复变函数与积分变换第一章(1).

第一章复数与复变函数
本章讨论复数的概念，相关的运算，几何表示;
复变函数的概念。

第一节复数及其代数运算本节给出复数的概念，以及相应的运算。

1.1.复数在平面上的几何表示
1.1.1复数的概念
Z = AT-Fiy 其中，兀』为实数，，为虚单位，I 2
=-1 实部：Re(z) = X 虚部：Im(z) = y
(real part) (imaginary part) 注：与实数不同，一般虬 任意两个复数不能匕较大小. 例：2 + 2T>l, l+iv3 + 4d, —lvzvl 的！
1.1.2 复数的平面几何表示
(1)点表示(复平面表示)
x 轴—实轴 y 轴—虚轴平面—复平面(z 平面) 平面内横坐标为兀, 纵坐标为y 的点
.----- 对应 —对应
?=兀+巧 < ----- 实数对(乂」)<——>
⑵•向量表示
复数z与从原点o至U点Z = x +4y的向量一一对应。

注：(1)平面内起点为Z],终点为乙2的向量2忆2对应的复数
G 一Z]
(2)平面内向量经过平移后，对应的复数是不变的。

J长度 ------------- 濮"斑・
[方向-------------- 角I复数-my
复数的模:称向量嬴的长度厲为复如的模,
£己作|z
性质：（l）z < x + y x < Zy y < z
(2) |z2 - Z||的几何意义:
TS -Z］对应着向量牛2 ______________
O
/• 1^1 ~Z2|表示悬1与Z2间的距离。

Z2
例：方程|z-l+i =10表示
平面内以点为圆心，半径为10的圆周
以实轴的正向为始边，以向量云为终边的角的弧度笏称为复魏:的辐角记作Argz （argument:辐角，变元）Argz有无穷多个值，每两个值相差2兀的整数倍。

辐角主值：满足条件-兀＜&0＜兀的辐角気记作arg Z
注：Argz = argz + Ikn (k = 0,±l,+2,…)
给定复数z的辐角，辐角主值的算
a.确定复数z = x + iy所处复平面的象限及对应的向量;
b.从图形上确定circtg— e argz G (-兀，创
x 2 2
及二者的关系；得到argz;
c.辐角Argz = argz 2kn (k =0,±l,...).
例：求复数=2-2i,z? =-1 +孙的辐角，辐角主值。

一2
arg 。

=arctg~Y
Arg = arg + Ikn 兀
= ------ F 2k7T 、k = 0, 土 1,2 Argz 2 = argz? +2/:” =—龙+2R;r,R=0, 土 1,.・. 3
arg Z 2=TT - arctg 2
=3
例：求1 + V3Z 的三角表达式，指数表达式
解： 1 + 巧片=2 arg(l + V3i)=—
三角表示式： 1 + yfii = 2[cos (扌)+ i sin(彳)]
亠
L i(5)
指数表示式：1 +后=直3⑶三角表示式 z = r(cos & +, sin &)
Z = x+iy
其中，r = \z\ = y[x 2
+ y~ 9 二
&只要取辐角值之一即可 但通常取作辐角主值irg Z ⑷指数表示式 z = re iO
X
1. 2复数的运算
设z,=匕+砂]z2=x2-^iy2，定义运算如下：
加法：Z[ +S =（Xj +尤2片「（丿| + J2）
减法：乙\一5 =（x}-x2）+i （J, -J2）
乘法：Zj -Z2 =（七兀2 一，」2）+，（斗力+尤2刃）
蜃津.£L = 3 +00（兀2 -砂2）_兀七+丿』2 + i心卩一斗力床S （尢2 +砂2）（兀2 — 5）兀；+加迟+ y}
复数的运算满足实数运算的一般规律（交换律，结合律,分配律）
•共辄运算：复数z = x +莎的共辄复数：z = x-iy
性质：(1) z x±z2=z x± z2
z{z2 = z(S H 0)
z ・z = Z
Re(z) = ±> lm(z) = —
2 2i
11-2Z (2-ZX-5Z)
~25 5i(-5r)
16 8 .
------ 1 ------ 1
25 25 64 125
问题的提出“复数的乘法，除法的再讨论
是否可以找到一种“简单”的运算规则满足：有
效的给出运算前后复数的“数字特征…模，辐角”的 变化？是否可以将乘除法运算进行推广？
预备知识：
cos(a + 0) =costzcos 0 -sinasin0
sin(a + 0) =cosasin0 + sinacos p 例 解: 设“一 3 — 4, "2 +厂 、一5(,
求Rc z, Im 乙 衣 (1 - 2/)(3+ 4i) 2 + i 11-2/ 2-1 7 = -------------------- — - (3-4/)(3+ 4Z)手= sT 8 ..16 8
1. 2.1两个复数的乘法：
Z]=打(cos &] +1 sin G= r, (cos ① + i sin & J
Z| z?=(巧匚cos&| cos8? —r x r2 sin。

sin&r)
+ T(巧厂2 cos& sin 0 十打：sin 6、cos&J =打A*?[cos(&| +0) + 2 sin( &| + g)]
结论[P3-(l. 2)] (1) |Z]・ Z2I = Z 闰，
(2)Arg(z,z2) = Argz^Argz..
注：等式⑵的理解- -所表示的辐角的全体或辐角的集合相同，即左端集合中的一个元素总可在右端集合中找到，反之亦成立。

