高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导
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0,
求
2z x2
.
解一 利用隐函数求导法则
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解二 利用隐函数求导公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
3) Fy (0,0) 1 0
由定理1知, 在(0, 0) 的某邻域内,所给方程能唯一
确定一个单值可导的隐函数
且
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dy dx
x
0
Fx Fy
x0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
以下计算
u , v ; u , v . x x y y
(1)式两端分别对 x 求导,得
1
e
uv
u x
v x
,
u v e(uv) , x x
u v 0. x x
0
e
uv
u x
v x
.
u v 1 e(uv). x x 2
z uv,
求
z , z . x y
解 现在 z uv, 式中 u = u(x, y), v = v(x, y)由方程
x euv , y euv ,
(1)
所确定. 因此
z v u u v , x x x
z v u u v . y y y
则 (1)方程
的某邻域内可唯一确定
一个单值连续可导函数 y = f (x) , 满足条件
(2) dy Fx dx Fy
隐函数求导公式
定理证明从略,仅就求导公式推导如下:
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则 两边对 x 求导
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则可 求隐函数的二阶导数:
两边对 x 求导
y x0 ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
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二、三元方程确定二元隐函数
x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
z Fx
x Fz
同理可得
z Fy
y Fz
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例2.
设x2
y2
z
2
4z
1
f2
yz x z
xy
x z
1 f1 xy f2 f1 yz f2
0
f1
x y
1
f 2
yz x y
xz
x
y
f1 xz f2 f1 yz f2
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解二 利用全微分形式不变性.
由d x 的系数可得
z , 类似可求得
x
作业 P52 30 , 31,33 , 35 , 36
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备用题 设
有连续的一阶偏导数,
又函数
分别由下列两方程确定:
exy xy 2 , ex xz sin t d t ,
0t
2001考研
解 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
则
Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z) (2
2 z)3
x2
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例3. 设F( x , y)有连续偏导数, 已知方程
解一 利用隐函数求导公式.
等式 z f (x y z , xyz) 两端微分,得
d z f1 dx dy dz f2 yz dx xzdy xyd z
解出dz :
dz ( f1 yz f2)dx f1 xz f2 dy
1 f1 x y f2
第八章 多元函数微分法
第五节 隐函数的求导公式
二元方程确定一元隐函数 三元方程确定二元隐函数 方程组情形
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由方程所确定的函数称为隐函数. 在一定条件下,二元方程F(x, y) =0确定一元隐函数; 三元方程F(x, y, z) = 0 确定二元隐函数;… . 本节主题: 1.方程在什么条件下能确定隐函数? 例如, 方程
u
xyz
xx
解得
z 1 ex(x z)
sin(x z)
因此
du dx
f1
y x
f
2
1
ex(x sin(x
z) z)
f3
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d2y dx2
d dx
dy dx
x
(
Fx Fy
)
y
(Baidu Nhomakorabea
Fx Fy
)
dy dx
dy Fx dx Fy
xy x
Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx
Fx y
Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
所确定的隐函数, 则
z x
F1
1 z
F1
(
x z2
)
F2 (
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z
F2
1 z
y
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z x
dx
z y
dy
x
z F1
y
F2
z (F1dxx
F2dFFyxz)
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解二 微分法. 对方程
两边求微分:
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zdx z2
xd
z)
F2
(
zd
y z2
ydz)
0
整理得 解得
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
且有偏导数公式:
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
Gu Gv
u 1 (F,G) 1
y J ( y, v)
Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F,G) x J (u, x)
1 Fu Fv
Gu Gv
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2.在方程能确定隐函数时, 解决隐函数的求导数 问题.
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一、二元方程确定一元隐函数
定理1. 设函数
在
的某邻域内满足
1)有连续的偏导数;
2) F(x0 , y0 ) 0; 3) Fy (x0 , y0 ) 0
思考与练习
设
求
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解一 z f (x y z , xyz) 确定隐函数 z z(x, y)
z x
f1
1
z x
f 2
yz
xy z x
z f1 yz f2
x 1 f1 xy f2
1
f1
x z
u 1 evu, v 1 evu.
y 2
y 2
所以
z xv u e uuvv,
y1
(v
e
uv
u)e
v
u
.
y y y 2
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内容小结 1. 隐函数存在定理 2. 隐函数求导方法
方法1. 套公式; 方法2. 利用复合函数求导法则直接计算; 方法3. 利用微分形式不变性.
dz
x
F1
z
y
F2
(F1dx
F2d
y)
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三、方程组情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例:
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u(x, y) v v(x, y)
由函数F、G 的偏导数组成的行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
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定理3. 设函数
满足:
1)在点 导数;
的某一邻域内具有连续偏
2) F(x0 , y0,u0,v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
3) J (F,G) 0
v 1 (F,G) y J (u, y )
1 Fu Fv
Gu Gv
Fx Fv Gx Gv
课本P34-P35
Fy Fv G yGv
Fu Fx Gu Gx
参见二元 线性方程 组的求解 公式
Fu Fy Gu Gy
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例4. 设 x euv ,
y euv ,
P (u, v) P
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数
u u(x, y), v v(x, y),
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
( cos y x )2
x0 y0
y 1
3 F(x, y) sin y ex xy 1,
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第二种算法 — 利用隐函数求导法则
sin y ex xy 1 0, y y(x)
定理2. 若三元函数 F(x, y, z) 满足
1) 在点
的某邻域内有连续偏导数,
2) F(x0 , y0, z0 ) 0
3) Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则 (1) 方程
在
的某邻域内可
唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
(2) z Fx , z Fy
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因此
z v u u v 1 (u v)e(uv). x x x 2
(1)式两边对 y 求导, 得
0
e
uv
u y
v y
,
1
e uv
u y
v y
.
u v 0, y y
u v evu y y
Fy y Fx2
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例1. 验证方程
在点(0,0)的
某邻域内可确定一个单值连续可导的隐函数
并计算 dy
dx
x0 ,
d2y dx2
x0
解 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
1) Fx ex y, Fy cos y x 连续, 2) F(0,0) 0,