（2021）＝f（673×3+2）＝f（2）＝f（﹣1）＝e﹣1+ln2＝e﹣1×2＝．故选：A．4．已知点（1，1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，则C的焦点到其准线的距离为（）A．B．C．1D．2解：点（1，1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，可得1＝2p，所以p＝，所以抛物线的焦点到其准线的距离为p：．故选：B．5．大数学家欧拉发现了一个公式，e ix＝cos x+i sin x，i是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，（cos+i sin）2022＝（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1B．﹣1C．i D．﹣i解：（cos+i sin）2022＝cos+i sin＝cos（505π+）+i sin（505π+）＝﹣cos﹣i sin＝﹣i，故选：D．6．若x6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+……+a6（x+1）6，则a3＝（）A．20B．﹣20C．15D．﹣15解：x6＝[﹣1+（1+x）]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+……+a6（x+1）6，则a3＝•（﹣1）3＝﹣20，故选：B．7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x～N（0.9372，0.01392），若x～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）＝0.954.5，P（μ﹣3σ＜x≤μ+3σ）＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：甲：P（x≤0.9）＜0.5；乙：P（x＜0.4）＞P（x＞1.5）；丙：P（x＞0.9789）＝0.00135；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量，则P（X≥1）≈0.6．其中假命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：根据题意知u＝0.9372，σ＝0.0139．∴由正态分布曲线得：P（x≤0.9）＜P（x≤0.9372）＝0.5，∴甲正确；由正态分布曲线知：P（x＜0.4）＝P（x＞2×0.9372﹣0.4）＝P（x＞1.4744）＞P （x＞1.5），∴乙正确；∵P（μ﹣3σ＜x≤μ+3σ）＝P（0.8955＜x≤0.9787）＝0.9973，∴由正态分布曲线知：P （x＞0.9787）＝＝0.00135，∴丙正确；∵P（x≥μ+2σ）＝（1﹣0.9545）＝0.2275，∴P（x＜μ+2σ）＝1﹣0.2275＝0.9775，∴P（x≥1）＝1﹣P（x＝0）＝1﹣0.9772550≈1﹣0.3164＝0.6836，∴丁错误；故选：D．8．已知椭圆C与双曲线x2﹣y2＝1有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且．过F2作倾斜角为45°的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方），且，则λ的值为（）A．3+B．3+C．2+D．2+解：设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），双曲线的方程为x2﹣y2＝1的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），可得a2﹣b2＝2，由，可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，|m﹣n|＝2，且m2+n2＝|F1F2|2＝（2）2＝8，所以mn＝2，则4a2＝m2+n2+2mn＝8+4＝12，即a＝，b＝1，则椭圆的方程为+y2＝1，过F2作倾斜角为45°的直线的方程为y＝x﹣，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x1＝，x2＝，交点为A（，），B（，），|AB|＝，|AF2|＝，所以λ＝＝3+．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知a＞0，b＞0，a+b2＝1，则（）A．a+b＜B．a﹣b＞﹣1C．D．解：因为a＞0，b＞0，a+b2＝1，所以a＝1﹣b2＞0，解得0＜b＜1，对于A，a+b＝﹣b2+b+1，当b＝时，a+b取得最大值为，故a+b≤，故A错误，对于B，由0＜b＜1，可得﹣1＜﹣b＜0，由0＜a＜1，可得﹣1＜a﹣b＜1，故B正确，对于C，•b≤＝，当且仅当＝b＝时等号成立，故C正确，对于D，可设a＝cos2α，b＝sinα，α∈（0，），则＝，若≥﹣，则sinαcosα≤1，∴sin（α+）≤1恒成立，∴D正确．故选：BCD．10．已知函数f（x）＝|sin x|+|sin（x﹣）|，则（）A．f（x）在[，π]上的最小值是1B．f（x）的最小正周期是C．直线x＝（k∈Z）是f（x）图象的对称轴D．直线y＝x与f（x）的图象恰有2个公共点解：f（x）＝|sin x|+|﹣cos x|＝|sin x|+|cos x|．A：在[，π]，f（x）的最小值在x＝时取得，f（）＝1，故A正确．B：f（x+）＝|sin（x+）|+|cos（x+）＝|cos x|+|sin x|，f（x+）≠f（x）．故B错．C：x＝（k∈Z）是f（x）图像的对称轴，故C正确．D：当x＝时，y＝×＝1，当x＝π时，y＝×π＝2，故y＝x图像如图，共有2个交点．故选：ACD．11．列昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci，1170﹣1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用F（n）（n∈N*）表示斐波那契数列的第n项，则数列{F（n）}满足：F（1）＝F（2）＝1，F（n+2）＝F（n+1）+F（n）．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩AidanDwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子，下列选项正确的是（）A．[F（8）]2＝F（7）F（9）+1B．F（1）+F（2）+……+F（6）+1＝F（8）C．F（2）+F（4）+……+F（2n）＝F（2n+1）﹣2D．