讲2梯度散度7-

E


,
得

0EE
ra ra
E

1 r2
r
(r 2Er )
1
r sin


(sin E )
1
r sin
E


1 r2
r
(r 2Er )
ra ra
E

1 r2
r
(r5

Ar4 )

1 r2
(5r 4
4Ar3) 5r 2

er
E
(r
)，求电场强
度穿过以坐标原点为球心半径为a的闭合球面的通量。

S E(r ) dS

S er E(a)
erdS
E(a)SdS
4a2E(a)
z
en
dS

r
O
y
x
3. 矢量场的散度
通量密度（散度）：单位体积内散发出来的矢
量的通量。

divF(r )
lim
S
F dS
V 0 V
散度描述了通量源的密度。
P点的散度>0 ， P点的场发散，P 点有发散源；
P点的散度<0 ， P点的场汇聚，P 点有汇聚源；
P点的散度 为0，P点没 有发散源；
空间任意点散度≡0，场非发散，无发散源；
直角坐标系下散度的计算公式： divF (r ) Fx Fy Fz F x y z ex x ey y ez z
Fx x
( x0 , y0 ,z0 )

Fx ( x0

x 2
,
y0, z0 ) x

Fx ( x0,
y0, z0 )

Fx ( x0,
y0, z0 )

Fx ( x0 x

x 2
,
y0, z0 )
2
2
穿出前、后两侧面的净通量值为
Fx xyz x
穿出左、右两侧面的净通量值为
Fy xyz y
4Ar
E

1 r2
r
(a5

Aa4 )
0




(5r 2

4 Ar)
ra
0
ra
为什么要定义通量？
从通量判断发散场，发散源，确定源与场的关系

S F dS 0
有散场，例如静电场

F dS 0,S
无散场，例如恒磁场
S
通量的大小，由发散场的强度决定，由发散源的强度决定。
面元的法向矢量：
◆面元在闭合曲面上:面元的
法向矢量由闭合曲面内指向外;
◆面元在开曲面上(由有向闭 合曲线C围成的) ：面元的法向
矢量与C成右手螺旋法则。 穿过曲面S的通量

S F dS
穿出闭合曲面S的通量
S F dS
en
dS
dS
en
C
对于流速场，通量代表每秒钟流出闭合曲面的流体的体积。对 于电磁场，通量代表穿出闭合曲面的力线的条数。
圆柱坐标系
F

(F )

F
Fz
z
球坐标系
F

1 r2
r
(r 2Fr )
1
r sin


(sin F )
1
r sin


(F )
4. 散 度定 理
S F dS V FdV
矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积
例1
求空间任一点P（x,y,z）的位置矢量
r
的散度。

r xex yey zez
r

x

y

z

3
x y z
R

r

r'

R
(r



r ') r



r'

3
例1.4.2 已知
D
R R3
，

x
(
1 R3
)

3R 4
R x
3R4 x x'
R
3(x x') R5
1 [(x x')2 ( y y')2 (z z')2 ]1/ 2 2(x x') 2
x x' R
y
(
1 R3
)


3(
y R5
y'
)
z
(
en
dS
穿过曲面S的通量
S F dS
穿出闭合曲面S的通 量
S F dS
◆面元在闭合曲面上:面元的法 向矢量由闭合曲面内指向外; ◆面元在开曲面上(由有向闭合 曲线C围成的) ：面元的法向矢 量与C成右手螺旋法则。
dS
en
C
闭合面的通量代表穿出曲面的力线的条数，反映了场在闭合 面内的发散情况，也反映了产生场的发散源的强度。
直角坐标系中的散度为
divF

Fx

Fy
Fz
F
x y z


ex
x

ey
y

ez
z
divF

Fx

Fy
Fz
F
x y z
Fx 单位体积内沿x方向发散源， x x方向发散源的强度 。
Fx沿x方向的变化率，场沿 x方向发散，产生穿出垂直 于x轴方向的面积的通量
每秒钟穿过面元dS⊥的流体的体积
d v(x, y, z)dS
每秒钟穿过面元dS的流体的体积
d

v(x,
y, z) endS

v(x,
y,
z)

dS
面元矢量（面元有 法向且有正侧和负侧）

dS endS
F 穿过面元矢量 dS 的通量


d F(x, y, z)dS
1 R3
)


