九年级上一元二次方程的解法(不解方程判别根的情况)同步练习含答案
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题(附答案)
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）（1）；（2）；（3）；（4）。
4、一元二次方程根的判别式与其根的关系：综合练习： 1．观察下列方程: ①x2=1 ②3x2=1-x ③x(x-1)= x -1 ④ +2x-5=0 ⑤x2-y-1=0 ⑥x2-(x-3)2=9 其中是一元二次方程的是 . 2.把方程(x-2)(x+3)=5化为一元二次方程一般形式为 .其中二次项系数为 . 一次项系数为 . 常数项为 . 3.关于x的方程（m+2）xn-1-(2m-1)x-3=0,当时,它是一元二次方程,当时,它是一元一次方程. 1、用直接开平方法解方程：⑴x2=9 ⑵3x2=12 ⑶ 1/3 x2-3=0 ⑷ (3x+1)2=1 ⑸(2x-1)2 -9=0 ⑹x2+4x+4=1(7)．x2=16 (8) . 2x2 -6 =0 (9) (x+1)2=4(10) (3x+2)2=4 （11）3(x-1)2=15 （12）x2+6x+9=25能力提升： 1.关于x的方程（n-1）xn2+1-(2n+1)x-3=0,当n= 时,它是一元二次方程 2.解一元二次方程：(1) x2+2x+1=4 （2）x2+2x-3=0一元二次方程及解法（2）配方法步骤：举例说明题组训练： 1、把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式（1）x2+2x=48；（2）x2－4x=12；（3）x2－6x+6=0；（4） 2、完成下列填空：x2+4x+4=(__+__)2 x2-8x+___=(__―__)2 4x2+__x+25=(___+__)2 16 x2+__x+1=(__+__)2 x2+10x+___=(__+__)2 x2-5x+___=(__―__)29x2-__x+25=(___+__)2 9 x2-¬__x+1=(__-__)2 3、用配方法解方程（1）x2-10x-11=0 （2）x2－6x+4= 0 （3）x2+4x－16= 0（4）x2－4x=12；（5）x2－6x=7 （6）x2+8x+2=0（7）x2－4x-5=0 （8） x2+5x+2=0 （9）3x2+2x－5=0（10）2y2+y－6=0 （11）3x2+8x-3=0 (12)-2x2=5x-3一元一次方程及解法（3）求根公式推导过程：（和应用求根公式的步骤）根的判别式与根的关系：跟踪训练：先用根的判别式判断根的情况再求解：（1）x -x-1=0；（2）5x +2=3x2；（3）y -6=5y(4)3t -2t-1=0 (5)4x(x-1)=x -1 （6）x2－6x+4= 0(7)3x +1=2 x （8）2y2+y－5= 0 （9）x2－4x=12；（10）3x2+6x=1 （11）2t2-7t－4=0； (12)x2-x-1=0(13)y2-6=5y (14)3t2-2t-1=0 (15)4x(x-1)=x2-1一元一次方程及解法（4）因式分解法解一元二次方程的原理： 1、填空（1）方程x2=x的解是。
华师大版初中数学九年级上册《22.2 一元二次方程的解法》同步练习卷
华师大新版九年级上学期《22.2 一元二次方程的解法》2019年同步练习卷一．选择题（共27小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100C．2t2﹣7t﹣4＝0化为D．3x2﹣4x﹣2＝0化为3．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15 4．用配方法解一元二次方程2x2﹣6x+1＝0时，此方程配方后可化为（）A．（x﹣）2＝B．2（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．2（x﹣）2＝5．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝6．在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000＝0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（）A．（x+17）2＝70711B．（x+17）2＝71289C．（x﹣17）2＝70711D．（x﹣17）2＝712897．解一元二次方程4x2﹣8x﹣1＝0，配方后正确的是（）A．（2x﹣2）2＝0B．4（x﹣1）2＝5C．（2x﹣2）2＝﹣3D．4（x﹣1）2＝2 8．用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（）A．（3x+1）2＝1B．C．D．9．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（）A．B．C．D．10．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0 11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝12．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝13．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣14．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（）A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣315．一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣516．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（）A．6B．3或7C．3D．717．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或1418．若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对19．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＜1B．m＞1C．m＝1D．m≤120．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠2 21．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2B．k C．k≤且k≠﹣2D．k22．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠1C．0≤k≤D．k≠123．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3D．24．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥325．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．26．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．1527．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2二．填空题（共11小题）28．方程（x﹣5）2＝4的解为．29．一元二次方程（2x+1）2﹣81＝0的根是．30．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是．31．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是．33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是．34．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为．35．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝．36．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝．37．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为．三．解答题（共12小题）39．解方程：（3x+1）2＝6440．解方程：2x2+4x﹣1＝0（用配方法）．41．用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．42．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．43．（1）计算：﹣32﹣（π﹣3.14）0+（tan30°）﹣1﹣2+（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝044．用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．45．（1）计算：（﹣2018）0+|3﹣tan60°|﹣（﹣）﹣2+（2）解方程：x2+4x﹣2＝046．（1）解方程x2+4x﹣2＝0（2）计算tan30°tan60°﹣sin260°+cos245°47．（1）计算：（﹣）（+）﹣2（2）解方程x2﹣4x+5＝048．（1）计算：（5﹣）÷×（2）解方程：x2+3＝2x．49．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根．50．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．华师大新版九年级上学期《22.2 一元二次方程的解法》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣8x+2＝0，x2﹣8x＝﹣2，x2﹣8x+16＝﹣2+16，（x﹣4）2＝14，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100C．2t2﹣7t﹣4＝0化为D．3x2﹣4x﹣2＝0化为【分析】利用配方法对各选项进行判断．【解答】解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；B、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，所以B选项的配方正确；C、2t2﹣7t﹣4＝0先化为t2﹣t＝2，再化为，所以C选项的配方正确；D、3x2﹣4x﹣2＝0先化为x2﹣x＝，再化为（x﹣）2＝，所以D选项的配方正确．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．【解答】解：﹣x2+8x+1＝0，﹣x2+8x＝﹣1，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．4．用配方法解一元二次方程2x2﹣6x+1＝0时，此方程配方后可化为（）A．（x﹣）2＝B．2（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．2（x﹣）2＝【分析】先移项，再将二次项系数化为1后，继而两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：∵2x2﹣6x+1＝0，∴2x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣3x＝﹣，∴x2﹣3x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2﹣y﹣＝0y2﹣y＝y2﹣y+＝1（y﹣）2＝1故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．6．在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000＝0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（）A．（x+17）2＝70711B．（x+17）2＝71289C．（x﹣17）2＝70711D．（x﹣17）2＝71289【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：x2+34x﹣71000＝0x2+34x＝71000x2+34x+172＝71000+172（x+17）2＝71289故选：B．【点评】题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．7．解一元二次方程4x2﹣8x﹣1＝0，配方后正确的是（）A．（2x﹣2）2＝0B．4（x﹣1）2＝5C．（2x﹣2）2＝﹣3D．4（x﹣1）2＝2【分析】先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程的右边，进行把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可．【解答】解：4x2﹣8x﹣1＝0，4x2﹣8x＝1，4（x2﹣2x+1）＝5，4（x﹣1）2＝5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．8．用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（）A．（3x+1）2＝1B．C．D．【分析】先把常数项移到方程右侧，两边除以2，然后方程两边加上，再把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2+x＝，x2+x+＝+，（x+）2＝．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（）A．B．C．D．【分析】将方程常数项移到右边，方程左右两边同时除以2，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，变形后即可得到正确答案．【解答】解：2x2﹣x﹣2＝0，移项得：2x2﹣x＝2，左右两边同时除以2得：x2﹣x＝1，配方得：x2﹣x+＝1+，即（x﹣）2＝，故选：B．【点评】考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．10．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根，即x＝．故选：D．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．12．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：﹣3x2+5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，x＝＝，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．13．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．【点评】本题是一道易错题，学生在作答时往往把一次项系数﹣6误认为6，所以，在解答时要注意这一点．14．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（）A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3．故选：B．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．15．一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣5【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝0，x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（）A．6B．3或7C．3D．7【分析】把方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两数之积为0，两因式至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，分别求出两方程的解即可得到原方程的解，进而得到三角形的第三边长．【解答】解：方程x2﹣10x+21＝0可化为：（x﹣3）（x﹣7）＝0，解得：x1＝3，x2＝7，∴三角形的第三边长为3或6，当第三边长为3时，由3+3＝6，得到三边不能构成三角形，舍去；所以第三边长为7，故选：D．【点评】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，运用因式分解的方法解一元二次方程的前提必须是方程坐标利用因式分解的方法把和的形式化为积的形式，右边为0，此方法的理论依据为ab＝0，得到a＝0或b＝0，三角形的三边关系为：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，利用此性质把求出的方程的解x＝3舍去．