[F（1）]2+[F（2）]2+……+[F（n）]2＝F（n）•F（n+1）解：由由题意知：F（1）＝1，F（2）＝1，F（3）＝2，F（4）＝3，F（5）＝5，F（6）＝8，F（7）＝13，F（8）＝21，F（9）＝34；[F（8）]2≠F（7）F（9）+1，A错；F（1）+F（2）+……+F（6）+1＝21＝F（8），B对；令n＝1，F（2）+F（4）＝4≠F（3）﹣2＝0，C错；因为本题为多选题，故选：BD．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是△B1CD1内部（不包括边界）的动点．若BD⊥AP，则线段AP长度的可能取值为（）A．B．C．D．解：如图，连接AC，A1C1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC⊥BD，由正方体的结构特征，可得AA1⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，则AA1⊥BD，∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，又点P是△B1CD1内部（不包括边界）的动点，平面AA1C1C∩平面B1CD1＝O1C，且BD ⊥AP，∴P的轨迹为线段O1C（不包括端点）．由正方体的棱长为1，可得，则，AC＝，由等面积法可得A到O1C的距离为．∴AP∈[，）．结合选项可得，线段AP长度的可能取值为ABC．故选：ABC．三、填空题：本题北4小题，每小题5分，共20分.13．已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为20．解：用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，抽取的高中生人数为10000×2%×＝40人，则抽取的高中生中近视的人数为40×50%＝20人．故答案为：20．14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD 中，．设，则x+y的值为．解：设AE＝1，则AF＝3，EF＝2，所以AB＝，在直角三角形ABF中，sin∠BAF＝，cos，如图所示，建立直角坐标系，设F（x，y），则y＝AF，x＝AF，即点F的坐标为（），又AD＝AB＝，所以点D（0，），B（，0），所以，，因为，即（）＝x（）+y（0，），所以，解得x＝，所以x+y＝，故答案为：．15．写出一个图象关于直线x＝2对称且在[0，2]上单调递增的偶函数f（x）＝﹣cos，（答案不唯一）．．解：结合余弦函数的性质可知，符合条件的函数f（x）＝﹣cos．故答案为：﹣cos．（答案不唯一）．16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省700元．解：由方案一可得出总价，第一次花3150元，可以判断出2000～5000区间，原价＝3150÷90%＝3500（元），第二次花4850元，可以判断出原价大于5000元，5000元以内的部分：5000×90%＝4500元，多出4850﹣4500＝350元，是打七折的部分，350÷0.7＝500元，总原价为：3500+5000+500＝9000元，由方案二：5000×90%+（9000﹣5000）×0.7＝7300元，∴所以比方案一节省：3150+4850﹣7300＝700元．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}中，a1＝a2＝1，且a n+2＝a n+1+2a n，记b n＝a n+1+a n，求证：（1）{b n}是等比数列；（2）{b n}的前n项和T n．满足+…+．【解答】证明：（1）a n+2＝a n+1+2a n，可得a n+2+a n+1＝2（a n+1+a n），记b n＝a n+1+a n，可得b n+1＝2b n，又b1＝a1+a2＝2，可得{b n}是首项和公比均为2的等比数列；（2）b n＝2n，T n＝＝2n+1﹣2，＝＝＝（﹣），所以++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＜．18．若f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（0）＝，f（）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）在锐角△ABC中，若A＞B，f（）＝，求cos，并证明sin A＞．解：（1）由f（0）＝，可得sinφ＝，又因为0＜φ＜，所以φ＝，因为f（）＝0，由五点作图法可得ω+＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+）．（2）由f（）＝，得sin（A﹣B）＝，又0＜A﹣B＜，故cos（A﹣B）＝，所以cos＝＝，所以sin＝，又A+B＞，所以A＝+＞+，又y＝sin x在（0，）上单调递增，A∈（0，），+∈（0，），所以sin A＞sin（+）＝×（+）＝．19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．解：（1）∵D1∉BF，∴BF与D1可确定平面α，在平面α内过D1作D1E∥BF，且交AA1于E，连接EB，ED1，则四边形D1EBF就是要作的截面α．理由：由题意，平面α∩平面AD1＝D1E，平面α∩平面BC1＝BF，而平面AD1∥平面BC1，∴D1E∥BF，根据作图过程，D1E∥BF，则四边形D1EBF就是要作的截面．（2）由题意，CF＝a（0＜a＜1），由（1）的过程可知A1E＝a，连接D1B1，则平面α将正方体分割成的商半部分为四棱锥D1﹣A1EBB1与四棱锥D1﹣B1BFC1的组合体．＝＝．而正方体的体积为1，则，故α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比为1．20．天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．题目A B C 做对的概率0.80.60.4获得的奖金/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．（1）求甲获得的奖金X的分布列及均值；（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）解：（1）分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立，由题意可知，X的可能取值为0，1000，3000，6000，所以P（X＝0）＝，P（X＝1000）＝＝0.8×0.4＝0.32，P（X＝3000）＝＝0.8×0.6×0.6＝0.288，P（X＝6000）＝P（ABC）＝0.8×0.6×0.4＝0.192，所以甲获得的奖金X的分布列为：X0100030006000P0.20.320.2880.192故E（X）＝0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192＝2336；（2）改变做题的顺序，获得奖金的均值不相同．