3(
z R5
z'
)
例2.4.1 (V4) 半径为a的球形区域内充满介电常数为的电介质ε，球
外为真空。若已知电场分布如下，求空间电荷体密度（A、a为常
数）。
E

er
er
(r
3
(a5
Ar2 ) Aa4 )r 2
r
r
a
a
ε0 ε

解：
根据高斯定理

i

V FdV
VS
( xi , yi , zi )
Si
Si+1


ei
ei1
体积的剖分
散度定理的应用

SD dS q

SB dS 0

V DdV V dV

D
任意S,V成立

V BdV 0
任意S,V成立
B 0
直角坐标系下散度表达式的推导
z
(x0, y0, z0 )
做一无限小立方体包围P（x0,y0,z0)点
z P
穿出立方体的前侧面的净通量值为
F (x0

x , 2
y0 , z0 ) exyz

Fx (x0

x 2
,
y0, z0 )yz
穿出后侧面的净通量值为
x
y
x
o
y
在直角坐标系中计算 F
y

y')
y
(
1 R3
)

1 R3
(z

z')
z
(
1 R3
)
1 3(x x')2 R3 R5

1 R3

3( y y')2 R5

1 R3

3(z z')2 R5

3 R3

3 R3
0
R [(x x')2 ( y y')2 (z z')2 ]1/ 2 x x



R (x x')ex ( y y')ey (z z')ez
求：D 的散度（ R 0 ） 。
x x' y y' z z'
D ( x
R3
) ( y
R3
) ( z
R3
)

1 R3

(
x

x'
)
x
(
1 R3
)

1 R3

(
穿出上、下两侧面的净通量值为
Fz xyz z
穿出包围立方体的闭合面的通量
z
P
y
z
(x0, y0, z0 )
x
o
y
x
在直角坐标系中计算 F
F dS
S

( Fx x

Fy y

Fz )xyz z
( Fx Fy Fz )V x y z
F (x0

x

2 , y0, z0 ) (ex )yz
Fx (x0
x 2,y0,z0)yz
穿出前、后两侧面的净通量值为
[Fx ( x0

x , 2
y0, z0 )
Fx ( x0

x 2
,
y0, z0)]yz
Fx x
xyz
( x0 , y0 ,z0 )
1.4 矢量场的通量与散度
1. 矢量线
矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该
点矢量场的方向。



F exFx (x, y, z) eyFy (x, y, z) ezFz (x, y, z)
单位面积上的电力线条数等于 该点场的大小.
F
M
r dr
r
O
矢量线
2. 矢量场的通量

SD dS q
电场是发散场，电荷是电场 的发散源。正电荷为正通量 源，负电荷为负通量源。

SB dS 0
磁场是非发散场，没有发散源。
en - dS
+
矢量场穿出闭合面S的通量大小反映了场在S内的发散情
况，也反映了S内通量源的大小。
0
有净的矢量线从内
向外穿出S （发 散场）；S内有发
沿着法线方向穿过面元的力线条数。
通量为正：场从dS的下面指向上面； 通量为负：场从dS的上面指向下面。
dS

P
v
v(x, y, z)
v v en
dS
en
en
v(x, y, z)


F 穿过面元矢量 dS 的通量
d F(x, y, z)dS
沿着法线方向穿过面元的力线条数。
中矢量场的散度的体积分。



F(x, y, z) dS
F (xi , yi , zi ) Si
Vi



FiVi
F(x, y, z) dS
Si


F dS F dS
S
i
Si

F (xi , yi , zi )Vi
比如静电场的通量由S内的电荷分布决定。
通量描述S内产生发散场的发散源的总量。
Fy 单位体积内沿y方向发散源， y y方向发散源的强度 。
Fz 单位体积内沿z方向发散源，z z 方向发散源的强度 。
z
z P
y
x
o
y
x
在直角坐标系中计算 F
D
D
电荷密度表征了产生电位移矢量的发散源的强度。
B 0 磁场是非发散场，没有发散源。
出矢量线的正通量 源。正电荷是电场 的正通量源。
0
有净的矢量线从外
向内穿入S（汇聚 场）, S内有汇聚
矢量线的负通量源。 负电荷是电场的负 通量源。
0
进入与穿出闭合曲面 的矢量线相等,S内源 的代数和为0.不能判 断场是否发散，除非 S是任意曲面。
例1：已知空间电场分布为
E
(r)