2021~2022学年初中数学湘教版七年级(下)期末质量检测卷A试题及参考答案

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2021~2022学年七年级（下）期末质量检测卷A
数学（湘教版）
注意事项：
1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选出正确的答案。

1.若3×32×3m ＝38，则m 的值是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
2.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛（ ）斛米．（注：斛是古代一种容量单位） A ．
B ．
C ．1
D ．
3.（mx +8）（2﹣3x ）展开后不含x 的一次项，则m 为（ ） A ．3
B ．0
C ．12
D ．24
4.长为a ，宽为b 的长方形，它的周长为10，面积为5．则a 2b +ab 2的值为（ ） A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
5.如图，△ABC 沿射线BC 方向平移到△DEF （点E 在线段BC 上），如果BC ＝8cm ，EC ＝5cm ，那么平移距离为（ ）
A ．3cm
B ．5cm
C ．8cm
D ．13cm
6.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）
A ．135°
B ．120°
C ．115°
D ．105°
7.如图，△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝50°，点D 是BC 上任一点，点E 和点F 分别是点D 关于AB 和AC 的对称点，连接AE 和AF ，则∠EAF 的度数是（ ）
A ．140°
B ．135°
C ．120°
D ．100°
8.某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．126，126
B ．126，130
C ．130，134
D ．118，134
9.如图，△ABC 中，C 、C ′关于AB 对称，B 、B ′关于AC 对称，D 、E 分别在AB 、AC 上，且C ′D ∥BC ∥B ′E ，BE ，CD 交于点F ，若∠BFD ＝α，∠A ＝β，则α与β之间的关系为（ ）
A ．2β+α＝180°
B ．α＝2β
C ．α＝
D ．α＝180°﹣
10.已知关于x 、y 的二元一次方程组给出下列结论：
①当k ＝2时，此方程组无解；
②若k ＝1，则代数式22x •4y ＝；
③当a ＝0时，此方程组一定有八组整数解（k 为整数），其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③
C ．②③
D ．①②
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。

11.已知m ﹣n ﹣1＝0，则2m 2﹣4mn +2n 2﹣1的值是 ．
12.若，则＝，
＝．
13.
如图，将△ABC 绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣3），则点A′的坐标是．
14.统计学校排球队队员的年龄，发现有12岁、13岁、14岁、15岁等四种年龄，统计结果如下表，则根据表中信息可以判断该排球队队员的平均年龄是岁．
年龄/岁12131415
人数/个2468
15.已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组
的解是．
16.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，∠BOF＝度；
（2）若∠BOF＝36°，∠AOC＝度．
17.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
⑤AD＝（AB+AC﹣BC）
其中正确的结论是．
三、解答题：本题共8小题，共69分。

18. （6分）解方程或方程组
（1）＝﹣1；
（2）．
19. （6分）计算：
（1）（﹣t4）3+（﹣t2）6；
（2）（m4）2+（m3）2﹣m（m2）2•m3．
20. （7分）如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，若∠E＝∠1，则∠2＝∠3吗？
下面是推理过程，请你填空或填写理由．
证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG（），
∴∠1＝∠2（），
∵∠E＝∠1（已知）
∴∠E＝∠2（等量代换）
∵AD∥EG，
∴＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴＝（等量代换）
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21. （8分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．
（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部
分的面积．
22. （8分）张老师抽取了九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）．A组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E组：9.25≤x＜10.25，规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．
（1）抽取的这部分男生有人，请补全频数分布直方图；
（2）抽取的这部分男生成绩的中位数落在组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？
（3）如果九年级有男生400人，请你估计他们掷实心球的成绩达到合格的有多少人？23. （10分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）
（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是．
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24. （11分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为；
（2）若解释因式分解3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为5a2+mab+b2，则m的值为，将此多项式分解因式为．25. （13分）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD 之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
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2021~2022学年七年级（下）期末质量检测卷A