决策的原则是选择期望值E（X）大的做题顺序，这称为期望值原则，做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难．猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目A，B，C的顺序做题，得到奖金的期望值最大．21．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线x＝3上的动点P（3，p）（p≠0）分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点），N为弦QR的中点，直线l：3x+4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF 的面积S的取值范围．解：（1）设M（x，y），由，得，化简的x2+y2+2x﹣3＝0，即（x+1）2+y2＝4，故C是以（﹣1，0）为圆心，半径为2的圆；（2）以线段DP为直径的圆的方程为（x+1）（x﹣3）+（y﹣0）（y﹣p）＝0，整理可得x2+y2﹣2x﹣py﹣3＝0…①又Q，R在以DP为直径的圆上，且Q，R在C：x2+y2+2x﹣3＝0…②②﹣①得：4x+py＝0，所以，切点弦QR所在直线的方程为4x+py＝0，可见QR恒过原点O（0，0），联立方程，消去x整理可得：（16+p2）y2﹣8py﹣48＝0，设Q（x1，y1），R（x2，y2），则y，点N的纵坐标y，因为p≠0，显然y N≠0，所以点N与点D（﹣1，0），O（0，0）均不重合，因为N为弦QR的中点，且D（﹣1，0）为C的圆心，由圆的性质可得DN⊥QR，即DN⊥ON，所以点N在以OD为直径的圆上，圆心为G（﹣，0），半径为r＝，因为直线3x+4y＝6分别与x轴，y轴交于点E，F，所以E（2，0），F（0，），因此|EF|＝，圆心G（﹣，0）到直线3x+4y＝6的距离d＝，设△NEF的边EF上的高为h，则点N到直线3x+4y＝6的距离h的最小值为d﹣r＝，点N到直线3x+4y＝6的距离h的最大值为d+r＝＝2，所以S的最小值为S min＝＝，S，所以三角形NEF的面积S的取值范围为[]．22．已知函数f（x）＝a cos x+1﹣，且f'（）＝0．（1）求实数a的值，并判断f（x）在（0，）上的单调性；（2）对确定的k∈N*，求f（x）在[2kπ+，2kπ+π]上的零点个数．解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）＝﹣a sin x+，所以f'（）＝﹣a sin+＝1﹣a＝0，所以a＝1，则f′（x）＝﹣sin x+，因为函数y＝﹣sin x在（0，）上单调递减，y＝在（0，）上单调递减，所以f′（x）＝﹣sin x+在（0，）上单调递减，又f'（）＝0，所以当x∈（0，）时，f′（x）＞f'（）＝0，所以f（x）在（0，）上单调递增．（2）f′（x）＝﹣sin x+，f″（x）＝﹣cos x﹣，因为y＝﹣cos x在[2kπ+，2kπ+π]上单调递增，y＝﹣在[2kπ+，2kπ+π]上单调递增，所以f″（x）＝﹣cos x﹣在[2kπ+，2kπ+π]上单调递增，又f″（2kπ+）＝﹣cos（2kπ+）﹣＝﹣e﹣2kπ＜0，f″（2kπ+π）＝﹣cos（2kπ+π）﹣＝1﹣＞0，由零点存在定理及f″（x）的单调性，知存在唯一的x0∈（2kπ+，2kπ+π），使得f″（x0）＝0，从而当x∈（2kπ+，x0）时，f″（x）＜f″（x0）＝0，f′（x）单调递减，当x∈（x0，2kπ+π）时，f″（x）＞f″（x0）＝0，f′（x）单调递增，f′（2kπ+）＝﹣sin（2kπ+）+＝e﹣2kπ﹣1＜e0﹣1＝0，f′（x）在[2kπ+，2kπ+π]上的最小值f′（x）min＝f′（x0）＜f′（2kπ+）＜0，f′（2kπ+π）＝﹣sin（2kπ+π）+＝＞0，由零点存在定理及f′（x）的单调性，知存在唯一的x1∈（x0，2kπ+π），使得f′（x1）＝0，从而当x∈（2kπ+，x1）时，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减，当x∈（x1，2kπ+π）时，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增，f（2kπ+）＝cos（2kπ+）+1﹣＝1﹣e﹣2kπ＞1﹣e0＝0，f（2kπ+π）＝cos（2kπ+π）+1﹣＝﹣＜0，f（x）在[2kπ+，2kπ+π]上的最小值f（x）min＝f（x1）＜f（2kπ+π）＜0，由零点存在定理及f（x）的单调性，知f（x）在[2kπ+，2kπ+π]（k∈N*）上有且仅有一个零点．。
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山东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2） D．（0，2]2．在复平面内，复数z=﹣2i3（i为虚数单位）表示的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题p：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），命题q：∃x∈N，x3＜x2．则（）A．p假q假B．p真q假C．p假q真D．p真q真4．如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm5．已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．4 B．C．D．6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．27．将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[2k+1，2k+2]（k∈Z）D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）8．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则+最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+29．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B． CD．10．点F为双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B．