2021考研数学大纲解析之线性代数

2021考研数学大纲解析之线性代数
2021年8月26日教育部考试中心发布了2021年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲。

对比2021年和2021年的考研大纲，可以这两年的大纲基本上，没有发生任何变化。

其实，考研数学作为考研科目中最稳定的一门，基本上不存在大的调整，所以我们完全可以预测今年的考试风格难易以及重点等等会和以往保持一致。

根据考生的学习特点以及考研数学对考生的要求，全年的复习应该分为四个阶段，分别为：基础阶段、强化阶段、提高阶段以及最后的冲刺模考阶段。

我们接下来，具体分析一下，每个阶段考生的学习重点以及时间规划。

首先，是基础阶段。

基础阶段的复习，应该尽早开始复习。

对于2021年的考生来说，最晚开始复习数学的时间不能晚于看到这篇文章的时间，一直到什么时候结束呢?一般来说，要到明年的6月底。

这是时间安排，基础阶段的复习重点就是针对考研的“三基”：基本概念、基本理论以及基本方法。

以行列式的学习为例，在基础阶段，考生首先要能够理解行列式的基本概念，行列式指的是不同行不同列元素n项乘积的代数和。

其中，“代数”指的是“有符号”，符号的正负取决于列排列的逆序数，当逆序数为奇数时，符号为负;逆序数为偶数时，符号为正。

这一点，考生要明白。

而且，在算列排列的逆序数时，必须得保证行排列是按照自然顺序排列的。

对于基本理论，
指的是考生要能够掌握行列式的性质和展开定理。

对于性质，考生要掌握以下几条：交换行与列，行列式的值不变;交换任意两行，行列式的值变号;将行列式的某一行乘以常数k之后，行列式值变为原来的k倍;某一行所有元素均为两个数之和时，行列式可以按照该行拆分。

对于这几条性质，考生首先要记住他们的内容，另外，还要知道，这些性质是对行列式进行变形的。

对于，展开定理，内容是行列式的值等于某一行所有元素与其代数余子式的乘积之和。

在掌握了基本理论后就是掌握基本方法，对于行列式，基本方法就是会计算简单的行列式。

对于能够会利用定义概念来算上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积，能够会计算逆序数，能够通过行列式的性质计算行列式的值。

这就是基础阶段对考生的基本要求，就是能够把每一个知识点踏踏实实的过一遍。

在基础阶段的做题上面，大家最好不要着急，好多同学在复习基础阶段的时候会做一个真题，这一点千万不要，因为真题的难度和综合度是你目前水平远不能及的，这样的后果只会打击信心。

考生只需做课本上面的例题和一部分难度较大的习题即可。

对于学生来说，你们会分发讲义以及与讲义完全配套的习题，大家把这两部分的题目做好就可以了。

从开始复习到现在这个时间段，线性代数这个学科全年复习即将进入第三个阶段-提高阶段，时间规划是每年的10月到11月，前后历时两个月。

其中，整个提高阶段的核心任务是培养广大考生的综合能力，所以在这个时间段内，各位考生应该做好进入这个阶段的准备，
也就是将前两个阶段的复习再做进一步的总结与查缺补漏。

下面，我将带着大家着重来看一下线性代数这个学科的重点情况。

在一张考研数学试卷中，线性代数这一学科所占的分值为34分，试题题型和分值分布如下：2道选择题、1道填空题(每道题4分，共12分)、2道解答题(每道题11分左右，共22分)对于数一、数二、数三的考生来说，线性代数都是占34分，而通过强化阶段的学习，我们的目标是至少可以拿到30分。