17．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或14【分析】先求出方程的解，再得出三角形的三边长，最后求出即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，当三角形的三边为5，2，2时，2+2+＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18．若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x1＝3，x2＝4，根据题意讨论：当腰为3，底边为4时；当腰为4，底边为3时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣4＝0，∴x1＝3，x2＝4，当腰为3，底边为4时，等腰三角形的周长为3+3+4＝10；当腰为4，底边为3时，等腰三角形的周长为3+4+4＝11．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．19．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＜1B．m＞1C．m＝1D．m≤1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．20．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠2【分析】当m﹣2＝0，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，列不等式即可得到结论．【解答】解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．21．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2B．k C．k≤且k≠﹣2D．k【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，解得：k且k≠﹣2，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．22．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠1C．0≤k≤D．k≠1【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0，即k≠1，△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＝﹣12k+16，∵方程有两个不相等的实数解，∴△＞0，∴﹣12k+16＞0，∴k＜，∴k的取值范围是k＜且k≠1．故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义23．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3D．【分析】把a＝2，b＝﹣k，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得△＝0，再计算出关于k的方程即可．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣k，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣4×2×3＝k2﹣24，∵方程有两个相等的实数根，∴△＝0，∴k2﹣24＝0，解得k＝±2，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥3【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根可得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．25．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，∴+＝＝＝＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．26．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β＝，αβ＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1＝0的实数根，∴2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1，∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，∴α+β＝，αβ＝﹣，∴2α2+3αβ+5β＝5×+3×（﹣）+1＝12．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．27．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，利用通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，所以+＝＝＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．二．填空题（共11小题）28．方程（x﹣5）2＝4的解为x1＝7，x2＝3．【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣5）2＝4，开方得：x﹣5＝±2，解得：x1＝7，x2＝3，故答案为x1＝7，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．29．一元二次方程（2x+1）2﹣81＝0的根是x1＝4；x2＝﹣5．【分析】先变形为（2x+1）2＝81，再两边开方得到2x+1＝±9，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（2x+1）2＝81，2x+1＝±9，所以x1＝4，x2＝﹣5．故答案为x1＝4，x2＝﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．30．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是x1＝，x2＝﹣3．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵△＝8+24＝32，∴x＝，即x1＝，x2＝﹣3．故答案为：x1＝，x2＝﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．31．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝．x1x2＝﹣，∴x12+x22＝，故答案为：【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是3＜m≤5．【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是6．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣1、＝2x1+1、＝2x2+1，将其代入＝中即可得出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，＝2x1+1，＝2x2+1，∴＝+＝＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为是解题的关键．34．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为0．【分析】根据根与系数的关系得到得α+β＝3，再把原式变形得到a（α+β）﹣3α，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得α+β＝3，αβ＝﹣4，所以原式＝a（α+β）﹣3α＝3α﹣3α＝0．故答案为0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．35．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝．【分析】由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，解方程得到x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，即可得到结论．【解答】解：由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，由x12﹣x22＝10得（x1+x2）（x1﹣x2）＝10，若x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝25﹣4a＝4，∴a＝，故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．36．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝47．【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，得到α+β＝3，αβ＝1，根据完全平方公式得到α4+β4＝47，于是得到结论．【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x2﹣3x+1＝0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，∴α+β＝3，αβ＝1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47，∴＝＝47，故答案为：47．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对进行变形．37．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝3．【分析】由题意可知x22﹣3x2＝1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1﹣1＝0，x22﹣3x2﹣1＝0，x1+x2＝3，∴x22﹣3x2＝1，∴x1+x2（x22﹣3x2）＝x1+x2＝3，故答案为3．【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为﹣1或﹣3．【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．【解答】解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，而x12+x22＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4，∴（m+3）2﹣2m﹣2＝4，∴m2+6m+9﹣2m﹣6＝0，m2+4m+3＝0，∴m＝﹣1或﹣3，故答案为：﹣1或﹣3【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．三．解答题（共12小题）39．解方程：（3x+1）2＝64【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．【解答】解：（3x+1）2＝64，则：（3x+1）2＝256，故3x+1＝±16，解得：x1＝﹣，x2＝5．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．40．解方程：2x2+4x﹣1＝0（用配方法）．【分析】先把方程的二次项系数化为1，再利用完全平方公式变形为（x+1）2＝，然后利用直接开平方法求解．【解答】解：x2+2x﹣＝0，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝x+1＝±，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．41．用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．42．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．【解答】解：方程整理为x2﹣6x+1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×1＝32，x＝＝3±2，所以x1＝3+2，x2＝3﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．43．（1）计算：﹣32﹣（π﹣3.14）0+（tan30°）﹣1﹣2+（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式、负指数幂的性质化简，二次根式的混合运算，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．（2）根据配方法求解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣9﹣1+（）﹣1﹣++1＝﹣9+；（2）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查的是解一元二次方程，实数的运算，熟知二次根式的运算、数的开方及乘方法则、负整数指数幂的运算法则特殊角的三角函数值是解答此题的关键．44．用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：3x2﹣5x﹣2＝0，3x2﹣5x＝2，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x1＝﹣，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等．45．（1）计算：（﹣2018）0+|3﹣tan60°|﹣（﹣）﹣2+（2）解方程：x2+4x﹣2＝0【分析】（1）先计算乘方、取绝对值符号、计算负整数指数幂、化简二次根式，再计算加减可得；（2）把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，写成完全平方式，再开方可得．【解答】解：（1）原式＝1+3﹣﹣4+3＝2；（2）∵x2+4x﹣2＝0，∴x2+4x＝2，则x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，∴x+2＝±，∴x＝﹣2±，即x1＝﹣2+、x2＝﹣2﹣．【点评】本题考查了配方法解方程和实数的混合运算．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．46．（1）解方程x2+4x﹣2＝0（2）计算tan30°tan60°﹣sin260°+cos245°【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．（2）根据特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）x2+4x+4＝6（x+2）2＝6x＝﹣2±（2）原式＝×﹣+＝1＝【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．47．（1）计算：（﹣）（+）﹣2（2）解方程x2﹣4x+5＝0【分析】（1）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再判断即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣3﹣4+1＝﹣1；（2）x2﹣4x+5＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣1＜0，所以此方程无解．【点评】本题考查了解一元二次方程、零指数幂、平方差公式、二次根式的混合运算，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟记公式是解（2）的关键．48．（1）计算：（5﹣）÷×（2）解方程：x2+3＝2x．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式．再把括号内合并后进行二次根式的乘除运算；（2）先把方程化为一般式，然后利用配方法解方程．【解答】解：（1）运算＝（10﹣3）÷×＝7÷×＝7＝14；（2）x2﹣2x+（）2＝0，（x﹣）2＝0，x﹣＝0，所以x1＝x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了二次根式的混合运算．49．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根．【分析】（1）根据方程有实根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）得到m的最小整数，可得方程为x2+2x+1＝0，再解一元二次方程即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣4（2m+2）x+m2﹣3＝0有实根，∴△＝（2m+2）2﹣4（m2﹣3）＝8m+16≥0，∴m≥﹣2；（2）m满足条件的最小值为m＝﹣2，此时方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0时方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时方程没有实数根．50．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
