2024年上海市高考数学新高考新教材新增知识系列： 对三角不等式的理解与应用

【学生版】

1、定理（三角不等式）：如果a 、b 是实数，那么||||||a b a b +≤+；当且仅当0ab ≥时，等号成立。

2、推广

（1）如果a 、b 是实数，那么|||||||||||a b a b a b +≤±≤+（由定理通过代换可以推得）；

（2）如果a 、b 、c 是实数,那么a c a b b c --+-≤，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立；

一、定理的多视角证明

1、定理（三角不等式）：如果a 、b 是实数，那么||||||a b a b +≤+；当且仅当0ab ≥时，等号成立。【提示】

【证明】方法1：

【证明】方法2：（比较法+不等式性质）

【证明】方法3：（分析法）；

【证明】方法4：（利用绝对值的几何意义）；

微专题对三角不等式的理解与应用

【证明】方法5：（从向量的模与复数的模视角理解）

定理（三角不等式）：如果a 、b 是实数，那么||||||a b a b +≤+；当且仅当0ab ≥时，等号成立。不等式中，用向量分别替换实数a 、b ；

则当不共线时,由向量加法三角形法则:向量

，

构成三角形,因此，有||||||b a b a +≤+（a 、b 同向时取等号）

定理的几何意义：完善后的定理，从形式来看具有三角形的两边之和大于第三边关系，因此有时把定理称为绝对值三角不等式定理。二、定理的理解与应用

例1、（1）设a 、b 为实数，求证：.2a b a b a ≥-++【提示】【证明】

（2）设a 、b 为实数，求证：.2b b a b a ≥-++【证明

【说明】本题考查了教材要求的由等式代换结合三角不等式证明不等式；例2、已知f (x )＝x 2－2x ＋7，且|x －m |＜3，求证：|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.【提示】；【证明】

【说明】本题考查了利用绝对值三角不等式证明不等式；两类含绝对值不等式问题的证明技巧；

a

b

a b

+

一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转符号化为常见的不等式证明，或利用||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明．

另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明；

例3、设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：|

a x ＋

b x 2|

<2.

【提示】

【证明】

【说明】本题考查借助三角不等式证明含绝对值的不等式；

1、将文字语言“m 等于|a |，|b |,1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键.

2、运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.例4、对任意x ∈R ，求使不等式|x ＋1|＋|x ＋2|≥m 恒成立的m 的取值范围.【提示】【说明】方法1：

【说明】本题考查了运用绝对值不等式求最值与范围；1、本题也可利用绝对值的几何意义求解；

2、对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值；

例5、不等式|sin x ＋tan x |＜a 的解集为N ；不等式|sin x |＋|tan x |＜a 的解集为M ，则解集M 与N 的关系是()

A ．N ⊆M

B ．M ⊆N

C ．M ＝N

D ．M

N

例6、若不等式|2a －1|≤|x ＋

1x |

对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（

）

A ．[－1,2]

B ．[1,2]

C ．－12，3

2

D ．0，32

例7、已知p ，q ，x ∈R ，且pq ≥0，x ≠0，则|px ＋

q

x |

与2pq 的大小关系是________________．

例8、设a ，b ∈R ，且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．

从初中的绝对值、三角形到高中的向量，在这些看似无序无关的知识中，让学生直观感受实数绝对值三角不等

式a b a b +≤+的若影若现，产生对新知识学习的渴望；在一个个问题的研究中，使学生的思维层次不断提升，由从特殊值和几何图形的直观想象延伸到精准的逻辑推理证明；从大量的实际问题中，让学生提炼出绝对值三角不等式的模型，并充分体会它的特征，并能充分的利用这些特征解决问题，突显它的价值和意义。

绝对值不等式|a ±b |≤|a |＋|b |，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．1、知识层面

定理（三角形不等式）：如果,a b 是实数，则≤a b a b ++，注意取等的条件。2、方法层面

综合法、分析法、放缩法、作差法等。3、思想层面

分类讨论思想、对称思想、转化化归思想、数形结合思想等。4、素养层面

数学抽象、数学建模、逻辑推理等。

绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现、证明、应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着良好的培养学生能力的机会；

1、已知实数a ，b 满足ab <0，则下列不等式成立的是（）

A ．|a ＋b |>|a －b |

B ．|a ＋b |<|a －b |

C ．|a －b |<||a |－|b ||

D ．|a －b |<|a |＋|b |

2、“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的()

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件

3、设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是（）

A ．|a ＋b |＋|a －b |>2

B ．|a ＋b |＋|a －b |<2

C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2

D ．不能比较大小

4、已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是（）

A ．|a ＋b |＞|a －b |

B ．|a ＋b |＜|a －b |

C ．|a －b |＜||a |－|b ||D.|a －b |＜|a |＋|b |