数学（湘教版）参考答案
1.【答案】B
【分析】根据3×32×3m＝38，得31+2+m═38，得到方程1+2+m＝8，解得m＝5．
【解答】解：∵3×32×3m＝38，∴31+2+m═38，∴1+2+m＝8，∴m＝5，故选：B．
【知识点】同底数幂的乘法
2.【答案】B
【分析】设1大桶可盛x斛米，1小桶可盛y斛米，根据“5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中即可求出结论．
【解答】解：设1大桶可盛x斛米，1小桶可盛y斛米，依题意，得：，
解得：，∴x+y＝+＝．故选：B．
【知识点】二元一次方程组的应用
3.【答案】C
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项，根据已知得出方程2m﹣24＝0，求出即可．
【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，
∵（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，∴2m﹣24＝0，∴m＝12．故选：C．
【知识点】多项式乘多项式
4.【答案】A
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式，再把已知代入得出答案．
【解答】解：∵长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5．∴ab＝5，2（a+b）＝10，则a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝25．故选：A．
【知识点】因式分解-提公因式法
5.【答案】A
【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离＝BE＝8﹣5＝3，进而可得答案．
【解答】解：由题意平移的距离为BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3（cm），故选：A．
【知识点】平移的性质
6.【答案】D
【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，
∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°
∴∠E＝60°，∠B＝45°∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．
【知识点】平行线的性质、三角形内角和定理
7.【答案】A
【分析】利用轴对称的性质解答即可．
【解答】解：如图，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝60°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝140°，故选：A．
【知识点】轴对称的性质
8.【答案】B
【分析】先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为115，118，126，126，134，138，143，157，
所以这组数据的众数为126，中位数为＝130，故选：B．
【知识点】中位数、众数
9.【答案】B
【分析】利用四边形内角和定理，三角形内角和定理，平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝β，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣β，
∵C′D∥BC∥B′E，∴∠ABC＝∠C′DB，∠ACB＝∠B′EC，
∵C、C′关于AB对称，∴AB垂直平分线段CC′，
∴∠C′DB＝∠CDB，同理∠B′EC＝∠BEC，
∴∠CDB+∠BEC＝180°﹣β，
∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADC+∠AEB＝180°+β，
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∵∠ADE+∠A+∠AEB+∠DFE＝360°，∠DFE＝180°﹣α，∴180°+β+β+180°﹣α＝360°，∴α＝2β，故选：B．
【知识点】轴对称的性质、平行线的性质
10.【答案】C
【分析】①当k＝2时，原方程组可求出解为x＝a﹣2，y＝﹣a+，因此①不正确，
②若k＝1，求出方程组的解为x＝a﹣3，y＝2﹣a，进而求出x+y＝﹣1，代入求代数式的值即可，
③将a＝0代入求出关于x、y的方程组的解，使其均是整数，得出结论，
【解答】解：①当k＝2时，原方程组可变为：
，解得：x＝a﹣2，y＝﹣a+，因此方程组有解，①不正确，
②当k＝2时，原方程组可变为：，解得x＝a﹣3，y＝2﹣a，
∴x+y＝a﹣3+2﹣a＝﹣1，∴代数式22x•4y＝4x•4y＝4x+y＝4﹣1＝；因此选项②是正确的，
③当a＝0时，原方程组变为：，解得：x＝，y＝
∵x、y、k均为整数，k＝0，k＝±1，k＝2，k＝±3，k＝±6，因此对应方程组有八组整数解，选项③正确，故选：C．
【知识点】二元一次方程组的解、解二元一次方程组、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法
11.【分析】根据已知条件，将代数式化简即可求解．
【解答】解：∵2m2﹣4mn+2n2﹣1＝2（m﹣n）2﹣1，
∵m﹣n﹣1＝0，∴m﹣n＝1，∴2m2﹣4mn+2n2﹣1＝2×12﹣1＝1，故答案为：1．
【知识点】因式分解的应用
12.【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（a﹣）2＝a2﹣2+，（a+）2＝a2+2+，
∴（a+）2﹣（a﹣）2＝4，∴（a+）2＝13，∴a+＝±，
∵（a﹣）2＝a2﹣2+，∴a2+＝9+2＝11，故答案为：±，11
【知识点】完全平方公式、分式的化简求值
13.【答案】（3，1）
【分析】把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣2），由于平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，则A′点的对应点的坐标为（3，2），然后还原，把点（3，2）向下平移1个单位即可得到点A′的坐标．
【解答】解：把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，则平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣2），所以A′点的对应点的坐标为（3，2），把点（3，2）向下平移1个单位得点（3，1），即点A′的坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．【知识点】坐标与图形变化-旋转、中心对称
14.【答案】14
【分析】直接利用加权平均数的求法结合图表求出答案．
【解答】解：由图表可得：该排球队员的平均年龄为：＝14（岁）．故答案为14．
【知识点】加权平均数
15.