___版九年级上册一元二次方程练习题(含答案)
___版九年级上册一元二次方程练习题(含答案)一元二次方程及其解法——直接开平方法巩固练】一、选择题1.（2015·泰安模拟）方程$x^2+ax+1=0$和$x^2-x-a=0$有一个公共根，则$a$的值是（）．A．0.B．1.C．2.D．32.若$ax^2-5ax+3=0$是一元二次方程，则不等式$3a+6>0$的解集应是(。
).A．$a>2$。
B．$a-2$。
D．$a>-2$且$a\neq 0$3.（2016·重庆校级三模）若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+6=0$的一个根为$x=-2$，则代数式$6a-3b+6$的值为（）A．9B．3C．0D．-34.已知方程$x+bx+a=0$有一个根是$-a(a\neq 0)$，则下列代数式的值恒为常数的是(。
)．A．ab。
B．$\frac{a}{b}$。
C．$a+b$。
D．$a-b$5.若$\frac{x-9}{x-3}=\frac{1}{2}$，则$x^2-5x+6$的值为（）．A．1.B．-5.C．1或-5.D．66.对于形如$x$的方程$(x+m)=n$，它的解的正确表达式是（）.A．用直接开平方法解得$x=\pm n$B．当$n\geq m$时，$x=m\pm n$C．当$n>m$时，$x=\pm(n-m)$D．当$n\geq m$时，$x=\pm(n-m)$二、填空题7.如果关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根分别为$x_1=2$，$x_2=1$，那么$p$，$q$的值分别是.8.（2014秋·东胜区校级期中）若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2+3x+m^2-4=0$的常数项为$-8$，则$m$的值等于.9.已知$x=1$是一元二次方程$x+mx+n=0$的一个根，则$m+2mn+n$的值为________．10.(1)当$k=\frac{1}{2}$时，关于$x$的方程$(k-1)x^2-(k-1)x+1=0$是一元二次方程；(2)当$k\neq \frac{1}{2}$时，上述方程是一元一次方程．11.已知$a$是方程$x^2+ax-5=0$的根，则$\frac{1}{a^3}-\frac{1}{a}$的值为．12.已知$a$是关于$x$的一元二次方程$x-2012x+1=0$的一个根，则$a-2011a+\frac{22}{2012a^2+1}$的值为．三、解答题13.（2016·乌鲁木齐校级月考）一元二次方程$a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$化为一般形式后为$2x^2-3x-1=0$，试求$a$，$b$，$c$的值．14．用直接开平方法解下列方程：1）$x^2-6x+5=0$；2）$2x^2-5x+2=0$；3）$3x^2+4x+1=0$；4）$5x^2-6x+1=0$；5）$x^2-8\sqrt{2}x+16=0$；6）$4x^2-4x+1=0$；7）$3x^2-4\sqrt{2}x+2=0$；8）$5x^2-4\sqrt{5}x+1=0$；9）$x^2-(2+\sqrt{3})x+1=0$；10）$2x^2-(2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}=0$．1.题目中的符号应该用正确的数学符号代替，即“=”应该为“＝”。
专题复习】九年级数学上册 一元二次方程解法练习100题(含答案)
专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题(含答案)1.解方程：$2x^2-8x+3=0$，使用公式法。
2.解方程：$(2x-1)(x+3)=43$。
3.解方程：$4y^2+4y-1=-10-8y$。
4.解方程：$(x-1)(x-3)=8$。
5.解方程：$5x^2-8x+2=0$。
6.解方程：$x(x-3)=10$。
7.解方程：$x^2-2=-2x$。
8.解方程：$3x(7-x)=18-x(3x-15)$。
9.解方程：$4x(3x-2)=6x-4$。
10.解方程：$x^2+12x+27=0$。
11.解方程：$2x^2-4x+1=0$，使用配方法。
12.解方程：$4(x-1)^2=9(x-5)$。
13.解方程：$x^2-6=-2(x+1)$。
14.解方程：$x^2+4x-5=0$。
15.解方程：$2x^2+5x-1=0$。
16.解方程：$3(x-2)^2=x(x-2)$。
17.解方程：$2x^2-3x-2=0$。
18.解方程：$2x^2-7x+1=0$。
19.解方程：$x^2-6x-4=0$，使用配方法。
20.解方程：$x^2-4x-3=0$。
21.解方程：$x^2-5x+2=0$。
22.解方程：$x^2-4x+8=0$。
23.解方程：$3x^2-6x+4=0$。
24.解方程：$(x-2)(x-3)=12$。
25.解方程：$(x-3)(x+7)=-9$。
26.解方程：$3x^2+5(2x+1)=0$，使用公式法。
27.解方程：$x^2-12x-4=0$。
28.解方程：$(x-5)(x-6)=x-5$。
29.解方程：$x^2-8x-10=0$。
30.解方程：$x(x-3)=15-5x$。
31.解方程：$5x(x-3)=(x+1)(x-3)$。
32.解方程：$x^2+8x+15=0$。
33.解方程：$25x^2+10x+1=0$。
34.解方程：$x^2+6x-7=0$，使用配方法。
35.解方程：$x^2+4x-5=0$，使用配方法。
苏科版九年级数学上册1-2一元二次方程的解法 同步练习题【含答案】
两边开平方，得 ．
所以 ， ．
19．(1) x1=5, x2=﹣15;(2) x1=3+ ，x2=﹣2+
（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；
设y=x+2，则原方程可变形为：
y2+6y﹣91=0，
解得：y1=7，y2=﹣13，
当y1=7时，x+2=7，
x1=5；
当y2=﹣13时，x+2=﹣13，
A．x＝2B．x＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
二、填空题
9．若 ，则代数式 的值为_____
10．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝．
11．等腰△ABC中，AC＝8，AB、BC的长是关于x的方程x2﹣9x+m＝0的两根，则m的值是．
12．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是．
1.2一元二次方程的解法
一、单选题
1．用配方法解方程 时，应在方程两边同时加上( )
A．3B．9C．6D．36
2．已知 ，则 的值是（）
A．3或 B． 或2C．3D．
3． 的根是（）
A． B． 或 C． D． 或
4．如果关于x的方程 只有一个实数根，那么方程 的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
x= ，
x1= ，x2= ；
（4）（x+1）2=2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）=0，
一元二次方程的解法+同步知识点分类练习题+2022-2023学年华东师大版九年级数学上册
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《22.2一元二次方程的解法》同步知识点分类练习题（附答案）一．一元二次方程的解1．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．1B．C．D．3．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是．4．若关于x的方程x2+（m+1）x+＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（）A．﹣B．C．﹣或D．15．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣36．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝．7．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为．二．根的判别式8．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0 9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根10．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定11．若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0B．﹣1C．2D．﹣312．关于x的方程3kx2+12x+2＝0有实数根，则k的取值范围是．13．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．14．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．15．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．16．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．三．根与系数的关系17．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12＝0B．x2+7x+12＝0C．x2+7x﹣12＝0D．x2﹣7x﹣12＝0 18．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4D．﹣119．设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19B．25C．31D．3020．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．21．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝．22．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．四、解一元二次方程24．解方程：3（x﹣3）2﹣25＝0．25．解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）26．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）27．解方程：（1）x2﹣2x＝3；（2）（x+4）2＝5（x+4）．28．用适当的方法解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0（2）x（x﹣3）＝x﹣3．（3）x2﹣3x+2＝0（4）x2﹣6x﹣7＝0．参考答案一．一元二次方程的解1．解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，∴22﹣3×2+k＝0，解得，k＝2．故选：B．2．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，解得c＝1；故选：A．3．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：04．解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣（m+1），x1•x2＝，又知一个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，若是1时，即1+x2＝﹣（m+1），而x2＝，解得m＝﹣；若是﹣1时，则m＝．故选：C．5．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．故选：D．6．解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴2m2﹣4m＝6，故答案为：6．。
2022-2023学年苏科版九年级数学上册《1-2一元二次方程的解法》同步练习题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于方程（x+1）2＝0的结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根2．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（）A．﹣1和0B．﹣3和2C．﹣3和0D．﹣1和23．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠0B．k＜且k≠0C．k≤且k≠0D．k＜4．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（）A．10B．84C．100D．1215．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③6．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣1或x＝2D．x＝﹣2或x＝0 7．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，c＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的b是原方程中b的相反数．则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．不存在实数根二．填空题8．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝，x2＝．9．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝．10．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝．11．若将一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0化成（x﹣m）2＝p（m，p为常数）的形式，则m+p 的值为．12．已知一元二次方程x2﹣11x+28＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为．13．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为．14．若关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个实数根为x＝﹣2，则另一个实数根为．15．若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝2，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+6（y+1）﹣4＝0的解为．16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣kb+1＝0（k＞0）有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的图象不经过第象限．17．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．18．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+3x2的值等于．三．解答题19．解方程：2（3x﹣1）2＝8．20．用适当的方法解方程（1）x2﹣2x﹣8＝0（2）（2x﹣1）2﹣16＝0（3）2x（x﹣3）﹣5（3﹣x）＝0．21．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值时，方程总有实数根．