接下来，我来具体介绍一下，线性代数每个章节在强化阶段的学习重、难点。

总的来说，整个线性代数的课程可以分为六个章节：行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。

我们对近十年的考研数学试卷(包括数学一、数学二和数学三)做了一个统计，得到了每个章节的题量和分值分布如下：(1)行列式。

近十年的试卷中，直接考查行列式的有6道题，共24分。

首先，从题量上看，直接考察行列式的题目出现的频率是比较低的，不是每年都考，但是，行列式与后续各个章节都有紧密联系，所以，更多的是以间接方式考查。

其次，从平均分上看，多以选择或填空题的形式考查。

(2)矩阵。

近十年试卷中，考查矩阵的有19道题，共84分。

从题量上看，矩阵这块是每年必考题，从平均分上看，也是多以选择或填空题的形式考查。

行列式与矩阵对应教材上的前四个模块，这两部分的内容都是以小题为主，这类题目的特点是：计算量不大，重在理解思想方法，所以，在上课的时候，学生应该是以听课为主;但是，与行列式相比，矩阵这一块的考点更多一些。

(3)向量。

近十年来，向量共考了17道题，
占110分。

从平均分上看，从向量开始出现解答题。

而线性代数的解答题有两个特点，一个是比较综合，比如，向量这块的题目可能会综合了行列式、矩阵以及后面的线性方程组、秩的相关知识;另一个是计算量比较大。

所以，在学这一部分的知识时，首先要把基础知识学好，另外，需要动手计算、多练习。

(4)线性方程组，共考了16道题，占135分。

从平均分上看，这部分的题以解答题为主。

而且，线性方程组是线性代数其半部分内容的理论核心，这部分的题目比较综合，而且计算量大。

(5)特征值与特征向量，考了22道题，占192分。

这部分无论是题量还是分值，都是最多的，形式以解答题为主，计算量也是最大的。

(6)二次型，考了14道题，占88分。

这部分考题也是以小题为主，但也会考解答题，特别是最近几年，二次型这块出解答题的可能性越来越大。

通过以上的分析，我们会发现，线性代数的核心就集中在线性方程组、特征值与特征向量这两个章节。

总的来说，我们的线性代数要考高分，关键是解答题，而能出解答题的地方就集中在线性方程组、特征值与特征向量这两个章节，所以，这两个章节应该成为考生学习的重中之重。

接下来，来介绍一下，我们在强化阶段的教学重心。

本阶段的教学与基础阶段有两个不同。

第一，内容很综合。

基础阶段的授课是零基础、零起点的，是按照考生的学习习惯设计的，但是，考研题目是很综合的，所以，强化阶段的授课会打破章节限制，变得很综合。

比如，讲到行列式时，我们会总结出线性代数从第一章到最后一章，所
有用到行列式的考点。

第二，授课形式，以题带点。

基础阶段授课是以基础知识为纲，所有内容都是为做基础知识服务的，而强化阶段，我们的授课重心会放在题上，知识点是为做题服务的，在讲知识时，我们会讲清楚它是怎么用于解题的，目的是训练考生的解题能力。

在做题时，考生应该注意两点：第一，做什么?哪些题该做，哪些题不该做，我们会首先给大家讲清楚，当然我们的答案是基于对历年考研真题的深度解析基础之上的。

作为我们的学员，就不用担心这个问题了，大家只需将我们的教材上的例题以及对应习题集上的题目掌握到位就足够了。

第二，怎么做?考生在强化阶段的需要做的题量是非常大的，在有限的时间内，效率就显得非常重要。

所以，我们会总结出每个模块的常考题型，并且系统总结出对应的基本思路和方法，考生课下再按照老师讲的思路和方法做题，训练即可。

考研数学复习的第三个阶段是提高阶段，时间规划是10月到11月。

在强化阶段之后加上一个提高阶段，是源于两个方面的考虑。

第一是大纲和真题的要求，大纲要求中明确写到要求考生具备的是综合能力，也就是能够跨知识点的应用知识，而从过往三十年真题来分析，没有一个真题是单纯的考察一个知识点的，而只是通过强化阶段直接过渡到冲刺阶段，学生是没有一个明确的总结的，知识点还是散落的，没有成体系，另一个就是九月份强化阶段就结束了，而冲刺阶段一般在十二月才开始呢，那十月份和十一月份考生要做什么呢，其他考研机构往往就会说把之前做过的所有题目再来一遍。

