函数的周期性与图象对称性

4.对称性与周期性的关系 ①一般地:若x=a,x=b(a≠b)是函数f(x)的两条对称轴,
则f(x)为周期函数且2|a-b|为它的一个周期. ②一般地:若(a,0),(b,0)(a≠b)是函数f(x)的两个对称中心,
则f(x)为周期函数且2|a-b|为它的一个周期. ③一般地: 若x=a和(b,0)(a≠b)分别是函数f(x)的一条对 称轴和一个对称中心,则f(x)为周期函数且4|a-b|为它的
＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.
【答案】 C 思维启迪 紧紧抓住题目的条件关系——奇偶性与周期性， 这是解题的关键，并注意体会本题中转化化归思想的运用。
【练习】设奇函数f(x)的定义域为R且f(x+2)=f(-x),
当x∈[4,6]时f(x)=2x+1,
①求f(x)在区间[-2,0]上的解析式.
函数的周期性与图象对称性
1．函数的周期性 对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x 取定义域内的 任意一个值 时，有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就把函数y＝f(x)叫周期函数， 如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，把这个 都成立
最小的正数叫 最小正周期 ．若T是函数y＝f(x)的一个周
009)的值，只需转化到已知的区间[0,2)上，利用函数的周期性 和奇偶性，问题可解． 【解】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－2 008)＝f(2 008)， 当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，则f(2 009)＝f(1)．
又x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1) 因此f(－2 008)＋f(2 009)＝f(2 008)＋f(1)
∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)由f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…
＝f(2 004)＋f(2 005)＋f(2 006)＋f(2 007)．
又x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，且f(3)＝f(－1)．
②求f(2011)的值.
∵f(x)是奇函数，∴f(3)＝－f(1)＝－1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0， 又f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝1， f(2 010)＝f(2)＝0.
因此f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＋f(2 009)
＋f(2 010)＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＝1.
【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R， 恒有f(x＋2)＝－f(x)，且当Байду номын сангаас∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)．
【证明】
(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
期，则nT(n∈Z)也是f(x)的 周期 ． 注意：定义域两头都是无界
探讨：
若函数 y f ( x) 满足如下关系，证明这些 函数是否是周期函数，研究它们的周期.
(1) f ( x T ) f ( x)
1 1 (2) f ( x T ) 或f ( x T ) f ( x) f ( x)
3.函数图像的轴对称：
若f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图象关于直线
(a x) (a x) 对称。 x 2 【例2】已知 x 是函数 y sin x a cos x
4
的对称轴,求a的值. 【练习1】若函数y=log2|ax-1|的图象关于直线x=2对称, 求非零实数a的值. 【练习2】已知对一切x都有f(x)=f(2-x)且方程f(x)=0有 2011个不同的根，求这2011个根的和.
2.函数图像的中心对称：
若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)的图象关于点
A(
(a x) (a x) 2
, b) 对称
2x 1 【例1】求函数 y 图像的对称中心. x2
ax b (c 0) 小结：一般地，函数 y cx d
的对称中心为:__________.
一个周期.
(结论不需记，以三角函数y=sinx为模型加以理解)
【例4】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数， 若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)
＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为(
A．－2 B．－1 C．1 D． 2
)
点拨
当x∈[0,2)时，f(x)已知，欲求f(－2 008)＋f(2