（2）若方程的两个根为x1，x2，且满足，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵（x+1）2＝0，∴x+1＝0，即x1＝x2＝﹣1，方程有两个相等的实数根，故选：B．2．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，∴a（x+m﹣1）2+b＝0，又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝1，解得x3＝﹣1，x4＝2，故选：D．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得：k≤且k≠0．故选：C．4．解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）＝[（7﹣x）（2+x）]•[（3﹣x）（2﹣x）]＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，∵﹣1＜0，∴M的最大值为100．故选：C．5．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．6．解：∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，∴在方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，故选：C．7．解：根据题意得x＝﹣1为方程x2+bx+4＝0的一个根，∴1﹣b+4＝0，解得b＝5，即所抄的b的值为5，所以原方程的b的值为﹣5，则原方程为x2﹣5x+4＝0，因为Δ＝（﹣5）2﹣4×4＝9＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选：A．二．填空题8．解：化简得，x2+2x﹣16＝0∴x2+2x＝16∴（x+1）2＝17∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．9．解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，解得t＝4或t＝﹣2（舍去），则a2+b2＝4．故答案是：4．10．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）＝（m+4）（n+4）＝mn+4（m+n）+16＝﹣1+4×（﹣2）+16＝7，故答案为：7．11．解：∵x2﹣4x﹣5＝0，∴x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝5+4，（x﹣2）2＝9，∴m＝2，p＝9，∴m+p＝2+9＝11，故答案为：11．12．解：方程x2﹣11x+28＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣7）＝0，解得：x＝4或x＝7，若4为底边，7为腰，此时△ABC周长为4+7+7＝18；若4为腰，7为底，此时△ABC周长为4+4+7＝15；则△ABC周长为15或18．故答案为：15或18．13．解：∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，∴（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）＝0，解得：a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2（舍），则c2＝a2+b2＝3，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．14．解：设另一个实数根为t，根据题意得﹣2+t＝﹣3，解得t＝﹣1．故答案为﹣1．15．解：设t＝y+1，则原方程可化为at2+6t﹣4＝0，∵关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝2，∴t1＝1，t2＝2，∴y+1＝1或y+1＝2，解得y1＝0，y2＝1．故答案为：y1＝0，y2＝1．16．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣kb+1＝0（k＞0）有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣kb+1）＞0，解得kb＞0，∵k＞0，∴b＞0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：四17．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m﹣1≠0，∴9﹣4×（m﹣1）×2＞0且m﹣1≠0，∴m＜且m≠1，故答案为：m＜且m≠1．18．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣2026＝0的两个实数根，∴x12﹣5x1﹣2026＝0，x1+x2＝5，∴x12﹣5x1＝2026，∴原式＝x12﹣5x1+3x1+3x2＝x12﹣5x1+3（x1+x2）＝2026+15＝2041，故答案为：2041．三．解答题19．解：方程两边同时除以2，得（3x﹣1）2＝4，方程两边同时开方，得3x﹣1＝±2，移项、两边同时除以3，得x1＝1，x2＝﹣．20．解：（1）∵（x+2）（x﹣4）＝0，∴x+2＝0或x﹣4＝0，解得：x＝﹣2或x＝4；（2）∵（2x﹣1）2＝16，∴2x﹣1＝4或2x﹣1＝﹣4，解得：x＝或x＝﹣；（3）∵2x（x﹣3）+5（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（2x+5）＝0，∴x﹣3＝0或2x+5＝0，解得：x＝3或x＝﹣．21．解：存在．∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数解，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得k≤，根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣3，∵（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0，∴5x1x2﹣2（x12+x22）+20＝0，∴9x1x2﹣2（x1+x2）2+20＝0，∴9（k2﹣3）﹣2（2k﹣1）2+20＝0，整理得k2+8k﹣9＝0，解得k1＝1，k2＝﹣9，∵k≤，∴当k＝1或﹣9时，（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立．22．（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：根据题意得x1+x2＝k+2，x1•x2＝2k，∵，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣5，即2k﹣（k+2）+1＝k2﹣5，∴k＝，∴k的值为或．23．（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，∴不论m取何实数，该方程总有两个实数根；（2）设两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，∵方程的一个根大于5，另一个根小于5，∴（x1﹣5）（x2﹣5）＝x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，∴2m﹣4﹣5m+25＜0，解得：m＞7，∴方程的一个根大于5，另一个根小于5，m的取值范围是m＞7；（3）根据题意得：x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，n＝x12+x22﹣8＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣8＝m2﹣2（2m﹣4）﹣8＝m2﹣4m＝（m﹣2）2﹣4，即n＝（m﹣2）2﹣4，经过（﹣3，21）．。
人教版九年级数学上册解一元二次方程 同步练习含答案【优选范本】
21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n.(1)求m ，n 的值；(2)求x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，∴m ＝2，n ＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。
_1.2一元二次方程的解法(配方法)同步练习 2021—2022学年苏科版数学九年级上册
12．A
【解析】x2-2x+3，
=x2-2x+1+2,
=（x-1）2+2,
因为一个数的平方大于等于零，
所以原式≥2，
故选A.
13．-1 4
【解析】∵x2−3＝2x，
∴x2−2x＝3，
则x2−2x＋1＝3＋1，即（x−1）2＝4，
∴m＝−1、n＝4，
故答案为−1、4．
14．
【解析】解：∵x2+px+q=0（p2-4q≥0）．
故答案为3.
25． ， ，
【解析】解：
∴ ，
26．（1） ， ；（2） ，
【解析】（1）
， ；
（2）
， ．
27．（1） ；（2）原方程无实数根；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【解析】（1）
配方，得 ，
．
（2）
移项，得 ．
配方，得 ．
，
原方程无实数根．
（3）
移项，得 ．
配方，得 ，
．
（4）
移项，得 ．
A． B． C． D．
10．若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．﹣57B．63C．179D．181
11．已知一元二次方程 配方后为 ，那么一元二次方程 配方后为（）
A． B． 或
C． D． 或
12．对于任意实数 ，多项式 的值是一个（）
A．正数B．负数C．非负数D．不能确定
（1）小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________；
（2）请写出此题正确的解答过程．
30．用配方法解方程，补全解答过程．
九年级上1.2一元二次方程的解法(因式分解法)同步练习含答案.doc
九年级上 1.2 一元二次方程的解法（ 因式分解法 ）同步练习含答案第 1 章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法（ 6）【基础提优】1．方程 ( x 1)( x 2） 0 的两个根分别是（ ）A ． x 11， x 2 2B ． x 1 1， x 2 2C ． x 11，x 22D ． x 11， x 222．方程 x 2 5x0 的解是（）A ． x 1 0 ， x 25B ． x 1 x 2 5C ． x 10 ， x 25D ． x 1 x 23．方程 x( x 2) x 2 0 的解是（）A ． x 1 x 2 2B ． x 1 2 ， x 2 1C ． x 1x 21D ． x 1 2 ， x 21．方程 x22 x3 0 的解是（）4A ． x 1 x 2 1B ． x 1 x 2 3C ． x 1x 23D ． x 11， x 235．方程 x( x 2)x 的跟是．6．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ ABC 的两条直角边的长，且 S △ ABC=3，请写出 一个符合题意的一元二次方程：．．方程 x23 x2 0 的跟是．78．若方程 x 29x18 0 的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则这个等腰三角形的周长为．9．用因式分解法解下列方程： （1） ( x 3) 2 90 ； （ 2） 2x(x 4) x 4 02 2（ 4）x 2（3）( 2x 1) (3x 2）；10x 9 0 （5）( 2x1)2x(3x 2） 7【拓展提优】1．一元二次方程x(x 3) 3 x 的根是（）A ．x1 x2 1B ．x1 x2 3C．x1 1， x2 3 D ．x1 3 ， x2 12 x的方程x 2x1 1 0 的解为（）．关于A ．x1 2 ， x2 1B ．x1 0 ， x2 1C．x1 x2 1 D ．x1 x2 23．如果三角形的两条边的长分别是方程x 2 8x 15 0 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如果( x2 y2 1)( x2 y 2 4) 0 ，那么x 2 y 2 ．5．现定义运算：对于任意实数a， b ，都有 a ★ b a2 3a b ，如 3 ★5 32 335．若x ★ 2 6 ，则实数 x 的值是．6．若最简二次根式x 2 4 x 3 与2x 13 是同类二次根式，则x ．7．若分式x25x6的值为 0，则x ．8．用适当的方法解下列方程：（1） ( 2x 1)22(2x 1) 3 ；（ 2） 2( x 3) 2 x 2 9（3） ( x 3) 2 (x 4)2 ( x 5) 2 17 x 24（4） x 22x 2x 1 ；（5） x 22x 2 09．已知 x(2x y) y( y 2 x)( xy 0) ，求 x2y 2 的值．xy．先化简，再求值：m 3 ( m 2 5 2 ) ，其中 m 是方程 x 2 2x 3 0 的根．103m 2 6mm参考答案【基础提优】 1-4 DCDD5． x 1 0 ， x 2 36． x 2 5x 6 0 （答案不唯一）7． x 1 1， x 228． 159．解：（ 1） x 16 ， x 2 0（ 2） x 11 4 ， x 21， x 22（ 3） x 1 3 （ 4） x 11， x 2 95（ 5） x 12 ， x 24【拓展提优】 1-3 DBA 4． 4 5．4或 16． 8 7． 68．解：（ 1） x1 ， x21（ 2） x3 ， x2911（ 3） x 1 3 ， x 2 8 （ 4） x 1 2 5 ， x 2 25（5）x 13 1， x 23 19． 5或 2210．化简得：原式1 ，解方程得： m 1 3 （舍去）， m2 1，带入 m1 得：3m(m 3)1 原式12。
苏教版九年级数学上册1.2 一元二次方程的解法 练习题(含答案)
1.2一元二次方程的解法注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共21题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣32．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝03．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（）A．B．C．D．5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是．8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为．9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3x2+ax+b 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 010．（2020春•广陵区校级期中）当x＝时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是．14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2（2）x2+4x+2＝0（配方法）16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0．17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程的根．18．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．19．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣1 0 1 2 3 …ax2+bx+3 …0 3 4 …（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…（2）请你也提出一个合理的猜想：【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．答案解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣3【分析】利用因式分解法求解可得．【解析】∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得x＝0或x＝3，故选：B．2．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项．【解析】A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误；B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误；C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．