计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法的开题报告

计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法的
开题报告
一、选题背景及意义
非线性椭圆型方程广泛地应用于工程、物理学及数学等领域，其中
具有二价性质的方程在一定的条件下存在多个解。

研究非线性椭圆型方
程边值问题多解的分歧方法，除了具有重要的理论意义外，还有着实际
的应用价值，如在出现多解现象时，可通过分歧方法找到其中稳定的解，为实际问题的研究提供了有力的工具。

因此，本课题具有深远的理论和
实际意义。

二、研究现状及进展
针对非线性椭圆型方程多解分歧问题的研究已经有了一定的成果，
其中最为经典的是Ren和Wei在1988年提出的分支追踪法，相继出现
的有Ruelle-Takens分歧理论及其相应的算法、中心流形理论、Hopf分
支理论等，这些方法在实际问题中已得到广泛的应用，取得了不少的成果。

然而，由于方程的非线性本性和边界的不规则性，使得定理的条件
与假设往往非常苛刻，因此在研究实际问题时还需要针对具体情况加以
改进和拓展。

近年来，研究者们陆续提出了基于变分框架、拓扑度量等
方法进行多解分歧分析的新思路和新方法，并取得了一定的进展。

三、研究内容
本论文将结合分歧理论、变分计算和数值计算，并基于内蕴变分的
思想和拓扑度量的方法，研究非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧结构，重点研究其极限行为和奇异集的性质，进而确定其稳定解。

具体研
究内容如下：
1. 推导非线性椭圆型方程的内蕴变分结构，并通过高阶Sobolev空
间中的Schauder估计证明其变分问题的弱解的存在性和唯一性。

2. 建立非线性椭圆型方程多解的分歧结构，研究其极限行为和奇异集的性质。

3. 基于拓扑度量的方法，发展新的数值算法和计算技术，将其应用于具体问题的研究中。

4. 计算和比较已有理论和本文提出的方法对非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧结构进行数值验证。

四、研究方案
1. 熟悉分歧理论、变分计算等多解分析技术，深入研究非线性椭圆型方程边值问题。

2. 推导非线性椭圆型方程的内蕴变分结构，讨论其弱解的存在性和唯一性，进而建立其多解分歧结构。

3. 研究分支曲线的性质，分析分支的稳定性和分支点的分布。

4. 开发基于拓扑度量的新型数值算法和计算技术，将其应用于具体问题的研究中。

5. 对已有理论和本文提出的方法对非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧结构进行数值验证，比较其效果。

6. 撰写毕业论文并准备答辩。

五、预期成果
本论文预计能够深入研究非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧结构，推广和发展基于内蕴变分的思想、拓扑度量等多解分析技术，为实际问题的研究提供有力的工具，具体成果如下：
1. 推导非线性椭圆型方程的内蕴变分结构及其弱解的存在性和唯一性。

2. 建立非线性椭圆型方程多解的分歧结构，研究其极限行为和奇异集的性质，确定其稳定解。

3. 发展基于内蕴变分、拓扑度量等方法进行多解分析的新思路和新方法。

4. 开发新型数值算法和计算技术，应用于具体的问题研究中。

5. 对已有理论和本文提出的方法对非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧结构进行数值验证，比较其效果。

6. 撰写毕业论文。