第1讲 三角函数的图象与性质

第1讲 三角函数的图象与性质

高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝2

3，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255

D.1

解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝30

6，sin α＝±66，得|tan α|＝55

. 由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

a －

b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 B

2.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4，π2单调递增的是( )

A.f (x )＝|cos 2x |

B.f (x )＝|sin 2x |

C.f (x )＝cos|x |

D.f (x )＝sin|x |

解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π

2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以

2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A

3.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π

4 B.π2 C.3π4

D.π

解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，

则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π

4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π

4，a ≤3π

4，

解得a ≤π

4. 所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4. 答案 A

4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________. 解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x

＝－cos 2x －3cos x

＝－2cos 2x －3cos x ＋1 ＝－2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫cos x ＋342＋178，

因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－4. 答案 －4

考 点 整 合

1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin x

y ＝cos x

y ＝tan x

图象

递增区间 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛

⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π

2 x ＝k π 周期性

2π

2π

π

(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；

当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π

2(k ∈Z )时为奇函数；

当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

热点一 三角函数的定义与同角关系式

【例1】 (1)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵

(是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )

A.AB ︵

B.CD ︵

C.EF ︵

D.GH ︵

(2)(2019·长郡中学调研)已知由射线y ＝43x (x ≥0)逆时针旋转到射线y ＝－5

12x (x ≤0)的位置，两条射线所成的角为θ，则cos θ＝( )

A.－1665

B.1665

C.－5665

D.5665

解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得y

x <x <y ，所以－1<x <0，0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. (2)设y ＝4

3x (x ≥0)的倾斜角为α， 则sin α＝45，cos α＝3

5，

设射线y ＝－512x (x ≤0)的倾斜角为β，则sin β＝513，cos β＝－12

13. ∴cos θ＝cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－16

65. 答案 (1)C (2)A

探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.

2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

【训练1】 (1)(2019·济南质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π

3，cos 5π3，则sin (π＋α)等于( ) A.－32 B.－12 C.12

D.32