故选：D．3．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．【解析】根据题意得：△＝（﹣2）2﹣4×20，即该方程有两个相等的实数根，故选：B．4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（）A．B．C．D．【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．【解析】x2﹣x﹣5＝0，x2﹣3x＝15，x2﹣3x15，（x）2．故选：C．5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解析】∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根【分析】利用题意得x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，则可求出c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，然后计算判别式的值判断方程根的情况．【解析】x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，1+8﹣c＝0，解得c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，因为△＝（﹣8）2﹣4×9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1．【分析】利用因式分解法解方程．【解析】（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣2，x2＝1．故答案为x1＝﹣2，x2＝1．8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为（x﹣3）2＝11．【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．【解析】方程x2﹣6x﹣2＝0，移项得：x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．故答案为：（x﹣3）2＝11．9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是2．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3x2+ax+b 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0【分析】把表中的两组值代入x2+ax+b得到关于a、b的方程组，解方程组求出b、c，然后计算4a+b的值．【解析】根据题意得，解得，所以方程为x2﹣2x﹣3＝0，所以4a+b＝4×1﹣2＝2．故答案为2．10．（2020春•广陵区校级期中）当x＝1时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．【解析】依题意得：x2﹣x＝x﹣1，∴x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x＝1．故答案为：1．11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m．【分析】利用判别式的意义得到△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，解得m．故答案为m．12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k≥2．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的范围．注意二次根式是非负数．【解析】∵关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（）2﹣4×1×（﹣1）＞0且k﹣2≥0，解得：k≥2．故答案为：k≥2．13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是x或x．【分析】分2＜2x﹣1和2x﹣1≤2两种情况，分别列出方程，解之可得．【解析】①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，x+1＝2x，解得x＝1（舍）；②若2x﹣1≤2，即x≤1.5时，x（2x﹣1）＝x+1，解得x或x，故答案为：x或x．14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是x＝﹣7或x＝4．【分析】将方程变形为a（﹣x﹣2+m）2+b＝0，将﹣x﹣2看做原方程中的x可得答案．【解析】∵方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，∴方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，解得x＝﹣7或x＝4，故答案为：x＝﹣7或x＝4．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2（2）x2+4x+2＝0（配方法）【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程．【解析】（1）y+2＝±（3y﹣1）y+2＝3y﹣1，y+2＝﹣（3y﹣1）y1，y2；（2）x2+4x+4＝2（x+2）2＝2x+2x1＝﹣2，x2＝﹣2．16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解析】（1）∵x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，解得x＝0.5或x＝1；（2）∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，∴x﹣2，∴x＝2．17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）由（1）可知b＝2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：△＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，解得：b＝2或b＝﹣10．（2）当b＝2时，此时x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝218．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案．【解析】（1）由题意，得△＝（2k+1）2﹣8k＝（2k﹣1）2∵（2k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由求根公式，得，x2＝﹣k．∵方程有一个根是正数，∴﹣k＞0．∴k＜019．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，解得：k＝12；当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．答：k的值为12或3．20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；（2）把C﹣A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答．【解答】（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2）＝a2﹣3a+7﹣a﹣2＝a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≥1，∴B﹣A＞0，∴B＞A；（2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2）＝a2+2a﹣18﹣a﹣2＝a2+a﹣20＝（a+5）（a﹣4）∵a＞2，∴a+5＞0，当2＜a＜4时，a﹣4＜0，∴C﹣A＜0，即A＞C，当a＞4时，a﹣4＞0，∴C﹣A＞0，即A＜C当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C．21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣1 0 1 2 3 …ax2+bx+3 …0 3 4 …（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…（2）请你也提出一个合理的猜想：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．【分析】（1）通过解方程组求得a、b的值．（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；（3）举出反例．【解析】（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；当x＝1时，a+b+3＝4．可得方程组．解得：．当x＝2时，ax2+bx+3＝3；当x＝3时，ax2+bx+3＝0．故答案是：3；0；（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；（3）甲的说法不正确．举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．乙的说法正确．证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵（x﹣1）2≥0．∴﹣（x﹣1）2+4≤4．∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．。
九年级上一元二次方程的解法(用配方法解方程)同步练习含答案
九年级上一元二次方程的解法（用配方法解方程）同步练习含答案【基础提优】1．用配方法解方程22=+x x ，应把方程的两边同时（）A ．加上41B ．加上21C ．减去41D ．减去212．用配方法解方程0522=--x x 时，原方程可化为（）A ．6)1(2=+x B ．92(2=+）x C ．6)1(2=-x D ．92(2=-）x 3．已知关于x 的一元二次方程022=--m x x ，用配方法解方程，配方后方程可化为（）A ．1)1(22+=-m x B ．1)1(2-=-m x C ．mx -=-1)1(2D ．1)1(2+=-m x 4．若22)(4q x p x x +=+-，则p ，q 的值分别是（）A ．4=p ，2=qB ．4=p ，2-=qC ．4-=p ，2=q D ．4-=p ，2-=q 5．若226m x x ++是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．以上都不对6．填空：（1）+-x x 122-=x (2)；（2）++x x 62+=x (2)；（3）+-x x 32-=x (2)；（4）+-x x 252-=x (2)．7．用配方法解下列方程：（1）0362=+-x x ；（2）132=+x x ；（3）031612=--x x ．8．将方程032=+-m x x 配方，得到21)(2=+a x ．（1）求常数a 与m 的值；（2）求此方程的解．【拓展提优】1．将方程x x 432=+配方，得（）A ．7)2(2=-xB ．12(2=+）x C ．1)2(2=-x D ．22(2=+）x 2．用配方法解方程1042=+x x 的根为（）A ．102±B ．142±-C ．102+-D ．102-3．已知9=xy ，3-=-y x ，则223y xy x ++的值为（）A ．27B ．9C ．54D ．184．填空：（1）+-x x 102-=x (2)；（2）++x x 432+=x (2)；（3）++bx x 2+=x (2)；（4）++ax x 272+=x (2)．5．用配方法解下列方程：（1）12=-x x ；（2）04222=--x x ；（3）027)1(6)1(2=----x x ．6．已知直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且两直角边a ，b 满足等式028)(3)(22222=-+-+b a b a ，求斜边c 的值．7．求代数式842+-x x 的最值．8．当x 取任意实数时，你能判别代数式1762-+-x x 的值的符号吗？【趣味思考】1．小明说：无论x 取何值，二次三项式22-+-x x 的值恒为负．小丽想不明白．你认为小明的说法是否正确，并说明理由．参考答案【基础提优】1-5ACDBC6．（1）36；6（2）9；3（3）49；23（4）1625；457．解：（1）631+=x ，632-=x ；（2）21331+-=x ，21332--=x ；（3）321=x ，212-=x 8．（1）23-=a ；47=m （2）2231+=x ，2232-=x 【拓展提优】1-3CBC4．（1）25；5（2）649；83（3）42b ；2b （4）16492a ；47a5．解：（1）2511+=x ，2512-=x ；（2）621+=x ，622-=x ；（3）101=x ，22-=x 6．77．44)2(8422≥+-=+-x x x ，有最小值，为4，无最大值8．088)3(17622<-≤---=-+-x x x ，所以当x 取任意实数时，代数式的值总是负数【趣味思考】1．04747)21(222<-≤---=-+-x x x ，所以当x 取任意实数时，代数式的值恒为负数。
一元二次方程的解法练习题(带答案))
【答案】（ 1 ） ① ②
（2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ） 方程 ∴
． ． ． ．
的解为
， ．
6
（ 3 ） 解方程
得
∴
【标注】【知识点】算式找规律
， ．
四、 因式分解法
1. 用因式分解法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3） （4）
，
．
，
．
，
．
，
．
【解析】（ 1 ） （2） （3） （4）
3. 阅读材料，解答问题．
阅读材料：为解方程
，我们可以将 视为一个整体，然后设
，则
，原方
程化为
．解得
，
．当 时，
，
∴
；当 时，
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：请你仔细阅读上述材料，深刻领会解题过程中所包含的数学思想和方法，然后解方程
．
【答案】
，
．
【解析】 设
，则原方程化为
．
解这个方程，得
，．
当
， ，
． ．
【解析】（ 1 ） （2）
， ，
． ．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
2. 公式法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
，
．
，
．
，
．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
3. 在实数范围内因式分解：
人教版初中数学九年级上册同步测试 第21章 一元二次方程(共17页)及答案【新编辑】
