第七章-晶体的点阵结构和晶体的性质

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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
直线点阵对应的平移群
Tm ma m 1, 2,
结论
点阵是晶体结构周期性的几何表达，平移 群则是点阵的数学表达式，Tm已知，直线点 阵可知。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
一维周期性结构及其直线点阵
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晶面指标中某一数为零，意味着晶面与该指 标对应的晶轴平行。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
五、晶面间距
（h*k*l*）代表一组相互平行的晶面, 任意两 个相邻的晶面的面间距都相等。
正交晶系 立方晶系
dh*k*l*
1 ( h* )2 ( k )2 (l )2
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正交 a≠b≠c = = =90
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单斜 a≠b≠c = =90， ≠90
三斜： a≠b≠c
≠ ≠ ≠90
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
2 点阵的严格定义
按连接其中任意两点的向量进行平移能 够复原的一组点的全体, 称为点阵。
四、晶面与晶面指标
1 晶面
晶体的空间点阵可划分为一族平行而等间距 的平面点阵，晶面就是平面点阵所处的平面。
晶面 = 平面点阵 + 结构基元
各个晶面的方向及结构基元排列情况不同，表 现出的性质也不相同。为了区分不同的晶面就产 生了晶面符号也叫晶面指标。
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体心立方点阵
A、C、 D均是晶面 B不是晶面
晶体结构＝点阵结构＝点阵＋结构基元
结构基元 每个点阵点所代表的具体内容。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
(1) 直线点阵
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵。 a
a —直线点阵的单位矢量，因是平移时阵点 复原的最小距离, 故为平移素向量或素单位 。
b
b=2a
含有两个以上阵点的单位为复单位或复向量。
只有4重反轴是独立的.
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n: 直线＋点 例：
穿过体心的
4
直线＋体心
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
因此, 概括起来晶体宏观对称元素只有 4 类 8 个:
1, 2, 3, 4, 6, m, i, 4
晶体的宏观对称元素与对称操作
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BB′=ma =2|OB|cos(2π/n)
ma=2acos(2π/n) m/2=cos(2π/n) (1)
|m/2|≤1
|m| ≤2 整数
m=0, ±1, ±2,代入(1)
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得n=1,2,3,4,6
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
B 反映操作和镜面 (m) C 反演操作和对称中心( i ) D 旋转反演和反轴( n )
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Notes：
①(h*k*l*) h*=0 k*=0 l*=0
晶面平行于a 晶面平行于b 晶面平行于c
②截数为负时，加“-” 例（2-36）
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
晶面指标的性质
1 2
相互平行的晶面具 有相同的晶面指标；
(110)晶面在点阵中的取向
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平移群
T0=0 T1=a T2=2 a …
由T0 、 T1 、 T2 … Tm… 组成的集合构 成平移群。
记为Tm =ma （m=0,±1, ±2… ）
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
(2) 平面点阵
在二维方向上排列的阵点，即为平面点阵。
b a
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
2 晶面指标
晶面在三个晶轴上的倒易截数之比划为互质
的三个简单整数比 h* : k* : l *，称为该晶面的晶
面指标。
1 : 1 : 1 h*: k*: l * r st
(r, s,t为晶面在三个晶轴上的截长，h*,k*,l *为晶面指标。)
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
平面点阵可划分为一组相互平行的直线点阵, 选择两个不平行的单位向量 a和 b ,可将平面 点阵划分为并置的平行四边形单位, 称为平面 格子。
平面点阵参数
a a,b b, ab
a, b的选取方式不同平面格子的划分就不同。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
二、晶体结构的点阵理论
１ 点阵结构与点阵
点阵结构
晶体内部微粒呈周期性规律排布的结构，称 为点阵结构。
晶体结构＝点阵结构＝无限的周期结构
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
点阵结构的两个要素
点阵
周期重复的内容 周期重复的大小与方向
点按一定周期在空间排列出的无限几何图形。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
Cl
(0,0,0)
(1 , 1 ,0) 22
(0, 1 , 1 ) 22
(1 ,0, 1) 22
NaCl晶胞
Na
(1 ,0,0) (0,0, 1 ) (0, 1 ,0) (1 , 1 , 1)
2
2 2 222
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
T 2019/10/18 mnp