这样，复习的效率
显然是不会太高的。

第二个原因，经过基础阶段和强化阶段的学习之后，很多同学会有这么一种感觉，就是看到一道题目，他会做，但是自己是怎么做出来的都不清楚。

比如求一个行列式，你可能会求，但是求解行列式应该从那几个角度思考，你往往不知道。

这就有很大风险，因为考研真题重复出现的概率是很小的，在考场上万一见到一个新的题目，你可能就蒙了。

但是，有了提高阶段之后，你可以形成一个知识体系，即使在考场上遇到了一个新的题目，你也会清楚有哪些思路，比如说，求行列式只有这几种方法，你就往这几个方向思考，肯定是可以做出来的。

提高阶段顾名思义就是提高你的成绩，那么提高阶段具体做什么呢?对于考生来说，应该从两个方面来提升自己：知识的层面和题的层面。

对于知识层面，考生要学会梳理整个线性代数的知识体系。

在考研数学的三个学科——高等数学、线性代数、概率论与数理统计当中，线性代数的学科体系是最复杂的，经过基础阶段和强化阶段的学习之后，你会发现，线性代数的任意两个知识点都是有联系的，整体构成一个网状结构。

以行列式为例，学完整个线性代数之后，你会发现行列式几乎是无处不在的，比如说，一个矩阵可逆充要条件就是行列式不为零;一个向量组线性无关的充要条件也是行列式不为零，一个线性方程组有唯一解的充要条件也是行列式不为零等。

经过提高阶段的学习，你会对各个知识点之间的联系有一个清楚的认识。

做题层面，提高阶段要做两种题目，一种是做真题。

我们中公考研的提高阶段讲义就是历年真题分类解析，而且，考生在做真题的时
候要分类去做。

通过做真题，可以零距离的感受到考研数学在每一个知识点的考试要求和考试重点以及对考生的能力要求，找到你现在的水平距离考试要求还有多大的差距，找出差距之后，要及时的回到强化阶段去补习。

第二种题，就是错题。

因为，人的思维是有惯性的，你平时做错的题目很可能会成为你考试当中的失分点，所以，我们考生需要把强化阶段做错的题整理出来，反复训练。

对于提高阶段的复习，考生按照这种节奏走就可以了。

2021年的考研数学大纲刚刚出炉，和2021年相比，大纲基本上没有变动，考研数学的三个学科-高等数学、线性代数、概率论与数理统计，各个学科所占的比例不变、考试题型不变、各科难点和重点与往年也相同。

所以说，考生们可以放下心来，按照原定的规划进行复习就可以了。

具体到线性代数这一学科，在复习的时候，每一个模块的重点、难点应该如何把握呢?本文就以实对称矩阵这一模块为例，介绍一下考生在这一个模块的复习重点。

所谓实对称矩阵是指元素全为实数的对称矩阵，实对称矩阵是一种比较特殊的矩阵，主要是因为除了一般矩阵具有的性质之外，实对称矩阵还有着一些特殊的性质，而这些特殊的性质往往会成为考试当中的考点。

具体来说，实对称矩阵有三条特殊的性质：1)实对称矩阵的特征值全为实数，这是与非实对称矩阵的第一个不同之处，因为，
非实对称矩阵的特征值有可能是虚数;2)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交，而非实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量只是线性无关，不一定正交;3)实对阵矩阵有个线性无关的特征向量，即实对称矩阵必可相似对角化，并且存在一个正交矩阵，使得，而非实对称矩阵只有当特征值的重数等于其线性无关的特征向量的个数时，才可相似对角化。

考生在复习这一模块时，把握住两个考点：第一，直接考查实对称矩阵的三条特殊性质。

比如，对于性质1)，考试中，可以利用实对称矩阵的特征值均为实数，来确定特征值的取值情况;对于性质2)，题目中可能会给出实对称矩阵的其中一个或若干个特征值的特征向量，让我们求出另一个特征值的特征向量，这时，我们可以根据属于不同特征值的特征向量正交来求解;对于性质3)，可以从实对称矩阵必可相似对角化来考查大家，由矩阵可相似对角化的充要条件—重特征值必有个线性无关的特征向量可知，对于实对称矩阵的重特征值，有。

