湖北省黄冈市2008年高考模拟及答题适应性考试(数学理)

2008年普通高等学校招生全国统一考试
黄冈市模拟及答题适应性考试
数 学 试 题（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟.
第I 卷（选择题共50分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．答第I 卷时,每小题选出的答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.
3．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案分别填在对应答题卡内，考试结束，考生只交答题卡. 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．已知集合P ＝{R x x x y y ∈+-=,32|
2}, Q={)2ln(|+=x y x },则=Q P
A 、R
B 、(-2,+∞)
C 、[)+∞,2
D 、(]2,2-
2. 已知n m x m
tx x f -++
=22
)(2
是偶函数，其定义域为[2n,1-n]，则点(m,n)的轨迹是 Ａ、一条直线 Ｂ、一条圆锥曲线 Ｃ、一条线段 Ｄ、一个点
3．已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题 ①若α⊥m ，β⊂
m ，则βα⊥．
②如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么n 不与α相交． ③若m =βα
，n ∥m ，且β
α⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．
其中真命题的个数是
A 、0
B 、3
C 、2
D 、1
4.某班40名学生，在一次考试中统计平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有误，甲实得80分却记为60分，乙实得70分却记为90分，则更正后的方差为 Ａ、60 Ｂ、70 Ｃ、75 Ｄ、80
5. 设f(x)=⎪
⎩⎪
⎨⎧≥+<)2(3
2)2(2x x x x x ,若f(a)>1,则a 的取值范围是
A 、),3()2,0(+∞⋃
B 、),3(+∞
C 、),2()1,0(+∞⋃
D 、)2,0(
6．若把函数1sin 3cos +-=x x y 的图象向右平移m （m>0）个单位，使点(
1,3
π
)为其对称中心，则m 的最小值是 A 、π B 、
2
π C 、
3
π D 、
6
π
7．在△ABC 所在的平面内有一点P 满足=++，则△PBC 与△ABC 的面积之比为 A 、
43 B 、3
2
C 、21
D 、31 8.集合A ＝|}1||
),{(-≥x y y x ,集合B=}6|||),{(+-<x y y x ，先后掷两颗骰子，掷第
一颗骰子得点数记为a ，掷第二颗骰子得点数记为b ，则(a,b)B A ∈的概率等于
A 、
41 B 、92 C 、367 D 、36
11 9. 已知
x x x f 3)(3-=,过点（1,m ）2-≠m 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取
值范围是
A 、(-2,3)
B 、(-3,-2)
C 、(-1,1)
D 、(-7,-2)
10．函数1
log 1
1)(22+-=x x og x f ，若1)()4(21=+x f x f ，11>x ,12>x ，则)(21x x f 的
最小值为
A 、
53 B 、32 C 、5
4 D 、455-
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题 (本大题共5小题，每小题5分，满分25分)
11．若复数θθsin cos i z +=(i 为虚数单位)，则使i z -=2
的θ的可能值为___________ 12.函数()f x 由下表定义： 若,,2,1,0),(,310
===+n a f a a n n 则=2008a ___________
13.已知)0,5(-A 、)5,0(B ，从点)0,2(-P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路径长度是________ 14.已知1010221010
)1()1()1(x a x a x a a x
+++++++= ，则
10432110432a a a a a -+-+- =___________
15.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数)(x f y =的图象恰好经过k 个格点，则称函数)(x f y =为k 阶格点函数.已知下列函数：①);
1(2)(2-=x x f ②1)(+=x
e x
f ;③x x f 2
log 8
1
)(=;④)3
cos(2)(π
-
=x x f .则其中为一阶格点函数的
序号为
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本题满分12分）在钝角三角形ABC 中，AC ＝2, AB ＝1, 其面积为
2
3
，O 是其外心，设u =,v =. （1）求v u ⋅;
（2）设=s u ⋅+t v ⋅, 求s 、t 的值.
17．（本题满分12分）在五棱锥P —ABCDE 中，PA ＝AB ＝
AE ＝2a, PB=PE=2
2a, BC=DE=a, ∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.