第二十一章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______． 5．若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______． 6．方程y 2－12=0的根是______． 二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )．(1)2x 2－3=0 (2)x 2＋y 2=5 (3)542=-x (4)2122=+xxA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在方程：3x 2－5x =0，,5312+=+x x 7x 2－6xy ＋y 2=0，322,052222--=+++xx x x ax =0， 3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 9．x 2－16=0的根是( )． A ．只有4 B ．只有－4 C ．±4 D ．±8 10．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2=8． 12．2(x ＋3)2－4=0．13．.25)1(412=+x 14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是__________，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 17．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______． 二、选择题18．下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，,01=+xx,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个19．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关20．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是( )．A ．5±B ．±1C ．±2D ．2± 21．关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为( )．A ．k k +B ．k k -C ．k k -±D ．无实数解 三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 22．(3x －2)(3x ＋2)=8． 23．(5－2x )2=9(x ＋3)2．24．.063)4(22=--x25．(x －m )2=n ．(n 为正数)拓广、探究、思考26．若关于x 的方程(k ＋1)x 2－(k －2)x －5＋k =0只有唯一的一个解，则k =______，此方程的解为______．27．如果(m －2)x |m ｜＋mx －1=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )．A ．2或－2B ．2C ．－2D ．以上都不正确 28．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1=0有一个根是0，求m 的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．测试2 配方法与公式法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．+-x x 82_________=(x －__________)2．2．x x 232-＋_________=(x －_________)2．3．+-px x 2_________=(x －_________)2．4．x abx -2＋_________=(x －_________)2．5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题7．用配方法解方程01322=--x x 应该先变形为( )．A ．98)31(2=-x B ．98)31(2-=-xC ．910)31(2=-x D ．0)32(2=-x8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )． A ．x 1=4，x 2=－2 B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=29．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，正确的应是( )． A ．252±-=x B ．252±=xC ．251±=xD ．231±=x10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是( )． A ．41 B ．m m-±42 C ．mm -±422 D ．mm m -±42 三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11．x 2－2x －1=0． 12．y 2－6y ＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程)13．x 2＋4x －3=0． 14．.03232=--x x五、解方程(自选方法解一元二次方程) 15．x 2＋4x ＝－3．16．5x 2＋4x =1．综合、运用、诊断一、填空题17．将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =______，b =______，c =______．18．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 二、选择题19．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或6 20．4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．A ．14xyB ．－14xyC ．±28xyD ．0 21．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两根应为( )．A ．22a±-B ．a 2，a 22C ．422a± D ．a 2±三、解答题(用配方法解一元二次方程) 22．3x 2－4x =2． 23．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程)24．2x －1=－2x 2． 25．x x 32132=+26．2(x －1)2－(x ＋1)(1－x )=(x ＋2)2．拓广、探究、思考27．解关于x 的方程：x 2＋mx ＋2=mx 2＋3x ．(其中m ≠1)28．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?测试3 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式为∆=b 2－4ac ， (1)当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根； (3)当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m =0有两个相等的实数根，则m =______． 3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k ______． 4．若方程(x －m )2=m ＋m 2的根的判别式的值为0，则m =______． 二、选择题5．方程x 2－3x =4根的判别式的值是( )． A ．－7 B ．25 C ．±5 D ．56．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． A ．7x 2－x －1=0 B ．9x 2=4(3x －1) C ．x 2＋7x ＋15=0D ．02322=--x x8．方程03322=++x x 有( )． A ．有两个不等实根 B ．有两个相等的有理根 C ．无实根 D ．有两个相等的无理根 三、解答题9．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式是( )．A ．242ac b b -±-B ．ac b 42-C ．b 2－4acD ．abc13．若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞1 14．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为( )．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．21或32-15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是( )．A ．23<m B ．23<m 且m ≠1C ．23≤m 且m ≠1D ．23>m16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．任意三角形 二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．18．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．20．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．拓广、探究、思考21．若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．测试4 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x (x －3)=0．______ 2．(2x －7)(x ＋2)=0．______ 3．3x 2=2x ．______ 4．x 2＋6x ＋9=0．______ 5．.03222=-x x ______ 6．.)21()21(2x x -=+______ 7．(x －1)2－2(x －1)=0．______． 8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______ 二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )． A ．x 1=a ，x 2=b B ．x 1=a ，x 2=－b C ．x 1=－a ，x 2=b D ．x 1=－a ，x 2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)=2(x －2)． 12．.32x x =*13．x 2－3x －28=0． 14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3． *16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．0222=-x x ．______________________． 19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________． 二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，2 21．方程(x －1)2=1－x 的根为( )．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程0)43)(21()43(2=--+-x x x 的较小的根为( )．A ．43-B ．21C ．85D ．43三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．.2152x x =- 24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25．.04222=-+-b a ax x26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m 的值．测试5 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根) 1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________ 3．3x 2－5x ＋2=0．__________________ 4．x 2－4x －6=0．__________________ 二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )． A ．x =2 B ．x 1=x 2=2 C ．x =4 D ．x 1=x 2=4 6．5.27.0512=+x 的根是( )．A ．x =3B ．x =±3C ．x =±9D ．3±=x 7．072=-x x 的根是( )． A ．77=xB ．77,021==x x C ．x 1=0，72=x D ．7=x 8．(x －1)2=x －1的根是( )． A ．x =2 B ．x =0或x =1 C ．x =1 D ．x =1或x =2 三、用适当方法解下列方程 9．6x 2－x －2=0． 10．(x ＋3)(x －3)=3．11．x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 12．2a 2x 2－5ax ＋2=0．(a ≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x 2=x ．(最佳方法：______)14．x 2－2x =224．(最佳方法：______)15．6x 2－2x －3=0．(最佳方法：______)16．6－2x 2=0．(最佳方法：______)17．x 2－15x －16=0．(最佳方法：______)18．4x 2＋1=4x ．(最佳方法：______)19．(x －1)(x ＋1)－5x ＋2=0．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式1872+--x x x 的值是0，则x =______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________． 二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根( )．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确 23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是( )．A ．ba x ab x 2,221== B ．b ax a b x ==21,C ．0,2221=+=x abb a xD ．以上都不正确 三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2． 25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．.02322=+-x x 27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx yx +-的值．29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________． 32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aacb b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________． 并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______． (3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜；④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．测试6 实际问题与一元二次方程学习要求会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。
人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程的解法 专题训练 (含答案)
人教版数学九年级上册第21章一元二次方程的解法专题训练一、用限定方法解一元二次方程1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A．x2－5＝6 B．－4x2＝0C．x2＋3＝0 D．(x＋2)2＝02．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋93．按要求解下列方程：(1)x2＋x－1＝0(公式法)；(2)(2x－3)2＝(x－2)2(因式分解法)；(3)x2＋4x－1＝0(配方法)； (4)x(2x＋3)－2x－3＝0(因式分解法)．(5)2x2＋5x＝3 (公式法) ； (6)4x2－12x－1＝0(配方法).(7)2(x－3)2＝x2－9(因式分解法)； (8)x2－2x－2 018＝0(配方法)；二、选择合适的方法解一元二次方程4．若a为方程(x－17 )2＝100的一根，b为方程(y－4)2＝17的一根，且a，b都是正数，则a－b 的值为( )A．5 B．6C.83 D．10－175．方程(x－3)(x＋5)－9＝0的解是( )A．x1＝－6，x2＝4B．x1＝－6，x2＝－4C．x1＝6，x2＝－4D．x1＝6，x2＝46．一元二次方程3x2－x＝0的解是________________________．7．方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是________________________．8．用合适的方法解方程：(3)x2＋6x＋5＝0；(4)4x(2x－1)＝3(2x－1)．(5)2x2－4x－5＝0； (6)9(2a－5)2＝16(3a－1)2.(9)2x2－5x－1＝0； (10)2x(2x－1)＝3(x+2)．三、用换元法解一元二次方程9．若方程(a2＋b2)2－2(a2＋b2)－8＝0，则a2＋b2的值为( )A．4 B．－2C．4或－2 D．－4或210．解方程(y2－3)2－y2＋2＝0时，令y2－3＝x，则原方程可以化为___________________．11．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝_____________．12．阅读材料：解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0.①解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝± 5.∴原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.根据上面的解答，我们学会了在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想.下面用换元法解方程：(1)(x－2)2－5(x－2)－6＝0；(2)(2x－3)2－2(2x－3)－3＝0.(3)x4－x2－12＝0.参考答案：一、用限定方法解一元二次方程1. C2. D3. 解：(1)x 1＝-1+52，x 2＝-1-52(2) x 1＝-1，x 2＝53(3)x 1＝5-2，x 2＝-5-2.(4) x 1＝1，x 2＝-32(5)x 1＝－3，x 2＝12(6)x 1＝3＋102，x 2＝3－102(7)x 1＝3，x 2＝9(8)x 1＝1＋ 2 019，x 2＝1－ 2 019二、选择合适的方法解一元二次方程4. B5. A6. x 1＝0，x 2＝13 7. x 1＝－2，x 2＝48. 解：(1)x 1＝－1，x 2＝3(2)x 1＝3+10，x 2＝3-10.(3)x 1＝－1，x 2＝-5(4) x 1＝12，x 2＝34(5)x 1＝1＋142，x 2＝1－142(6)a 1＝－116，a 2＝1918(7)x 1＝5，x 2＝－3(8)x 1＝3＋10，x 2＝3－10(9)x 1＝5＋334，x 2＝5－334(10)x 1＝2，x 2＝-34三、用换元法解一元二次方程9. A 10. x 2－x －1＝0 11. -12或1 12. (1)x 1＝8，x 2＝1(2)x 1＝3，x 2＝1(3)x 1＝2，x 2＝－2。