若3+=0，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a= ．12．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为．13．双曲线的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是．14．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”；②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是④函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．其中真命题的序号是．（请填上所有真命题的序号）三、解答题（共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16．植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下：区间人数频率第1组[25，30）500.1第2组[30，35）500.1第3组[35，40）a0.4第4组[40，45）150b（1）求a，b的值；（2）现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率．17．现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品A B C数量240240360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件．（I）求三种产品分别抽取的件数；（Ⅱ）已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件．现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率．18．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．19．已知数列{a n}中，a1=2，且．（I）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=n（a n﹣1），数列{b n}的前n项和为S n，求证：1≤S n＜4．20．已知椭圆C：，离心率为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|．求直线l的方程．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点．当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）是否在x轴上存在定点M，使•为定值？若存在，请求出定点M及定值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2） D．（0，2]【考点】1D：并集及其运算．【分析】先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可．【解答】解：集合M={x|x2﹣4x＜0}=（0，4），N={x||x|≤2}=[﹣2.2]．∴M∪N=[﹣2，4），故选：B2．在复平面内，复数z=﹣2i3（i为虚数单位）表示的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z=﹣2i3=，∴z在复平面内对应的点的坐标为：（1，3），位于第一象限．故选：A．3．命题p：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），命题q：∃x∈N，x3＜x2．则（）A．p假q假B．p真q假C．p假q真D．p真q真【考点】2K：命题的真假判断与应用；4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题p，q的真假，可得答案．【解答】解：当x=2时，log a（x﹣1）=log a1=0恒成立，故命题p：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），为真命题；∀x∈N，x3≥x2恒成立，故命题q：∃x∈N，x3＜x2为假命题，故选：B4．如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图得几何体是三棱锥，计算出底面面积，由锥体体积公式，即可求出高．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥，其底面面积为S=×5×6=15，高为h，所以该几何体的体积为S=Sh=×15h=35，解得h=7（cm）．故选：C．5．已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．4 B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：D．6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．2【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值．【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，∴S△ABC=bcsinA==，故选：B．7．将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[2k+1，2k+2]（k∈Z）D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：∵将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数解析式为：y=cos（πx）；再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的解析式为：g（x）=cos[π（x﹣1）]；∴可得：，∵由2k≤≤2kπ+，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，由2kπ﹣≤≤2k，k∈Z，解得：4k﹣1≤x≤4k+1，k∈Z，可得函数g（x）的单调递增区间是：[4k﹣1，4k+1]，k∈Z，对比各个选项，只有A正确．故选：A．8．