(1)求证：PA ⊥平面ABCDE; (2)求二面角A —PD —C 的大小;
P
A B
C
D
E
(3)在线段BC 上是否存在一点Q ，使Q 到平面PDE 的距离为a 4
2
3. 18．（本题满分12分）已知n 条直线0:11=+-c y x
l ，0:22=+-c y x l ，…
0:=+-n n c y x l ，其中n c c c <<< 21，21=c ，在这n 条平行线中，每相邻两
条直线之间的距离依次为3,5,7,…，2n-1. (1)求n c ;
(2)求满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≥+--0
0001
y x c y x c y x n n 的平面区域的面积.
19．（本题满分12分）某种彩票在一年内中奖号码的首位数字（如023的0）构成一个分布，数字0,1,2,…，9出现的概率满足
)(x p =ξ=f(x)=a x )2
1
(（a 为常数）,现在从这些中奖号
码中任取一个，记其首位数字为ξ. （1）求ξ的分布列; （2）求ξ的期望ξE .
20．（本题满分13分）动圆P 与定圆O 1：x 2+y 2+4x-5=0和O 2:x 2+y 2
-4x+3=0均外切，设P 点的轨迹为C.
（1）求C 的方程;
（2）过点A(3,0)作直线l 交曲线C 于P 、Q 两点，交y 轴于M 点，若21λλ==，当m =+21λλ时，求m 的取值范围.
21．（本题满分14分）设
x x x x f n n sin sin sin )(2+++= .求证: （1）对任意自然数n ，方程
1)(=x f n 在⎥⎦
⎤
⎝⎛2,6ππ内有且只有一个实数根;
（2）设⎥⎦
⎤
⎝⎛∈2,6ππn
x 是方程1)(=x f n 的根，求证:6lim π=∞→n n x .
黄冈市2008年高三年级五月份适应性考试
数 学 试 题（理科答案）
1.C
2.D
3.C
4.A
5.A
6.D
7.D
8.B
9.B 10.A 11.
2
π
12.2 13.58 14.－5120 15.② ④ 16.解（1）23sin 21=
⋅=
∆A AC AB S ABC
得sinA=2
3
A=60°或120°当A ＝60°时，BC ＝
3（舍）A ＝120°，BC ＝7，……3分
1cos ||||-=⋅=⋅A AB AC v u …………6分
（2）设外接圆半径为R ，由
R A BC 2sin =得R ＝3
7
……7分 由余弦定理得7
23
cos ,73cos =
∠=
∠BAO CAO ……9分 由t s ⋅+⋅=两边同乘v u 、
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=⋅⋅+⋅=⋅3
46
5,214222
t s t s t s t s t s 得…………12分 17.解（1）由PA ⊥AE ，PA ⊥AB 得PA ⊥平面ABCD ……4分
（2）过C 作CM ⊥AD ，MN ⊥PD 于N ，连CN ，则∠CNM 为二面角A —PD —C 的一个平面角，……5分
CD ＝
a AD a CD CM a 5
323,2=⋅
=
，317217
a PD a CD CN =⋅= 85
9
sin =
=
∠CN CM CNM ,所求二面角的大小为85859arcsin ……8分 （3）假设存在Q 点，过Q 作QF ∥AB 交AE 于F ，由ED ∥AB 得QF ∥平面PDE ， 由DE ⊥平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PED ，作FH ⊥PE 交PE 于H ，则FH ⊥平 面PED ，在Rt △EFH 中，FH ＝a 4
2
3，∠FEH ＝45°,所以FE ＝a 23,所以Q 是
BC 中点…………12分
解法二（2）建立如图坐标系，设A(0,0,0),P(0,0,2a),D(a,2a,0),C(2a,a,0),
E(0,2a,0)，设平面PAD 的法向量为),,(1
z y x n =,
⎩
⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅020
20011ay xa az AD n n 得所以
1=n 同理平面PDC 的法向量)3,2,2(2
=n ，
85
2
||||,cos 212121-=
⋅=
n n n n n n 故所求二面角的大小为85
85
2arccos
（3）)2,2,0(a a -=,)0,0,(a =，可求得平面PDE 的法向量)1,1,0(3=n
设Q(2a,x,0)点Q 到平面PED 距离为d,)0,2,2(x a a --= 则||||