部编数学九年级上册专题21.2一元二次方程的解法【八大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】【人教版】【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2 用配方法解一元二次方程】 (2)【题型3 用公式法解一元二次方程】 (4)【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 (5)【题型5 用指定方法解一元二次方程】 (6)【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 (12)【题型7 用换元法解一元二次方程】 (14)【题型8 配方法的应用】 (17)【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2022•建华区二模）解方程：−13（x ﹣2）2+34=0（开平方法）．【分析】先把方程变形为（x ﹣2）2=94，再两边开方得到x ﹣2＝±32，然后解两个一次方程即可．【解答】解：−13（x ﹣2）2+34=0，−13（x ﹣2）2=−34，（x ﹣2）2=94，x ﹣2＝±32，所以x 1=72，x 2=12．【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x +3）2＝（3x +2）2（开平方法）．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，∴2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2=4 5．【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2=41−a，当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝当1﹣a＜0，即a＞1时，无解．来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 用配方法解一元二次方程】【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x 2﹣3x =−32，配方得：x 2﹣3x +94=94−32，即（x −32）2=34，开方得：x −32=解得：x 1=32+x 2=32−（2）方程整理得：x 2+b a x =−c a ，配方得：x 2+b a x +b 24a 2=b 24a 2−c a ，即（x +b 2a ）2=b 2−4ac 4a 2，开方得：x +b 2a =解得：x 1=x 2=【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x 2=4．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x 2=4，∴x 2﹣+5＝4+5，即（x 2＝9，∴x 3或x =−3，∴x 1＝3x 2＝﹣3+【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x 2﹣8x ﹣7＝0．【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可．【解答】解：4x 2﹣8x ﹣7＝0，4x 2﹣8x ＝7，x 2﹣2x =74，配方得x 2﹣2x +12=74+1，（x ﹣1）2=114，x ﹣1＝x ＝∴x1＝1x2＝1【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1，∴x2−52x=−12，∴x2−52x+2516=−12+2516，即（x−54）2=1716，则x−5 4 =∴x【题型3 用公式法解一元二次方程】【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答．【解答】解：2a2﹣3＝﹣4a，整理得：2a2+4a﹣3＝0，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40，∴a=∴a1a2=【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，∴x=∴x1x2=【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，∴x=∴x1=x2=【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．【分析】方程利用公式法求出解即可．【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，∵Δ＝49﹣48＝1＞0，∴x=7±1 4，则x1＝2，x2＝1.5．转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 用因式分解法解一元二次方程】【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，解得x1＝3，x2=2 3．【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【分析】利用提取公因式（4﹣3x），将左边因式分解，再进一步求解即可．【解答】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0，∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0，则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0，解得x1=43，x2=53．【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，可得4﹣x＝0或3x+2＝0，解得：x1＝4，x2=−2 3．【变式4-3】（2022秋•简阳市月考）用因式分解法解方程：x2+0【分析】利用因式分解法把方程化为x=0或x+=0，然后解一次方程即可．【解答】解：（x x+0，x=0或x+=0，所以x1=x2=【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）；（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．【分析】（1）移项，然后开平方即可求解；（2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解；（3）利用公式法即可求解；（4）移项，然后利用因式分解法即可求解．【解答】解：（1）（x+1）2＝144，则x+1＝12或x+1＝﹣12，解得：x1＝﹣13，x2＝11；（2）移项，得：x2﹣8x＝9，配方，得x2﹣8x+16＝25，则（x﹣4）2＝25，即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，解得：x1＝9，x2＝﹣1；（3）a＝2，b＝7，c＝3，△＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0．则x=−7±54，则x1＝﹣3，x2=−1 2；（4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0，即（x﹣2）（2x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝3．【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）【分析】（1）先提取公因式（x﹣2）因式分解，再求解即可；（2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可；（3）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解；（4）直接开平方求解即可．【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0，由此得，x﹣2＝0，x+1＝0，所以，x1＝2，x2＝﹣1；（2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0，即（x﹣2）2＝1，所以，x﹣2＝±1，所以，x1＝3，x2＝1；（3）a＝1，b＝5，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24，xx1x2=（4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x），所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，解得x1＝3，x2＝1．【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）（3）2x2﹣10x＝3（公式法）（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）（5）x2+=26（用换元法解）（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了；（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以；（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c的值，最后代入求根公式求解就可以了；（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；（5a，将原方程变形为a2﹣a＝30，再解一个关于a的一元二次方程求解；（6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝a，就可以变为a2﹣a﹣2＝0，最后可以运用因式分解法求解．【解答】解：（1）开平方，得2x﹣1＝∴x1x2（2）移项，得2x2﹣7x＝4，化二次项的系数为1，得x2−72x＝2，配方，得x2−72x+4916=2+4916，（x−74）2=8116开平方，得x−74=±94，∴x1＝4，x2=−1 2；（3）移项，得2x2﹣10x﹣3＝0，∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，∴△＝100+24＝124＞0，∴x∴x1x2=（4）移项，得（3x﹣4）2﹣（3﹣4x）2＝0分解因式，得（3x﹣4+3﹣4x）（3x﹣4﹣3+4x）＝0，∴﹣x﹣1＝0或7x﹣7＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1；（5）原方程变形为：x2+30，a，将原方程变形为：a2﹣a＝30，移项，得a2﹣a﹣30＝0，因式分解，得（a+5）（a﹣6）＝0，∴a+5＝0或a﹣6＝0，∴a1＝﹣5（舍去），a2＝6，6，解得：x＝经检验，x＝（6）原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，设2x2+1＝a，则原方程变为：a2﹣a﹣2＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝2，当a＝﹣1时，2x2+1＝﹣1，Δ＜0，原方程无解，当a＝2时，2x2+1＝2，解得：x＝【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程：①x2+x+=0（因式分解法）②5x2+2x﹣1＝0（公式法）③y 2+6y +2＝0（配方法）④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2（直接开平方法）⑤x 1x 2−2x 2x 1=1（换元法）⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0（适当方法）【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答．②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．③可以先移项，然后利用配方法解答．④利用直接开平方法解答；⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．⑥利用换元法解答．【解答】解：①x 2+x +0，（x x +0，∴x +=0或x +=0，∴x 1=x 2=②5x 2+2x ﹣1＝0，a ＝5，b ＝2，c ＝﹣1，Δ＝b 2﹣4ac ＝4+20＝24，x所以x 1=x 2③y 2+6y +2＝0，y 2+6y ＝﹣2，y 2+6y +9＝﹣2+9，即（y +3）2＝7，∴y +3∴y 1＝﹣3+y 2＝﹣3④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2，3（x ﹣2）＝±11（x +1），∴3（x ﹣2）＝11（x +1）或3（x ﹣2）＝﹣11（x +1），∴x 1=−178，x 2=−514；⑤x 1x 2−2x 2x 1=1，x 1x 2−2x 2x 1−1＝0，设y =x 1x 2，则原方程为y −2y −1＝0，y 2﹣y ﹣2＝0，解得：y ＝﹣1，或y ＝2，当y ＝﹣1，x 1x 2=−1，此方程无解；当y ＝2，x 1x 2=2，解得：x 1＝1，x 2=−12，经检验，x 1＝1，x 2=−12是原分式方程的解，所以原方程的解为x 1＝1，x 2=−12．⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0，设y ＝x 2﹣x ，则原方程为y 2﹣5y +6＝0，解得：y ＝3，或y ＝2，当y ＝3，x 2﹣x ＝3，x 1=x 2=当y ＝2，x 2﹣x ＝2，解得：x 3＝2，x 4＝﹣1；所以原方程的解为x 1x 2x 3＝2，x 4＝﹣1．【题型6 用适当的方法解一元二次方程】【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0；（2）x 2﹣2x ﹣15＝0．【分析】（1）等式左边可提取公因式（x +4），转化为（x +4）（x ﹣1）＝0求解；（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x +3）（x ﹣5）＝0，由此可得同解方程x +3＝0或x ﹣5＝0，据此求解．【解答】解：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0，将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，即x+4＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1．（2）x2﹣2x﹣15＝0，将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝5．【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程（1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．