2 .1变化的快慢与变化率-北师大版高中数学选修2-2练习

第二章变化率与导数

§1 变化的快慢与变化率

课后训练案巩固提升

1.若函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则Δy

Δx

等于( )

A.4

B.4x

C.4+2Δx

D.4+2(Δx)2

解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=4Δx+2(Δx)2,∴Δy

Δx =4Δx+2(Δx)

2

Δx

=4+2Δx.

答案:C

2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( )

A.7米/秒

B.6米/秒

C.5米/秒

D.4米/秒

解析:∵Δs

Δt =(3+Δt)

2-(3+Δt)+1-(32-3+1)

Δt

=5Δt+Δt2

Δt =5+Δt,∴当Δt→0时,Δs

Δt

→5.

答案:C

3.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS等于( )

A.8πRΔR

B.8πRΔR+4π(ΔR)2

C.4πRΔR+4π(ΔR)2

D.4π(ΔR)2

解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.

答案:B

4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )

A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度

C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度

解析:在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.

答案:C

5.导学号88184017已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为( )

A.(1,3)

B.(-4,33)

C.(-1,3)

D.不确定

解析:设点M的坐标为(t0,2t02+1),则

Δy Δx =

2(t0+Δx)2+1-2t02-1

Δx

=4t0Δx+2(Δx)2

Δx

=4t0+2Δx, 由题意知4t0=-4,即t0=-1. 故点M的坐标为(-1,3).

答案:C

6.函数y=f(x)=lnx+1从e到e2的平均变化率为.

解析:∵Δx=e2-e,Δy=f(e2)-f(e)=(lne2+1)-(lne+1)=lne=1,∴Δy

Δx =1

e2-e

.

答案:1

e2-e

7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.

解析:∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当Δt趋于0时,Δs

Δt =3Δt-(Δt)

2

Δt

=3-Δt趋于3.

答案:3

8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是.

①前3个月内增长越来越快.

②前3个月内增长越来越慢.

③产品数量一直增加.

④第3个月到第8个月内停产.

解析:前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.

答案:②④

9.已知函数f(x)=2

x 在区间[1,t]上的平均变化率为-2

3

,则t=.

解析:∵反比例函数y=k

x (k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-k

mn

,∴-2

1×t

=-2

3

,解得t=3.

答案:3

10.设某产品的总成本函数为

C(x)=1100+x 2

1200,其中

x 为产量数,则生产900个单位到1000个

单位时总成本的平均变化率为 . 解析:

ΔC Δx

=

C(1000)-C(900)

1000-900

=

1100+

100021200-(1100+9002

1200

)100

=19

12.

答案:19

12

11.已知函数y=f(x)=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取1

2时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.

解函数y=f(x)=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为

f(x 0+Δx)-f(x 0)

Δx

=

[3(x 0+Δx)2+2]-(3x 0

2+2)Δx

=6x 0+3Δx.

当x 0=1,Δx=1

2时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5; 当x 0=2,Δx=1

2时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5; 当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5. ∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.

12.航天飞机升空后一段时间内,第ts 时的高度h(t)=5t 3+30t 2+45t+4,其中h 的单位为m,t 的单位为s.

(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么? (2)求前2s 内的平均速度; (3)求第2s 末的瞬时速度.

解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1s 后的高度;h(2)表示航天飞机升空2s 后的高度.

(2)航天飞机升空后前2s 内的平均速度为v =

ℎ(2)-ℎ(0)2-0

=

5×23+30×22+45×2+4-4

2

=125(m/s).