类似地，可分析两个复数的除法运算：
Z| =・(cos&] +Zsinq) z2= r2{cos02 +zsin^2)
—=—[cos(^ —&2)+，sin(&] —%)]
S r2
(2)Arg(^~) = Argz-Argz2-
(l + i)(2-i)(3-i) ~(3 + 0(2 +。

~ 解：
-_|(l+f)(2-i)(3-i)| z |(3 + /)(2 + /)|
1. 2. 2 复数的舉运算
两个复数乘法乙1玄2的特殊情况：
Z| =乙2 =Z =F (cos0 + ,sin0), 贝收2
=z, -z 2 =k (cos2& + ,sin2&)
推广(舉运算)：若z=“cos& + isin&), 则 z" = r w
(cos + i sin 注：⑴此公式对于任意整数n 都成立。

(2)特别地，当厂=1时，
(cos0 + isin &)" = cosn +1 sin nd ......... 棣莫弗公式
思考题: 已知Z = ? argz ?
例：有鮭(cos50 + isin5&) 从比血立复数的指数表下式？
(cos3^-isin36>)10
解：(cos 50+ i sin5^)7(cos 50 + /sin50)7 (cos 30-i sin3^)l(, (cos(-30) + i sin(-30))"
_ cos350 + isin350
一cos(—3O&) + isin(—3O0)
=cos 65& + i sin65&
=严&
例：将cos3础U用cos&, s in &表示
解：cos3& = Re[cos3& + Zsin3&]
cos3& + i sin 30 =(cos0 + i sin &)'
=工；/(cos 刖(i sin 0 严
=cos33cos^sin2 ^ + /(3cos2 &sin& —sin' 0) /. cos3& = cos3 & —3cos&sin2 3
思考题：将cos〃％q用cosGsin &孰示2
1. 2. 3复数的方根
称满足方程 w H
=z （）v 0,n > 2）的复数w 为z 的〃次根,
乍己作哌或Z”。

i^z = r(cos0 +1 sin 0). w = p(cos0十Fsin0)
贝 U w" = p n (cos 刃 0 + i s in /2 (p)
:.Q " COS n (p — r cos0, p" sin n^)= r sin 0
・・.p = Vr cos”© = cos sin n (p = sin& 咒0 = 0+2A:如 A: =(X 土 1，土 2,・・.
“厂“厂/ & + 2k 兀・・e + 2k 兀
k = n + \9
其中，k =0,1.2 ....... //-I 〃个根均匀分布在以原点
壯2（〃二側 牡2（三
1）兀
& + 2〃 兀..& + 2〃
=Vz = Vr (cos ------- +1 sin -------- )
n it
伙=0丄2,3)
即 Wo==V2(cos —+ ^in 9兀 W 产 V5(cos 五+
isin 16
17兀..17兀 w 2 = V2(cos ------ zsin ------- ) 16 16 些=迈(cos^^ + dsin^^) 16 16
四个根是内接于中心在原点，半径为2】/8 的圆的正方形的四个顶点.
例：计算vnj
解：因为仆皿（cos”s 吟
所以
t/1 + i = V2 (cos ——— 4 + ,si 七
71 • 9〃) y
X
思考:
以方程才=7-V15Z的根的对应点为顶点、的
多边形的面积？
1. 3复球面及无穷大对复平面内任一点、Z,用直
线将2与"相连，与球面相
交于/＞点，则球面上除N点
外
的所有点和复平面上的所有
注：区别于实数域中的正无穷，负无穷. 无穷远点©无限远离原点的所有点
扩充复平面一-复平面引进一个“理想点”:无穷远点
OO
约定：
a00
纟=OC(GH O),— = 0(° “)，一= S(心 s)
0 oo CI
a ・ 00 = 00 ・ ° = co(a H 0)
Q±8 = OO±Q = OO(d H OO)
1•熟练掌握:复数的几种代数表达形式间的相互转化.
z — x-\-iy z =r（cos^-+-i sin 0） z =re10
2•熟练掌握:计算复数的模，辐角，辐角主值•复数的乘法, 除法，幕运算，方扌艮运算（复数的n次方根有n个不同取值）
3•理解：无穷远点（与实数情形的区别）.。