复习课(二) 随机变量及其分布

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解：(1)记事件 A 为“甲、乙 2 人一次竞猜成功”， 则 P(A)＝2CC12＋16·C416C31＝49， 设 3 次竞猜中，竞猜成功的次数为 X，则 X～B3，49， 则甲、乙 2 人获奖的概率为 P＝1－C03490593－C13491592＝370249.
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P(AB)＝P( A )P( B )．
2．若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则有 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 3．在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数为 X，在每 次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
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[解] 记事件 A：第一次取出的是红球； 事件 B：第二 次取出的是红球．
(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个， 所 有基本事件共 6×5 个； 第一次取出的是红球， 第二次是其 余 5 个球中的任一个， 符合条件的有 4×5 个，
所以 P(A)＝46× ×55＝23.
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复习课(二) 随机变量及其分布
条件概率
1．在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选 择题或填空题形式考查，难度中低档．
2．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概 率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．
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[考点精要] 条件概率的性质 (1)非负性：0≤P(B|A)≤1. (2)可加性：如果是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋ P(C|A)．
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[典例] 口袋中有 2 个白球和 4 个红球， 现从中随机地 不放回连续抽取两次， 每次抽取 1 个， 则：
(1)第一次取出的是红球的概率是多少？ (2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？ (3)在第一次取出红球的条件下， 第二次取出的是红球的概 率是多少？
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(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个， 所有基本事件共 6×5 个；第一次和第二次都取出的是红 球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有 4×3 个，所以 P(AB)＝46× ×35＝25.
(3)利用条件概率的计算公式，
2 可得 P(B|A)＝PPAAB＝52＝35.
2．已知男人中有 5%患色盲，女人中有 0.25%患色盲，从 100 个男 人和 100 个女人中任选一人． (1)求此人患色盲的概率． (2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成 最简分式形式)．
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解：设“任选一人是男人”为事件 A，“任选一人是女 人”为事件 B，“任选一人是色盲”为事件 C. (1)此人患色盲的概率 P＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝120000×1500＋120000×01.0205＝82010. (2)由(1)得 P(AC)＝2050，又因为 P(C)＝82010，
0.35＝0.55.
答案：0 0.55
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2．甲、乙 2 人玩猜数字游戏，规则如下： ①连续竞猜 3 次，每次相互独立； ②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为 a，再由乙猜甲写的数 字，记为 b，已知 a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜 成功； ③在 3 次竞猜中，至少有 2 次竞猜成功，则两人获奖． (1)求甲、乙 2 人玩此游戏获奖的概率； (2)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏，这 6 人中有且仅 有 2 对双胞胎，记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X，求 X 的 分布列和数学期望．
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4．二项分布满足的条件 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下 几个方面判定： (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数．
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[考点精要] (1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再 按期望与方差的计算公式计算． (2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分 布、超几何分布)． (3)注意期望与方差的性质． (4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表 达．
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解析：设“甲解出这道题目”为事件 A，“乙解出这道题目”为事件
B，则 P(A)＝13，P(B)＝14，P( A )＝23，P( B )＝34.则“恰有 1 人解出这道
题目”为事件 A B ＋ A B，所以 P(A B ＋ A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
＝13×34＋23×14＝152.“这道题被解出”为事件 C，所以 P(C)＝1－P( A
B )＝1－P( A )P( B )＝1－23×34＝12.
答案：152
1 2
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离散型随机变量的期望与方差
结束
1．离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的 特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考 的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中高档．
2．期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实 际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用 两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方 差的线性性质，如 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
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[题组训练]
1．把一枚骰子连续抛两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情
况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )
A．1
B．12
C．13
D．14
解析：设事件 A：第一次抛出的是偶数点，B：第二次抛出的
是偶数点，
则 P(B|A)＝PPAAB＝12×1 12＝12.