33n n d
⋅=＝,42
32
|2|a x a =-得23|2|=-x a ，由0<x<a 得a x 21=
即Q 为BC 中点 18.解（1）
,32
|
|12=-C C 2312=-C C ……2分 同理 2)12(,,25123-=-=--n C C C C n n ……3分
222))12(531(n n C n =-+++= …………6分
（2）平面区域是梯形，高为2n-1,上底2
)1(2-n ,下底2
2n ……9分
其面积为S ＝
1464))1(22)(12(2
1
2322-+-=-+-n n n n n n ……12分 19.解（1）ξ的可取值为0,1,2,……9 ……1分
a f p a f p 21)1()1(,)0()0(=
=====ξξ ……，a P 92
1
)9(==ξ……2分 由1
221)2141211(109
9-==++++a a 得 …………4分
…………6分 （2）a a a a E 922
1
92122110⨯++⨯+⨯+⨯= ξ
……7分
令922
1
9212211⨯++⨯+⨯= S
，
则1010910922111121921121921212121⨯-=⨯--=⨯-+++=- S S
92
11
2-
=S …………10分 1023
1013
121121010=
--==Sa E ξ…………12分 20.解（1）1)2(:,9)
2(:22222
1=+-=++y x O y x O ，……１分动圆的半径为r ，则
1||,3||21+=+=r PO r PO ，（２分）2||||21=-PO PO ，点P 的轨迹是以O 1、O 2为焦
点的双曲线右支，a=1,c=2,方程为13
22
=-y x （x>1）……6分
（2）设),(),,(2211y x Q y x P ，直线PQ 的方程为)3(-=x k y
，则
)3,(),3,(),3,3(),3,0(2211k y x k y x k k M +=+==-
由21λλ==得
⎩⎨
⎧==2
21133x x λλ,21212121)
(333x x x x x x m +=+=+=λλ………（A ）8分 由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=13)
3(22
y x x k y 得0936)3(2222=--+-k x k x k ,由x>0 知1x 、2x 是此方程的两个正根，03
3
9,03622212
221>-+=>-=+k k x x k k x x ，…10分
得32
>k ,)2,5
9
(132213632222121∈+-=+=+=k k k x x x x m ……………13分
21.证明（1）令1sin sin sin 1)()(2-+++=-=
x x x x f x g n n n ⎥⎦
⎤
⎝⎛∈2,6ππx
当n=1时，0)2
(
1=π
g …………1分
当n>1时，01)2
(
>-=n g n π
，……2分
021
12111212121)6(2<-=--=-+++=n n n n g π……4分
又0cos sin cos sin 2cos )(1>+++='-x x n x x x x g n n ，
)2
,6(ππ∈x )2
,6()(π
π∈x x g n 在内是增函数，
所以方程0)(=x g n 即
1)(=x f n 在⎥⎦
⎤
⎝⎛2,6ππ内有且只有一个实数根……6分
（2）设1x 是1)(1=x f 的根，即sinx 1=1则2
1π
=
x
2x 是方程1sin sin 2=+x x 的根，则)2
,6(2π
π∈x
设n x 是方程
1)(=x f n 的根，即0)(=n n x g ，1-n x 是0)(1=-x g n 的根，
)(0sin 1sin sin sin )(111211n n n n n n n n n n x g x x x x x g =>=-++=-----
又)2
,6(
)(π
π∈x x g n 在是增函数， 所以
2
6
1π
π
<
<<-n n x x 即}{n x 是单调递减且有下界……10分
设l x n n =∞
→lim
由n
n n n n n
n n x x x x x x sin 1)
sin 1(sin sin sin sin 12
--=+++=
两边取极限，注意到0sin lim
=∞
→n n n x
l l sin 1sin 1-=
解得⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=2,6,21sin ππl l ，
所以6
lim π
=
=∞
→n n x l …………14分。