四川省双流中学2017-2018学年高二下学期周考二数学理

高 2016 级高二下周考（第 2 次）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农
送来米 1512 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 216 粒内夹谷 27 粒，则这批米内夹谷 约（ ）
A ．164 石
B ．178 石
C ．189 石
D ．196 石
2．直线 l 1 ：ax + y + 2 = 0 ，
l 2 ：3x + (a - 2) y + 6a = 0 ，则“l 1 // l 2 ”是“ a = 3 ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知数列{a n } 为等差数列，且 a 1 = 2 ， a 2 + a 3 = 13 ，则 a 4 + a 5 + a 6 = （ ）
A ． 40
B ． 42
C ． 43
D ． 45
4．函数 f (x ) =ln x -313
x +1 的零点个数为（ ）.
A ． 0
B ．1
C ． 2
D ． 3
5．函数 y = 2sin （26
x π
-）[0,]x π∈为增函数的区间是（ ）.
A ．[0,
]3x π
∈ B ．5[]36
x ππ
∈， C ．5[
,]6x ππ∈ D ．7[]1212
x ππ
∈，
6．一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4m ，侧面展开图的圆心角为120 ，则这个圆
锥的底面半径等于（
） m
A
．3B ．34C ．83D ．
431
x
7．定积分
10
2x
x e dx +⎰的值为（
）
A ． e -1
B ． e
C ． e + 1
D ． e + 2
8．若直线 ax - by + 2 = 0 (a > 0, b > 0) 被圆 x 2
+ y 2
+ 2x - 4 y +1 = 0 截得的弦长为 4 ， 则
11
a b
+的最小值为（ ） A
．32B ．
32C
．D ． 14
9．按照如图的程序框图执行，若输出结果为 31，则 M 处条件可以是（
）
A ． k > 32 C ． k ≥ 32
B ． k ≥ 16 D ． k < 16 10．已知 a 为常数，函数 f ( x ) = x (ln x - 2ax ) 有两个极值 点，则 a 的取值范围为（
）
A ．
-)∞（，1 B ．
1
-4∞（， C ．)（0，1 D ．
1
4（0，
11．已知函数 f ( x ) = x 2
+ ax - 2b ，若 a , b 都是区间[0, 4] 内
的数，则使 f (1) > 0 成立的概率是（
）
1 3 5
3 A ．
B ．
C ．
D ．
4
8
8
4
12．如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的
半径为 1，圆心在线段 CD （含端点）上运动， P 是圆 Q 上
及内部的动点，设向量AP = m AB + n AF (m , n ∈ R )（ m ，n 为实数）， 则 m + n 的取值范围是（
）
A ． (1, 2]
B ．[2, 5]
C ．[5, 6]
D ．[3, 5]
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）
13．若 cos(+4πα)
1=3， (0,)2
πα∈，则sin α= 14．已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a n > 0 ，1(3)6n n n S a a =+则 a n =
15．已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，BD ⊥ 底面 ABC ， AB ⊥AC AC
，DB = AB = 2 ，则球O 的表面积为 ．
16．设 x ， y ∈ R ，定义 x ⊗ y = x (a - y ) （ a ∈ R ，且 a 为常数），若 f ( x ) = e x ， g ( x ) = e - x + 2x 2 ， F ( x ) = f ( x ) ⊗ g ( x ) ． ①
g ( x ) 不存在极值； ②若 f ( x ) 的反函数为 h ( x ) ，且函数 y = kx 与函数 y = h ( x ) 有两个交点，则 k = 1
e
；
③若 F ( x ) 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 (-∞, -2] ；
④若
a = -3 ，在 F ( x ) 的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直． 其中真命题的序号有
（把所有真命题序号写上）．
三、解答题（本大题共6 小题，满分70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10 分）
已知函数f (x)=a b，其中a=(2c os x,2x)，b=(cos x,1)，x∈R ．
（Ⅰ）求f (x)的最小正周期，以及f (x)的值域；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A)=-1，a
且向量m=(3, sin B)与n=(2, sin C )共线，求边长b 和c 的值．
18．（本小题满分12 分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500 元，未售出的产品，每1t 亏损300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如图所示．经销商为下一个销售季度
购进了130 t 该农产品．以X
（100 ≤X ≤150 ）表示下一个销售
季度内的市场需求量，T（单位：元）
表示下一个销售季度内经销该农产品
的利润．
（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率．
19．（本小题满分12 分）
已知 a∈R ，函数f (x)= 2x3 - 3(a+1)x2 +6ax ．
（Ⅰ）若a =1，求曲线y = f (x) 在点(2, f (2))处的切线方程；
（Ⅱ）若a > 3 ，求函数f (x)在闭区间[0,2a]上的最小值．
20．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PD ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形，AC = 2 ，
BD =，且 AC ， BD 交于点 O ， E 是 PB 上任意一点．
（Ⅰ）求证： AC ⊥ DE ；
P
（Ⅱ）已知二面角 A - PB - D 的余弦值为 E
E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值．
D
C
O
A
B
21．（本小题满分 12 分）
已知△ABC 是等边三角形，边长为 4， BC 边的中点为 D ．椭圆W 以 A 、 D 为左、 右两焦点，且经过 B 、 C 两点．
（Ⅰ）求该椭圆W 的标准方程；
（Ⅱ）过点 D 且与 x 轴不垂直的直线l 交椭圆W 于 M 、N 两点，求证：直线 BM 与 CN
的交点在一条定直线上．
22．（本小题满分 12 分）
设函数 f ( x ) =211
ln(22
x b x ++（ b ≠ 0 ）． （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的极值点；
（Ⅱ）若 b = 1， g ( x ) = f ( x )1
2- x 2 + x ，设 A ( x 1 , y 1 ) ，B (
x 2, y 2) ，C ( x 3 , y 3 ) 是曲线 y = g ( x ) 上相异三点，其中 -1 < x 1 < x 2 < x 3 ．
求证：2121()()
g x g x x x --3232
()()
g x g x x x --。