答案：B
2
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P＝1－P( A ·B )＝1－P( A )P( B )＝1－0.2×0.3＝0.94. 答案：C
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2．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙
解
出
这
道
题
目的
概
率
是
1 4
，
则
恰
有
1
人解出这道题目的概率是
________，这道题被解出的概率是________．
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(2)由题意可知，6 人中选取 4 人，双胞胎的对数 X 的取值
为 0，1，2，
则 P(X＝0)＝C12·CC4612·C22＝145，P(X＝1)＝C12C22CC12C64 12＋C22＝23， P(X＝2)＝CC22C64 22＝115. 所以 X 的分布列为
X0 1 2
P
4 15
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[典例] 中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即 先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队 获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相 独立，现已赛完两场，乙队以 2∶0 暂时领先．
(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率； (2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
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[题组训练]
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1．随机变量 η 的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则 x＝________，P(η≤3)＝________.
解析：由分布列的性质得 0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得 x＝0.故 P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋
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(2)随机变量 X 可能的取值为 4，5，6，7，
P(X＝4)＝132＝19；P(X＝5)＝C12×13×23×13＝247； P(X＝6)＝C13×13×232×13＋234＝2881； P(X＝7)＝C14×13×233＝3821. 所以 X 的分布列为
X4 5 6 7
P
1 9
5 所以 P(A|C)＝PPACC＝22010＝2201.
800
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相互独立事件的概率与二项分布
1．相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行 考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难度中低档. 而二 项分布也是高考考查的重点，高考以大题为主，有时也以选择、 填空题形式考查．
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[题组训练]
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1．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为 0.8 和 0.7，
若各射击一次，则目标被击中的概率是( )
A．0.56
B．0.92
C．0.94
D．0.96
解析： 设事件 A 表示：“甲击中”， 事件 B 表示：“乙击中”． 由题意知 A，B 互相独立．故目标被击中的概率为
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[典例] 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概 率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为170.
(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．
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[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为 A，B，C， 则有 P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝170. (1)∵A，B，C 相互独立， ∴ 恰有一名同学当选的概率为 P(A·B ·C )＋P( A ·B·C )＋P( A ·B ·C) ＝P(A)·P( B )·P( C )＋P( A )·P(B)·P( C )＋P( A )·P( B )·P(C) ＝45×25×130＋15×35×130＋15×25×170＝24570. (2)至多有两人当选的概率为 1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－45×35×170＝18235.
2．解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用 基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公 式求解．
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[考点精要]
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1．若事件 A 与 B 相互独立， 则事件 A 与 B，A 与 B ，A 与
B 分别相互独立，且有 P( A B)＝P( A )P(B)，P(A B )＝P(A)P( B )，
3
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[类题通法] 条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算 P(A)，P(B)，P(AB)，利用 P(A|B)＝PPABB或 P(B|A)＝PPAAB求解．
(2)缩小样本空间法：利用 P(B|A)＝nnAAB求解． 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
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[类题通法] 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条 件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必 分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A＋B)＝1－P( A B ) ”常应用于求相互独立事 件至少有一个发生的概率．
4 27
28 81
32 81
E(X)＝4×19＋5×247＋6×2881＋7×3821＝48818.
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[类题通法] 求离散型随机变量 X 的期望与方差的步骤
(1)理解 X 的意义，写出 X 可能的全部取值； (2)求 X 取每个值的概率或求出函数 P(X＝k)； (3)写出 X 的分布列； (4)由分布列和期望的定义求出 E(X)； (5)由方差的定义， 求 D(X), 若 X～B(n，p), 则可直接利用 公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
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[解] (1)设甲队获胜为事件 A，则甲队获胜包括甲队以 4∶2 获胜和甲队以 4∶3 获胜两种情况．
设甲队以 4∶2 获胜为事件 A1， 则 P(A1)＝234＝1861， 设甲队以 4∶3 获胜为事件 A2， 则 P(A2)＝C14×13×233×23＝26443， P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝1861＋26443＝211423.
2 3
1 15
E(X)＝0×145＋1×23＋2×115＝45.
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正态分布
1．高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与 性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档．