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则+最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+2【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），建立m，n的关系，利用基本不等式即可求+的最小值．【解答】解：∵直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，∵+=（+）（m+n）=3++≥3+2，当且仅当=，即n=m时取等号，∴+的最小值为3+2，故选：D．9．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．10．点F为双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B．若3+=0，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，设F（c，0），由OA⊥FA，且OA的方程为y=x，OB的方程为y=﹣x，直线AB的方程为y=﹣（x﹣c），由解得A（，），由解得B（，﹣）由3+=0，即3+=，即3（﹣c，）+（﹣c，﹣）=0可得3（﹣c）+﹣c=0，即3a2+=4c2，由b2=c2﹣a2，化简可得3a4﹣5a2c2+2c4=0，即（a2﹣c2）（3a2﹣2c2）=0，即a2=c2，（舍）或3a2=2c2，即c2=a2，c=a=a，可得e==．故选：B．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a= 1 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：112．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为 5 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．【解答】解：作出不等式组，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，由，可得A（2，1）平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（2，1）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为：5．故答案为：5．13．双曲线的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是3．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a=3，由离心率公式可得c=6，解得b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=3，c=，由e==2，即有c=2a=6，即=6，解得b=3．渐近线方程为y=±x，即为x±3y=0，则双曲线的焦点（0，6）到渐近线的距离是=3．故答案为：3．14．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p====．故答案为：．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”；②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是④函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．其中真命题的序号是①②④．（请填上所有真命题的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断．③根据几何概型的概率公式进行判断．④利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可．【解答】解：①命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”；故①正确，②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；正确，当点P的坐标满足y=时，函数f（x）为奇函数．故②正确，③若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是．如图．所以③错误④因为函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，所以在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，即：在[2，+∞）上恒成立，令，因为x≥2，所以，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=，所以．则实数a的取值范围是（﹣∞，）．故④正确，故答案为：①②④三、解答题（共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16．植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下：区间人数频率第1组[25，30）500.1第2组[30，35）500.1第3组[35，40）a0.4第4组[40，45）150b（1）求a，b的值；（2）现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率．【考点】B7：频率分布表．【分析】（1）根据频率=求出参加活动的总人数，再求a、b的值；（2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可．【解答】解：（1）根据题意知，50÷0.1=500，所以共有500人参加活动；a=500×0.4=200，b==0.3；（2）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×=1，第2组的人数为6×=1，第3组的人数为6×=4，∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种；所以至少有1人年龄在第3组的概率为P=1﹣=．17．现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品A B C数量240240360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件．（I）求三种产品分别抽取的件数；（Ⅱ）已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件．现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B3：分层抽样方法．