计算固体力学-1

⎟⎞ ⎠
+
Q
c 式中， ρ 为密度 kg/m3； 为比热容 J/(kg ⋅ K)
λx , λ y , λz 为导热系数 w (m ⋅ k) T为温度 ℃， t为时间 s
Q 为内热源密度 w/m3。
对于均匀各向同性材料，稳态温度场问题为 Poisson 方程
∂2T ∂x 2
+
∂2T ∂y 2
+
∂2T ∂z 2
⎟⎟⎠⎞0
(x
−
x0
)2
+
1 3!
⎜⎜⎝⎛
∂3 f ∂x3
⎟⎟⎠⎞0 (x − x0 )3 + ...
x
如果网格很细密，则 (x − x0 ) 很小
12
h
8 45
11 3 0 1 9
在节点1和3上： x 分别为 x0 + h 和 x0 − h
f3
≈
f0
−
h⎜⎛ ⎝
∂f ∂x
⎟⎞ ⎠0
+
h2 2
3
第一章 前言
一 计算固体力学的任务：
1.力学的研究对象
物体机械运动的规律 ——研究物体受到的力和物体发生的运动的关系 物体（流体，固体，气体） 力（热，电，磁等环境） 运动
2.固体力学的任务
研究固体（结构）在外部作用（外力，温度等变化）下的变形 和应力及其演化规律，根据这些规律研究固体和结构的破坏 （刚度、强度、疲劳、断裂以及稳定性等）
h
4
f
0
'
'
'
'
f9
≅
f0
+ 2hf0 '+2h2
f
0
'
'+
4 3
h
3
f0
'
'
'+
2 3
h
4
f
0
'
'
'
'
f3
≅
f0
−
hf0
'+
1 2
h2
f
0
'
'−
1 6
h3
f
0
'
'
'
h3
+
1 24
h
4
f
0
'
'
'
'
f11
≅
f0
−
2hf
0
'+2h
2
f
0
'
'−
4 3
h3
f
0
'
'
'+
2 3
h
4
f
0
'
'
'
'
求解以上4式，得到
=
3 f0
−
4 f3 2h
+
f11
不同的差分方式，对应不同的差分方法
a
x 12
h 8 45
3 019 7 26
10
14
例：稳态温度场控制方程的差分法求解
热传导方程为
ρc
∂T ∂t
=
∂ ∂x
⎜⎛ ⎝
λ
x
∂T ∂x
⎟⎞ ⎠
+
∂ ∂y
⎜⎜⎝⎛ λ y
∂T ∂y
⎟⎟⎠⎞
+
∂ ∂z
⎜⎛ ⎝
λ
z
∂T ∂z
6
第三章：数值方法的基本理论
力学问题可表示成微分方程的边值问题（要求逐点满足）
例如（纯弯悬臂梁）： f ''(x) = M , f (0) = 0, f '(0) = 0
力学问题的求解可参照微分方程的求解方法构造。根据问 题的不同，可采用微分形式，也可采用积分形式。不同的 描述方式，可构造不同的数值方法。
f1
≅
f0
+ hf0'+
1 h2 2
f0''
f9 ≅ f0 + 2hf0'+2h2 f0''
⎜⎛ ∂f ⎟⎞ = −3 f0 + 4 f1 − f9
⎝ ∂x ⎠0
2h
11
向后差分
f3
≅
f0
−
hf0
'+
1 2
h2
f0''
f11 ≅ f0 − 2hf0'+2h2 f0''
b
h
y
⎜⎛ ⎝
∂f ∂x
⎟⎞ ⎠0
为周围4个点的平 均值—协调函数
在内部各节点均可以建立类似的方程
从而构成一个由节点函数值组成的线性代数方程组
17
边界条件处理
边界节点，则需要根据边界条件构造差分方程
第一类边界条件： Ti = Ti
举例：
8 7 6
10 2 1
12 4 3
b
h
y
11
差分近似
同理，可获得更高阶的导数。例如
f
=
f0
+
f0 '(x − x0 )+
1 2!
f0 ''(x − x0 )2
+1 3!
f0 '''(x − x0 )3 +
1 4!
