第三章答案_自动控制原理_金城练习册

第三章 时域分析法习题
3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假定温度计为一阶系统，试求时间常数T 。

如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以min /C 10︒的速度线性变化，求温度计的误差。

解：min 25.0min 14=⇒=T T 传递函数1
25.01
)(+=
Φs s
t
t r 10)(=
425
.025.01)125.0(10)()()(2
2++-=+=
⋅Φ=s s s
s s s R s s C t
e t t c 45.25.210)(-+-=C t c t r t e e s s ss ︒=-==∞
→∞
→5.2)()(lim )(lim
3-4 单位负反馈系统的开环传递函数为)
1(1
)(+=
s s s G ，求该系统的上升时间r t 、峰
值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。

解：1
1
)(2
++=
Φs s s 12=n ξω,12
=n ω.3
arccos ,5.0,1π
ξβξω=
===⇒n 。

%16%100%,63.31,42.212
1/
2
2
=⨯==-=
=--=
--ξπξσξ
ωπξ
ωβπe t t n p n r
%)2(84
%),5(63
=∆==
=∆==
n
s n
s t t ξωξω
3-6 系统的单位阶跃响应为t t
e e
t c 10602.12.01)(---+=，试求：
(1) 系统的闭环传递函数；
(2) 系统的阻尼比ξ和无阻尼自然振荡频率n ω。

解：(1)s
s R s s s s C 1
)(,102.1602.01)(=+-++=
600
70600
)(2
++=
Φs s s (2) 702=n ξω,6002
=n ω.43.1,5.24==⇒ξωn
3-7 设单位负反馈二阶系统的单
位阶跃响应曲线如图所示， 试确定其开环传递函数。

解：
)13.1(%100%2
1/-=⨯=--ξ
πξσe
6.33,356.01.012
==⇒=-=
n n p t ωξξ
ωπ
)
9.23(1
.1129)2()(2+=
+=s s s s s G n n ξωω 3-8 单位负反馈系统的开环传递函数)
1()(+=
Ts s K
s G 。

当)()(t t r ε=时，系统的动
态性能指标%30%≤σ，%)5(3.0=∆≤s t s ，试选择参数K 及T 值。

解：
T
K s T s T K
K
s Ts K s +
+=
++=Φ1)(22 TK
T K T
K
T n n n 21
,,122=
=⇒==
ξωωξω 3.06,356.021%30%≤=≥⇒
≤T t TK
s σ5.39,05.0≤≤⇒K T
3-11 闭环系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。

（1）01009202
3
=+++s s s （2）02009202
3
=+++s s s （3）05161882
3
4
=++++s s s s （4）012362
3
4
5
=+++++s s s s s (1) Routh ：s 3 1 9 s 2 20 100 s 1 4 s 0
100 第一列同号，所以系统稳定。

(2) Routh ：s 3 1 9 s 2 20 200 s 1 -1 s 0
200 第一列变号，所以系统不稳定。

(3) Routh ：s 4 1 18 5
s 3 8 16
s 2 16 5 s 1 216 s 0
5 第一列同号，所以系统稳定。

(4) Routh ：s 5 1 3 1
s 4 6 2 1
s 3 16 5
s 2 2 1 s 1 -6
s 0 1 第一列变号，所以系统不稳定。

3-12 单位负反馈系统的开环传递函数
)
10)(4()(++=s s s K
s G (1) 试确定系统稳定时的K 值范围； (2) 确定使闭环极点的实部不大于-1的K 值范围。

解：(1)系统特征方程：040142
3
=+++K s s s
Routh ： s 3 1 40 s 2 14 K s 1 560-K s 0 K
系统稳定，560-K>0,K>0所以：0<K<560
(2)将11-=s s 代入特征方程，得：027151112
13
1=-+++K s s s
Routh ： s 3 1 15 s 2 11 K-27 s 1 192-K
s 0 K-27 192-K>0,K-27>0所以：27<K<192
3-13 系统结构如图所示，确定系统稳定时τ的取值范围。

解：
开环传递函数：)
101()
1(10)(2τ+++=
s s s s G
特征方程：01010)101(23=++++s s s τ
Routh ： s 3 1 10 s 2 τ101+ 10 s 1 τ10 s 0 10 系统稳定，010>τ，即0>τ
3-16 单位反馈控制系统的开环传递函数如下。

试求各系统的静态位置误差系数p K 、
速度误差系数v K 和加速度误差系数a K ，并确定当输入信号分别为
2 ,2 ),()(t t t t r ε=和221t t ++时系统的稳态误差ss e 。

(1) )12.0)(11.0(20)(++=
s s s G (2) )
10)(2(200
)(++=s s s s G
解：(1)0)(lim ,0)(lim ,20)(lim 2
======→→→s G s K s s G K s G K s a s v s p
∞====+=
=ss p ss e t t r t t r K e t t r 时，型系统，2)(,2)(;21
1
11),()(0ε
∞=++=ss e t t t r 时，221)(
(2)0)(lim ,10)(lim ,)(lim 2
====∞==→→→s G s K s s G K s G K s a s v s p
I 型系统 ∞======+=
=ss v
ss p ss e t t r K V
e t t r K e t t r 时，2)(,2.0,2)(;011),()(ε
∞=++=ss e t t t r 时，221)(
(3) )104()12(10)(22+++=
s s s s s G (4) )
2)(12()
13(5)(2+++=
s s s s s G (3)1)(lim ,)(lim ,)(lim 2
==∞==∞==→→→s G s K s s G K s G K s a s v s p
II 型系统
2)(,0,2)(;011),()(2=======+=
=a
ss v ss p ss K A
e t t r K V e t t r K e t t r 时，ε
221)(2=++=ss e t t t r 时，
(4)由劳斯判据知系统不稳定，故不存在稳态误差。