【分析】（I）设出A、B产品均抽取了x件，利用分层抽样时对应的比例相等，列出方程求出x的值即可；（Ⅱ）对抽取的样本进行编号，利用列举法求出对应的事件数，计算概率即可．【解答】解：（I）设A、B产品均抽取了x件，则C产品抽取了7﹣2x件，则有：=，解得x=2；所以A、B产品分别抽取了2件，C产品抽取了3件；（Ⅱ）记抽取的A产品为a1，a2，其中a1是一等品；抽取的B产品是b1，b2，两件均为一等品；抽取的C产品是c1，c2，c3，其中c1，c2是一等品；从三种产品中各抽取1件的所有结果是{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b1c3}，{a1b2c1}，{a1b2c2}，{a1b2c3}，{a2b1c1}，{a2b1c2}，{a2b1c3}，{a2b2c1}，{a2b2c2}，{a2b2c3}共12个；根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中3件产品都是一等品的有：{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b2c1}，{a1b2c2}共4个；因此3件产品都是一等品的概率P==．18．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1，从而平面AEF⊥平面B1BCC1；（II）由（1）知AE为棱锥A﹣B1EF的高．于是V=V=．【解答】解：（I）∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵E是正三角形ABC的边BC的中点，∴AE⊥BC，又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1．（II）∵三棱柱所有的棱长均为2，∴AE=，∴S=2×2﹣﹣=，由（I）知AE⊥平面B1BCC1∴．19．已知数列{a n}中，a1=2，且．（I）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=n（a n﹣1），数列{b n}的前n项和为S n，求证：1≤S n＜4．【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】（I）利用递推关系变形可得a n﹣1=，即可证明；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可证明．【解答】证明：（I），又a1﹣1=1≠0∴数列{a n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．∴，得．（II），设…①则…②①﹣②得：，∴，，又，∴数列{S n}是递增数列，故S n≥S1=1，∴1≤S n＜4．20．已知椭圆C：，离心率为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|．求直线l的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）由离心率公式和点满足椭圆方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为y=kx+（k≠0），与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由|AM|=|AN|，运用两点的距离公式，化简整理可得k的方程，解方程可得k，进而得到所求直线方程．【解答】解：（I）由题意可得e==，+=1，且a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）若直线的斜率不存在，M，N为椭圆的上下顶点，即有|AM|=2，|AN|=1，不满足题设条件；设直线l：y=kx+（k≠0），与椭圆方程+y2=1联立，消去y，可得（1+3k2）x2+9kx+=0，判别式为81k2﹣4（1+3k2）•＞0，化简可得k2＞，①设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+3=3﹣=，由|AM|=|AN|，A（0，﹣1），可得=，整理可得，x1+x2+（y1+y2+2）（）=0，（y1≠y2）即为﹣+（+2）•k=0，可得k2=，即k=±，代入①成立．故直线l的方程为y=±x+．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点．当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）是否在x轴上存在定点M，使•为定值？若存在，请求出定点M及定值；若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，可得c=，即a2﹣b2=3，求得直线经过（﹣c，0）和（0，b）的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，结合离心率公式可得b，a，进而得到椭圆方程；（2）假设直线l的斜率存在，设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得x的方程，运用韦达定理，设出M（m，0），运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得m，以及向量数量积的值；再讨论直线l的斜率不存在，求得A，B，验证成立．【解答】解：（1）抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣，0），由题意可得c=，即a2﹣b2=3，由直线l经过（﹣c，0）和（0，b），可得直线l：bx﹣cy+bc=0，直线l与原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切，可得=e==，解得b=1，则a=2，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，设M（m，0），=（m﹣x1，﹣y1），=（m﹣x2，﹣y2），•═（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m 2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1+）（x2+）=m2+（k2﹣m）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+3k2=m2+（k2﹣m）（﹣）+（1+k2）•+3k2=，要使•为定值，则=4，解得m=﹣，即有•=﹣．当直线l的斜率不存在时，A（﹣，﹣），B（﹣，），=（﹣，），=（﹣，﹣），可得•=﹣．则在x轴上存在定点M（﹣，0），使得•为定值﹣．。