f0 ''''(x − x0 )4... ⇒
f1
≅
f0
+
hf0
'+
1 2
h2
f
0
'
'+
1 6
h3
f
0
'
'
'
h3
+
1 24
⎜⎜⎝⎛
∂2T ∂x2
⎟⎟⎠⎞0
=
T1
+
T3 − h2
2T0
⎜⎜⎝⎛
∂2T ∂y2
⎟⎟⎠⎞0
=
T2
+T4 − h2
2T0
4 0
因此，在0点有：
3
1
2
⎜⎜⎝⎛
∂ 2T ∂x 2
⎟⎟⎠⎞0
+
⎜⎜⎝⎛
∂ 2T ∂y 2
⎟⎟⎠⎞0
=
1 h2
(−
4T0
+
T1
+ T2
+ T3
+ T4
)
=0
即：中心点函数值
− 4T0 + T1 + T2 + T3 + T4 = 0
x
12
h
8 45
11 3 0 1 9
7 26
10
b
h
y
⎜⎜⎝⎛
∂4 ∂x
f
4
⎟⎟⎠⎞ 0
=
1 h4
[6 f0
− 4( f1 +
f3)+ ( f9
+
f11 )]
12
差分近似
同理，可得
⎜⎜⎝⎛
∂4 f ∂x2∂y2
⎟⎟⎠⎞0
=
1 h4
[4
f0
−
2(
f1
+
f2
+
f3
+
f4
)+
(
f5
+
f6
+
f7
+
f8
有限元法的应用和前后处理
2
参考教材
R.D.Cook,有限元分析的概念与应用 （Concepts and Application of Finite Element Analysis）关正西等译，西安交大 出版社
王勖成等, 有限单元法基本原理和数值方法， 清华大学出版社
杨庆生, 现代计算固体力学，科学出版社 刘正兴等, 计算固体力学，上海交大出版社
7 26 10
⎜⎜⎝⎛
∂2 f ∂x∂y
⎟⎟⎠⎞0
=
⎡∂
⎢ ⎢⎣
∂x
⎜⎜⎝⎛
∂f ∂y
⎟⎟⎠⎞0
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 2h
⎜⎜⎝⎛ ⎜⎜⎝⎛
∂f ∂y
⎟⎟⎠⎞1
− ⎜⎜⎝⎛
∂f ∂y
⎟⎟⎠⎞3
⎟⎟⎠⎞
=
f5 − f6 − f8 − f7
2h
2h
2h
=
1 4h2
[( f5
+
f7 )− ( f6
+
f8 )]
7
T
=
(4 −
x h
)T0
,
0 ≤ x ≤ 3h, y = 3h
6
求区域内温度分布
5
y
x
10
12
16
2
4
1
3
9
11
3h
15 3h
14
13
基本方程（Laplace方程）：
∂2T ∂x2
+
∂2T ∂y2
=
0
边界条件种类：
（1）指定温度；（2）指定边界热流； （3）对流
16
方程的离散
以右图中 0 点为例，该点处导数的差分近似为
1.差分格式：
有限差分方法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程的求解转化 为代数方程的求解，求得的是待求函数在离散的网格点上的值。
为了说明差分方法的思想，先回顾一维问题的差分和微分
f (x-h/2)
f (x+h/2) f '(x)
f '(x) ≈ f (x + h / 2) − f (x − h / 2) h
⎜⎜⎝⎛
∂2 ∂x
f
2
⎟⎟⎠⎞0
b
h
y
7 26 10
f1
≈
f0
+ h⎜⎛ ∂f ⎟⎞ ⎝ ∂x ⎠0
+
h2 2
⎜⎜⎝⎛
∂2 ∂x
f
2
⎟⎟⎠⎞0

联立求解，可获得：
⎜⎛ ∂f ⎟⎞ ⎝ ∂x ⎠0
=
f1 − f3 2h
⎜⎜⎝⎛
∂2 ∂x
f
2
⎟⎟⎠⎞0
=
f1 +
f3 − 2 f0 h2
10
差分近似
同理，沿 y方向取点，可得：
)]
x
⎜⎜⎝⎛
∂4 f ∂y4
⎟⎟⎠⎞0
=
1 h4
[6 f0
− 4(
f2
+
f4)+(
f10
+
f12)]
12
h
8 45
11 3 0 1 9
导数的阶次越高，涉及的周围节点
7 26
数越多 以上的格式是中心差分格式
10
b
h
y
13
差分近似
向前差分
例如： ⎜⎛ ∂f ⎟⎞ 用 ⎝ ∂x ⎠0
f0 ，f1 ， f9 表示：
f
''(x) ≈
f (x + h) − 2 f (x) + h2
f (x − h)
x-h x-h/2 x
x+h/2 x+h
8
§3.1 有限差分法（Finite Difference method）
差分近似：
考虑一个二维问题。假设： f (x, y) 是一物理问题的解，定义在一 个矩形区域 (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b)
规律、应力分布规律，解释新的力学现象，包括材料性 能的揭示，工程中的力学问题等 工程问题的模型化，分析结果显示，可视化，虚拟现实
5
学习本门课程的必要性
“Why study the theory of finite elements? Many satisfactory elements have already been formulated and reside in polular computer programs. The practitioner desires to understand how various elements behave. Clearly, engineerings who understand analysis tools will be able to use them to better advantage and will be less likely to misuse them. Such an understanding cannot be achieved if theory is igonred. … We recognize that for engineers the study of finite elements is more than a theoretical study of mathematical foundations and formulation proceddures for various types of finite elements. Complete computer codes need not be studied in detail, but concepts and assumptions behind the coding should be mastered. Otherwise, the treatment of loads and boudary conditions may be confusing, the variety of program options and element types may be baffling, and error messages may provide no clue as to the source of difficulty or how to correct it.” (摘自 Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Robert Cook et al. 1989 )
+
Q
λ
=0
15
稳态温度场的差分解
以下以一个简单的问题说明差分方法的求解思路
考虑一正方形区域内无源的平面稳定温度场，边界上给定温度分布为
T = 4T0 , x = 0, 0 ≤ y ≤ 3h
8
T = T0 , x = 3h, 0 ≤ y ≤ 3h
T
=
Hale Waihona Puke (4 −x h )T0 ,
0 ≤ x ≤ 3h, y = 0
为了使用差分法，首先要把 所关心的区域剖分为网格， 对网格节点给以编号
对于图示的矩形区域，用等 距的均匀网格是最容易的
x
12
h
8 45
11 3 0 1 9
7 26
10
h
y
9
差分近似
在０点附近沿 x 轴线上点的函数值
f
=
f0
+
⎜⎛ ⎝
∂f ∂x
⎟⎞ ⎠0
(x
−
x0
)
+
1 2!