【分析】设，根据已知方程组的解确定出m与n的值即可．
【解答】解：设，可得，解得：，故答案为：．
【知识点】二元一次方程组的解、解二元一次方程组
16.【答案】【第1空】33【第2空】72
【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EOF和∠EOB的度数，再根据角的和差即可得∠BOF的度数；
（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．
【解答】解：（1）∵∠DOB和∠AOC是对顶角，∴∠DOB＝∠AOC＝76°，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠EOB＝∠DOB＝38°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝142°，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE＝∠COE＝71°，
∴∠BOF＝∠FOE﹣∠EOB＝33°．故答案为33°．
（2））∵∠DOB和∠AOC是对顶角，∴∠DOB＝∠AOC，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠EOB＝∠DOB，
∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE＝∠COE，
∵∠AOC＝180°﹣∠COF﹣∠BOF＝180°﹣（∠EOB+∠BOF）﹣∠BOF
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＝108°﹣∠EOB＝108°﹣∠AOC∴∠AOC＝72°．故答案为72°．
【知识点】角平分线的定义、对顶角、邻补角
17.【答案】①②③⑤
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD＝m，AE+AF ＝n，则S△AEF＝mn，故④错误，根据求得的性质即可得到⑤正确．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM＝AD，BM＝BN，CD＝CN，
∵AM+BM＝AB，AD+CD＝AC，BN+CN＝BC，∴AD＝（AB+AC﹣BC）故⑤正
确，故答案为：①②③⑤．
【知识点】平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质
18.【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）把原方程组整理后，再利用加减消元法解答即可．
【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣4（x+2）＝﹣12，去括号得：9x﹣3﹣4x﹣8＝﹣12，
移项合并得：5x＝1，解得：x＝；
（2）原方程组整理得：，①×3+②得：17m＝17，解得m＝1，
把m＝1代入①得，5+n＝6，解得n＝1．所以原方程组的解为：．
【知识点】解一元一次方程、解二元一次方程组
19.【分析】（1）首先计算幂的乘方，再算加减即可；
（2）首先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣t12+t12＝0；（2）原式＝m8+m6﹣m8＝m6．
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
20.【答案】【第1空】垂直的定义
【第2空】同位角相等，两直线平行【第3空】两直线平行，同位角相等
【第4空】∠E【第5空】∠2【第6空】∠3
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝∠EGC＝90°，根据平行线的判定得到AD∥EG，由平行线的性质得到∠1＝∠2，等量代换得到∠E＝∠2，由平行线的性质得到∠E＝∠3，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠E＝∠1（已知）∴∠E＝∠2（等量代换）
∵AD∥EG，∴∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠2＝∠3（等量代换），
故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，
∠E，∠2，∠3．
【知识点】平行线的判定与性质
21.【答案】（a+2b）（2a+b）
【分析】（1）根据两种方法计算纸板面积即可；
（2）根据图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，得到，可求ab＝24，进一步可求图中空白部分的面积．
【解答】解：（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为（a+2b）（2a+b）；
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）由已知得：，化简得∴（a+b）2﹣2ab＝121，
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∴ab＝24，5ab＝120．∴空白部分的面积为120平方厘米．
【知识点】因式分解的应用
22.【答案】【第1空】50【第2空】C
【分析】（1）设抽取的这部分男生有x人．根据A组的人数以及百分比，列出方程即可解决问题；
（2）根据中位数的对应即可判定，利用圆心角＝360°×百分比，计算即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
【解答】解：（1）设抽取的这部分男生有x人．则有×100%＝10%，解得x＝50，
C组有50×30%＝15人，E组有50﹣5﹣10﹣15﹣15＝5人，
条形图如图所示：
（2）抽取的这部分男生成绩的中位数落在C组．
∵D组有15人，占×100%＝30%，
∴对应的圆心角＝360°×30%＝108°．
故答案为C．
（3）（1﹣10%）×400＝360人，
估计他们掷实心球的成绩达到合格的有360人．
【知识点】用样本估计总体、频数（率）分布直方图、中位数、扇形统计图
23.【答案】（0，2）
【分析】（1）分别作出A，B，C对应点A1，B1，C1，再作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
（2）根据中心对称的定义判断即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
（2）△A2B2C2与△ABC关于点M成中心对称，M点坐标是（0，
2），
故答案为（0，2）．
【知识点】作图-旋转变换、作图-平移变换
24.【答案】【第1空】a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b）
【第2空】6
【第3空】（5a+b）（a+b）
【分析】（1）根据图形，可以解答本题；（2）根据题意可以画出相应的图形；
（3）根据题意和因式分解的方法可知m的值为6，然后对式子分解因式即可解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b），故答案为：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）；
（2）如右图所示；
（3）由题意可得，m＝6，
5a2+6ab+b2＝（5a+b）（a+b），故答案为：6，（5a+b）（a+b）．
【知识点】因式分解的意义、因式分解的应用
25.【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论．【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，∴∠QEN＝∠PNE，∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣（180°﹣3α）＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α＝α＝∠AMP．∴∠NEF＝∠∠AMP．
【知识点】平行线的判定与性质
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