3-17 闭环系统的结构如图所示。

(1) 当s
s R 1
)(=
，超调量%20%=σ， 调整时间%)5(8.1=∆=s t s 时， 试确定参数1K 和τ的值；
(2) 当输入信号分别为 ,)( ),()(t t r t t r =ε=2
2
1)(t t r =时，求系统的稳态误差。

解：
(1)系统开环传递函数)()(11τK s s K s G +=
闭环传递函数1
121
)(K s K s K s ++=Φτ
65.38.13
,456.0%20%100%2
1/
=⇒==
=⇒=⨯=--n n
s t e ωξωξσξπξ
25.04.13,33.322
11=⇒====τωξωτn n K K
(2)系统为I 型系统，)
29.3(7
.13)(+=
s s s G
开环增益为16.429
.37
.13==
K ∞====
===ss e t t r t t r t t r ,2
1
)(,24.016.41e ,)(,0e ,)()(2ss ss 时时时ε 3-18 系统结构如图所示，试确定
使阻尼比7.0=ξ和单位斜坡函数 输入时稳态误差25.0=ss e 的参数
K 和τ的取值。

解：
)
K 2(K
)(τ++=
s s s G
25.02212)(=+=+=
+=K K
K
K e K
K
t t r ss τττ，时，开环增益为： K K n n τξωω+==22,186.0,36.31==⇒τK
3-19 系统结构如图所示，其中)()()()(21t t d t d t r ε===。

试求：
(1) 在)(t r 作用下系统的稳态误差；
(2) 在)(1t d 和)(2t d 同时作用下系统的稳态误差； (3) 在)(1t d 作用下，且s K K s G p +=)(1和Js
s F 1)(=时，系统的稳态误差。

解：
(1)r(t)作用时，令
0)()(21==t d t d
)()(11)(s F s G s er +=
Φ，s s R 1)(=，则))
()(1(1
)()()(s F s G s s R s s E er +=Φ=
)
0()0(11
)(lim 0
F G s sE e s ss +=
=→
(2) )(),(21t d t d 作用时，令0)(=t r
)()(1)()(1s F s G s F s ed +-=
Φ，)
()(11
)(1s F s G s ed +-=Φ
))
()(1()
(1))()()()(()(2211s F s G s s F s D s s D s s E ed ed +--=
Φ+Φ=
)
0()0(1)
0(1)(lim 0
F G F s sE e s ss ++-
==→
(3)01
)
(11lim )()(lim )(lim 01100=++-
=Φ==→→→Js
s K K Js s D s s s sE e p s ed s s ss
3-20 图示复合控制系统中bs as s G c +=2)(，)
102.0)(11.0(10
)(++=
s s s s G ，
试选择a 和b 的值，使系统由I 型系统的无差度提高为III 型系统的无差度。

解：
10
)102.0)(11.0(1010)102.0)(11.0()(1)()(1)(2+++--++=
+-=Φs s s bs
as s s s s G s G s G s c er 要想系统误差度为III 型系统无差度，则需要当31
)(s
s R =
时，稳态误差零。

10
)102.0)(11.0(101012.0002.01lim )()(lim 223200+++--++⋅
=Φ=→→s s s bs
as s s s s s s sR e s er s ss 令0101,01012.0=-=-b a 得1.0,012.0==b a
3-21 系统结构如图(a)所示，
(1) 若)(,1)()(,0)(,1
)(3212
s G s G s G s D s s R ====
为一阶环节，输出响应曲线如图(b)所示，求)(3s G ； (2)
若
s
s G s s G s K s G t t d t t r 25
.0)(,18)(,12.0)(),(2)(,)(321=+=+=
ε-==，试
求当1=K 和5=K 时系统的稳态误差。

(a)
(b)
解：（1）设系统闭环传递函数为1)(+=ΦTs K s ，由输出响应曲线知，。

T
t TKe TK Kt t c Ts s K s C /2)()
1()(-+-=⇒+⋅= 由输出曲线知斜率为1，故K=1；8)]()([lim ==-=∞→T t r t c e t ss 。

s s G 81)(3=
（2）系统开环传递函数为)
1)(12.0(2)(++=s s s K
s G ， 特征方程：010562
3=+++K s s s ，根据劳斯判据知系统稳定的K 值范围为：
0<K<3。

所以当K=5时，系统不稳定。

当K=1时，)
1)(12.0(2
)(++=s s s s G ，系统为I 型系统，开环增益为2。

当t t r =)(时，21==
K v e ssr . 10
5610
2)(1)()()(2
332++++-=+-=Φs s s s s G s G s G s ed
2)10
5610
2()2(lim )()(lim )(lim 23000=++++-⋅-⋅=Φ==→→→s s s s s s s s sD s sE e s s d s ssd
所以，系统稳态误差为：5.2=+=ssd ssr ss e e e。