ma nb
pc
m,n, p=0, 1, 2, 25
空间正当格子
平行六面体
单位
顶点－－－－1/8 棱上点－－－－1/4 面上点－－－－1/2
体内点－－－－1
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对称性高，含点 阵点少的单位
点 (1) 点阵点必须无穷多；
阵 (2) 每个阵点必须处于相同的环境；
的 性
(3) 用该点阵所对应的平移群中的向量作用
质 到一个阵点上，必然指向一个新阵点。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
3 点阵结构、点阵与平移群三者的关系
点阵结构是一个具体的图形（无限的周 期结构），点阵是由点阵结构抽象出的几何 元素，而平移群则是该无限图形对称元素的 代数表019/10/18
选正当格子，首先考虑 对称性，再考虑含点阵
点的数目
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
平面格子正当点阵单位
正方格子
六方格子
矩形格子
矩形带心 平行四形 格 子格 子
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
实例 如何从石墨层抽取平面点阵？
能否将每个碳原子都抽象成点阵点？
2 晶胞的两个要素
晶胞的大小与形状
由晶胞参数a, b, c；α, β, γ表达。
晶胞的内容
晶胞中原子的种类、数目及位置, 由 分数坐标表达。
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分
由于取晶胞参数的三个素向量 a, b, c为
数 单位，一个晶胞内原子最大坐标为1，最小
坐 标
坐标为0，其余坐标在1~0之间，因此，描述
?
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
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b a
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
实例 NaCl(100)晶面如何抽象成点阵？
点阵结构
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点阵
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
(3) 空间点阵
向空间三维方向伸展的点阵称为空间点阵。
空间点阵对应的平移群
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
§7-2 晶体结构的对称性 一、晶体的宏观对称性
(1) 对称元素和对称操作
A 旋转操作与对称轴 晶体的旋转轴仅限于 n=1, 2, 3, 4, 6. 不可能出 现5及大于6的轴次, 这是晶体的点阵结构所决定的。
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n(过O)
正当格子
空间正当格子 14种型式，分属7个晶系:
立方 a =b =c = = = 90
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三方：a=b=c
= = ≠90
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六方：a =b≠c
= = 90, =120
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四方 a=b≠c = = =90
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
晶体的定义
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规律、 周期性重复排列所构成的固体物质。
晶体与非晶体结构示意图
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
§7-1 晶体结构的周期性和点阵理论 一、晶体的特性
1 晶体的均匀性与各向异性
晶体的一些与方向无关的量（如密度、化学组 成等）在各个方向上是相同的；而另外一些与方向 有关的量（如电导、热导等）在各个方向上并不相 同.例如, 云母的传热速率, 石墨的导电性能等。
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平面正当格子
平行四边形
单位
点阵点 顶点－－－－1/4 边上点－－－－1/2 内部点－－－－1
当一个格子中只有一个点阵点时, 称为素格子；
当一个格子中含有一个以上点阵点时, 称为复格子。
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对称性高，含点 阵点少的单位
正当格子
素向量间夹角，90°，60°，… 素向量尽可能短
abc
d hkl
a h2 k 2 l2
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例： 某正交晶系晶胞参数为a=5Å, b=10 Å, c=15 Å
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P267
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
六、晶体的缺陷
完全按照点阵式的周期性在空间无限伸展 排列的晶体称为理想晶体。在实际晶体中都是 近似的点阵结构, 有两个方面的原因偏离理想晶 体。其一, 实际晶体总有一定的大小, 不可能无 限伸展的; 其二, 晶体中或多或少都存在一定的 缺陷(振动、掺杂、非整数比化合物)。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
2 晶体的自范性
在理想生长环境中, 晶体能自发地形成规则 的凸多面外形。
凸多面体的晶面数（F）、晶棱数（E）和 顶点数（V）相互之间的关系符合欧拉定理：
F+V=E+2
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
3 晶体的对称性和对X射线的衍射
晶体的理想外形具有特定的对称性，这是内 部结构对称性的反映。晶体结构的周期大小和X 射线的波长相当，使它成为天然的三维光栅，能 够对X射线产生衍射。而晶体的X射线衍射，成为 了解晶体内部结构的重要实验方法。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
4 晶体具有确定的熔点
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
一维周期性结构及其直线点阵
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聚乙烯 H2
H2
H2
C
C
C
CH 2
H2C
C H2
C H2
H2
H2
H2
结构基元 C
C
C
C H2
CH 2
H2C
C H2
C H2
C H2
阵点
点阵
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复向量
a
2a
素向量
直线点阵
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b a
二维点阵格子的划分
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
平面点阵对应的平移群
Tmn ma nb m, n 1, 2,
划分平面格子的原则 能够保持点阵整体的宏观对称性，具有尽可 能多的直角，且含点阵点最少的平面格子，称为 正当格子，或正当点阵单位。
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晶胞中原子的坐标为分数坐标。
例1：
立方体心晶胞
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含原子数为8*1/8 + 1 = 2 （顶点1，体心1）
（0，0，0),
(1/2，1/2，1/2） 38
例2 :
立方面心晶胞 含原子数为8*1/8 + 6*1/2 = 4
（顶点1，面心3）
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(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0,1/2,1/2 )
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
实例1
cz
1:1:1 1:1:1 5:5:3
r st 335
by
a
晶面abc的晶面指标（553）
x
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例2：立方晶体的几组晶面指标
c
b
o
a
(100)
(110)
(111)
(1/1:1/∞:1/∞) (1/1:1/1:1/∞) (1/1:1/1:1/1)
(2)宏观对称元素的组合和32个晶体学点群
对宏观对称元素进行组合时，必须遵从两 个条件：
点阵结构中存在点阵，点阵的表 示符号用平移群。
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
三、晶 胞
1 晶胞的定义 晶体结构的基本重复单元称为晶胞。
晶胞与空间点阵的关系
晶体结构 点阵结构 空间点阵 结构基元


晶 胞 空间点阵单位 结构基元
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质