实对称矩阵这一块的第二个考点是计算正交相似对角化矩阵。

由于正交矩阵指的是列向量组为单位正交向量组的矩阵，再结合矩阵的相似对角化矩阵的计算方法以及实对称矩阵的性质3)可知，实对称矩阵的正交相似对角化矩阵的具体计算步骤为：1)计算矩阵的所有特征值与属于不同特征值的特征向量;2)将属于同一特征值的特征向量正交化，因为，属于不同特征值的特征向量必正交，所以，我们只需将属于同一个特征值的特征向量正交化即可;正交化时，所用的方法就是施密特正交化方法，对于该方法，大家只需记得前两个公式就可
以了，即，;3)将所有的特征向量单位化。

最后将所得到的列向量组组成一个矩阵，得到的就是矩阵的相似对角化矩阵。

总的来说，实对称矩阵这个模块的题目很综合，而且计算量比较大，所以，需要同学们在做题的时候，要做到细心、有耐心，并且通过多做练习，提高做题的准确度与速度。

从最新公布的2021年考研数学大纲来看，今年的考生不会有任何复习范围的调整之忧，你们完全可以按照自己原来的计划进行复习，那么接下来如何复习就成为考生需要关注的问题。

本文以逆矩阵为例，来介绍一下考生在这一块的复习重点。

首先是概念，逆矩阵这一模块有两个概念：逆矩阵和伴随矩阵。

对于逆矩阵这个概念，考生应该抓住两个关键点：逆矩阵的讨论范围是方阵;必须同时满足。

对于逆矩阵，存在两个核心问题：第一，可逆性的讨论，即，找到矩阵可逆的充要条件;第二，求一个矩阵的逆矩阵。

我们这个模块的内容就是围绕着这两个核心问题展开的。

要回答这两个问题，直接靠定义不好解决，我们可以从定义出发，看可逆矩阵有哪些性质。

逆矩阵的性质有六条：若矩阵可逆，则逆矩阵唯一;若矩阵可逆，则、可逆，且，;若矩阵可逆，且，则可逆，且;若矩阵、均可逆，则也可逆，且;若矩阵、均可逆，则，;若矩阵可逆，则。

对于这六条性质，考生要清楚是用来做什么的。

其中，前五条性质是用来求矩阵的逆矩阵的，第六条性质，有两个用处，可以用于求行列式，也可以得到矩阵可逆的必要条件：。

要找到矩阵可逆的充分条件，需要借助一个工具，就是伴随矩阵。

对于伴随矩阵的概念，考生也要抓住两个关键点：1)伴随矩阵中的元素是代数余子式;2)伴随矩阵中的元素排列顺序：第列的元素是第行元素的代数余子式。

对于伴随矩阵，考生重点掌握两个公式：1);2)。

这两个公式的适用范围不同，其中，当已知矩阵可逆时，使用公式2);若矩阵不可逆，或矩阵是否可逆未知时，使用公式1)。

由公式1)可知，若，则有矩阵可逆，并且。

由此，我们就得到了矩阵可逆的充要条件就是。

与其他章节相结合，我们可以得到该充要条件的其他描述方式：，线性方程组有唯一解，齐次线性方程组仅有零解等。

由矩阵可逆的充要条件出发，我们可以得到如下推论：矩阵为方阵，若存在矩阵，使得或，则矩阵可逆，且。

由此，我们可以总结出，求逆矩阵的方法：1)定义法：只要凑出或，就可得到;2)利用伴随矩阵：，该方法适用于二阶矩阵求逆矩阵;3)初等行变换方法：适用于三阶及三阶以上矩阵求逆矩阵;4)利用逆矩阵的性质。

对于逆矩阵这一模块的学习，考生重点从可逆性讨论以及逆矩阵的计算这两个方面去把握就可以了。