高考中的抽象函数题归类分析

高考中的抽象函数题归类分析

1. 抽象函数的定义域

例1 （江西文.（3））．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =-的定义域是（ ）

A ．[0,1]

B ．[0,1)

C ． [0,1)

(1,4] D ．(0,1)

解析：因为()f x 的定义域为[0，2]，所以对()g x ，022x ≤≤但1x ≠故[0,1)x ∈。选B 点评 本题着意考查抽象函数的定义域。解题的关键是抽象函数的复合过程。 2. 抽象函数的值域

例 2 (江西理.(3)) 若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1

()F x f x f x =+的值

域是（ ） A ．[

21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，3

10

] 解析：

111()3, 2.23()f x f x ≤≤∴≤≤由基本不等式知1()2,()

f x f x +≥由勾勾函数知1(),()F x f x f x +

（）=当1()=2f x 时，5=2F x （），当()=3f x 时，10

=3

F x （），10

=

3

F x ∴max （）,选B 点评 本题着意考查抽象函数值域求法，这里勾勾函数的适用范围要比均值定理广泛。 3. 抽象函数的函数值

例 3 （陕西理.（11））定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy

+=++（x y ∈R ，），(1)

2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

解析：(3)(1)(2)4,f f f -=-+-+只需求出(1)f -即可，又(1)=2f ，故

(1+1)(1)(f f f -=-+-即(0)=(1)f f -，令0x y ==，可得(0)=0f ，于

是(1)=0(2)=2(1)+2=2.

(f f f f ---∴-，

例 4 （陕西文.（11））定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy

+=++（x y ∈R ，），(1)

2f =，则(2)f -等于（ A ） A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

例 5 （山东文.（4））给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 点评 陕西两个题目着意考查抽象函数的有关运算和性质。考查如何将32--或（）分解是解题的关键，山东题考查幂函数的图像及性质，则()a

f x x =。体现了函数性质的综合应用及四种命题的关系，逆命题与否命题、原命题与逆否命题等价。 4. 抽象函数的反函数

例6 （湖南理.(13）)设函数()y f x =存在反函数-1

()y f x =,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2)，则函数-1

()y f x x =-的图象一定过点 (-1,2) . 解析：

()y x f x =-过点(1,2)，21(1)f ∴=-，即(1)1f =-，

-1()y f x ∴=过点(11).-，-1(1) 1.f ∴-=由1+()y x f x -=可知11(

1)=1y f --=-，y ∴=2.即

-1()y f x x =-过点(-1,2)

点评 本题考查了原函数与反函数的关系及运算，解题的关键是充分把握与理解

()y f x =所过的定点，然后加以转化运用，此是解题的技巧所在。

5. 抽象函数的单调性

例7 （全国Ⅰ理.9 ）设奇函数()f x 在(0)+∞，

上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()

0f x f x x

--<的解集为（ ）

A ．(1

0)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，

C ．(1)(1)-∞-+∞，，

D ．(1

0)(01)-，，

解析：由奇函数()f x 可知

()()2()

0f x f x f x x x

--=<，

而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，

当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，

上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或 故选D 6. 抽象函数的周期性

例8 （四川理.(11)）（文.(9)）定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(99)f =（ ）

（A ）13

（B ）2

（C ）

13

2

（D ）

213

解析：由()(2)13f x f x ⋅+=，知(2)(4)13f x f x +⋅+=，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)

2

f f f f =+⨯===．选C ．

点评 本题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型 7. 抽象函数图像与其导函数图像的整合 例9 （福建文.（11）） 如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数y=f (x )的图象可能是（ A ）

解析：由函数的图像可知单调性为增、减、增、减，故导函数的图像呈正、负、正、负 例10 （福建·理(12)）已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ D ）

解析：从两函数的斜率入手，其易错点为导函数图像有交点误认为函数图像有公共点，从而误选A 。

点评 两题着意考查抽象函数的单调性与导函数图像的关系，考查学生识图用图的能力，对导函数的图像变化，导数的几何意义，认识是部分学生的易错点。 8. 抽象函数的奇偶性与单调性的整合

例11 (安徽理．（11））若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足

()()x f x g x e -=，则有（ ）

A ．(2)(3)(0)f f g <<

B ．(0)(3)(2)g f f <<

C ．(2)(0)(3)f g f <<

D ．(0)(2)(3)g f f <<

解析：函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，有()=(),()()f x f x g x g x ---=.

又知()()x

f x

g x e -=，有()()x

f x

g x e ----=，即()f x -()g x -.x e -=

+()2x x e e g x -∴=-，()=2x x e e f x --，则(0)=1g -，22(2)=2

e e

f --，