【分析】（1）利用公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，x所以x1=x2=（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．（x+1）（x+1﹣3）＝0，x+1＝0或x+1﹣3＝0，所以x1＝﹣1，x2＝2．【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，则x ﹣3＝0或x +2＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣2；（2）∵4（x ﹣1）2＝9（x ﹣5）2，∴4（x ﹣1）2﹣9（x ﹣5）2＝0，∴[2（x ﹣1）+3（x ﹣5）][2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）]＝0，则2（x ﹣1）+3（x ﹣5）＝0或2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）＝0，解得x 1＝13，x 2=175．【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．（1）2x （x ﹣1）＝3（x ﹣1）；（2）12x 2﹣5＝0．【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程移项得：2x （x ﹣1）﹣3（x ﹣1）＝0，分解因式得：（x ﹣1）（2x ﹣3）＝0，所以x ﹣1＝0或2x ﹣3＝0，解得：x 1＝1，x 2=32；（2）方程整理得：x 2＝10，配方得：x 2+8＝18，即（x 2＝18，开方得：x =解得：x 1=x 2＝﹣【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =±当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =±所以原方程的根为x 1=x 2=x 3x 4=以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，当y＝3时，x2＝3，解得：x=±当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是x1=x2=【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1=x2=x3＝2，x4＝﹣2．以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；（2）已知实数a满足（a2+2﹣3a2＝2的值．【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2=−1 2，再把y＝2和−12分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）设y ＝a 2y 2﹣3y ﹣10＝0，运用因式分解法解得y 1＝﹣2，y 2＝5，再把y ＝5代y ＝a 2得到a 2+5，即可求得a 2＝52的值．【解答】解：（1）设y ＝x 2+3x ，则2y 2﹣3y ﹣2＝0，则（y ﹣2）（2y +1）＝0，解得y 1＝2，y 2=−12，当x 2+3x ＝2，即x 2+3x ﹣2＝0时，解得x =当x 2+3x =−12，即x 2+3x +12=0时，解得x =综上所述，原方程的解为x 1=x 2x 3x 4=（2）（a 2+2﹣3a 2＝a 22﹣3（a 2﹣10＝0，设y ＝a 2+y 2﹣3y ﹣10＝0，则（y +2）（y ﹣5）＝0，解得y 1＝﹣2，y 2＝5，当y ＝﹣2时，则a 2+=−2，无意义，舍去；当y ＝5时，则a 2+5，得到a 2＝5∴2=53﹣故2的值为3﹣【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x +y ﹣3）（x +y +4）＝﹣10，求x +y 的值．解：设t ＝x +y ，则原方程变形为（t ﹣3）（t +4）＝﹣10，即t 2+t ﹣2＝0∴（t +2）（t ﹣1）＝0得t 1＝﹣2，t 2＝1∴x +y ＝﹣2或x +y ＝1已知（x 2+y 2﹣4）（x 2+y 2+2）＝7，求x 2+y 2的值．【分析】根据举例进行解答即可．【解答】解：设t ＝x 2+y 2＞0∴（t ﹣4）（t +2）＝7t 2﹣2t ﹣15＝0，解得：t 1＝5，t 2＝﹣3（舍去）∴x 2+y 2＝5．【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0．解：设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0．解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5．所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．上述解法称为“整体换元法”．（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x ﹣5）2﹣（2x ﹣5）﹣2＝0；（2）已知x 2﹣xy ﹣y 2＝0，求x y 的值．【分析】（1）先设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，运用因式分解法解得y 1＝2，y 2＝﹣1，再把y ＝2和﹣1分别代y ＝2x ﹣5得到关于x 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，可得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，类似（1）的减法可得x y 的值．【解答】解：（1）设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，解得y 1＝2，y 2＝﹣1，当y ＝2时，即2x ﹣5＝2，解得x ＝3.5；当y ＝﹣1时，2x ﹣5＝﹣1，解得x ＝2．所以原方程的解为x 1＝3.5，x 2＝2；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，解得m 1m 2∴x y 的值为【题型8 配方法的应用】【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a ，b ，c 满足a 2+2b ＝7，b 2﹣2c ＝﹣1，c 2﹣6a ＝﹣17，则a +b ﹣c 的值为（ ）A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．故选：A．【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（ ）A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴a2+ab﹣b2＝（b+2）2+b（a﹣b）＝b2+4b+4+2b＝b2+6b+4＝（b+3）2﹣5，∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．故选：A．【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝+则a+b+c的值是 ．【分析】先将条件配方成)2)2)2=0，根据完全平方式的非负性求出a、b和c的值即可．【解答】解：∵a+b+c+3＝++∴+++1=0，即)2)2)2=0，1＝0=0=0，解得a＝1，b＝5，c＝3．∴a+b+c＝1+5+3＝9．故答案为：9．【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据上面的方法解决下列问题：（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论；（2）将多项式重新分组，改写成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9，∴当m＝2时，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．故答案为：﹣9；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．故答案为：5．。
最新人教版九年级数学上册 解一元二次方程 同步习题(解析版)
解一元二次方程 同步习题一、选择题1.一元二次方程2x2＋6x ＋3= 0 经过配方后可变形为（ ）A. (x +3)2 =6B. (x −3)2 =12C. (x +32)2=34D. (x −32)2=154 2.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A. x 2−x +14=0 B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0D. x2-2x=03.已知x1 ， x2是方程x2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）A. 5B. 10C. 11D. 134.已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于 x 的一元二次方程 x 2−6x +k +2=0 的两个根，则k 的值等于 ( )A. 7B. 7或6C. 6或−7 D. 65.已知矩形的长和宽是方程 x 2−7x +8=0 的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）A. 6B. 7C. √41D. √33二、填空题6.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1 ，x2 ，则1x1+1x2的值为________．7.若关于x的一元二次方程x²-4x+m=0没有实数根，请写出一个满足条件的m 的值________。
8.三角形两边的长分别是8cm和15cm，第三边的长是方程x2﹣24x+119=0的一个实数根，则三角形的面积是________．9.已知α，β是方程x2−3x−2=0的两个实数根，则α2−3α−αβ的值为________．10.方程组{x+y=3xy=2的根是________三、计算题11.解方程：（1）(x+2)2=4(自选方法)（2）2x²-x-1=0(配方法)、（3）x²-1=4x(公式法)（4）x²-1=2x+2(因式分解法)12.小明同学在解一元二次方程3x2-8x(x-2)=0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2-8x(x-2)=0解：3x-8x-2=0…………第一步-5x-2=0………………第二步-5x=2……………………第三步x=- 25……………………第四步小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程。
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 专题练习题(含答案,教师版)
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 专题练习题专题1 一元二次方程的解法1．用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0；解：3x 2＝27，x 2＝9，x ＝±3，∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)2(3x －1)2＝8.解：(3x －1)2＝4，3x －1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝－13.2．用配方法解下列方程：(1)x 2－2x ＋5＝0；解：x 2－2x ＝－5，x 2－2x ＋1＝－5＋1，(x －1)2＝－4<0，∴原方程无解．(2)14x 2－6x ＋3＝0.解：x 2－24x ＋12＝0，(x －12)2＝132，x－12＝±233，∴x1＝233＋12，x2＝－233＋12.3．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝0；解：x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0.∴x1＝0，x2＝3.(2)(x－3)2－9＝0；解：∵(x－3)2－32＝0，∴(x－3＋3)(x－3－3)＝0，即x(x－6)＝0.∴x＝0或x－6＝0.∴x1＝0，x2＝6.(3)2(t－1)2＋8t＝0；解：原方程可化为2t2＋4t＋2＝0.∴t2＋2t＋1＝0.∴(t＋1)2＝0.∴t1＝t2＝－1.(4)x2－3x＝(2－x)(x－3)；解：原方程可化为x(x－3)＝(2－x)(x－3)．移项，得x(x－3)－(2－x)(x－3)＝0.∴(x－3)(2x－2)＝0.∴x －3＝0或2x －2＝0.∴x 1＝3，x 2＝1.(5)x 2－4x －12＝0.解：分解因式，得(x －6)(x ＋2)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－2.4．用公式法解下列方程：(1)3x 2－2x ＋1＝0；解：∵a ＝3，b ＝－2，c ＝1，b 2－4ac ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，∴原方程无实数根．(2)x 2－23x ＋2＝0；解：∵a ＝1，b ＝－23，c ＝2，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×2＝4，∴x ＝－（－23）±22×1＝3±1. ∴x 1＝3－1，x 2＝3＋1.(3)3x ＝2(x ＋1)(x －1)． 解：将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝11>0，224∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224. 5．用合适的方法解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0；解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，即(7x －16)(－3x ＋4)＝0.∴x 1＝167，x 2＝43. (2)5(x －3)2＝x 2－9；解：5(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，移项，得5(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.∴(x －3)[5(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(4x －18)＝0.∴x －3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92. (3)t 2－22t ＋18＝0. 解：方程两边都乘8，得8t 2－42t ＋1＝0.∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0.2×84∴t 1＝t 2＝24. 6．阅读材料：为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2.∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5.∴x ＝± 5.故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：(x 2＋x)2－5(x 2＋x)＋4＝0；(3)请利用以上知识解方程：x 4－3x 2－4＝0.解：(2)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0.∴(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4.①当x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝－1±52； ②当x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时，解得x ＝－1±172. 综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－172.(3)设x 2＝y ，则y 2＝x 4，原方程化为y 2－3y －4＝0，解此方程，得y 1＝4，y 2＝－1.∵y ≥0，∴y ＝4.当y ＝4时，x 2＝4，解得x 1＝2，x 2＝－2.专题2 根的判别式及根与系数的关系的综合1．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B)A ．1B ．2C ．1或2D ．02．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)若1α＋1β＝－1，求m 的值． 解：(1)由题意知，(2m ＋3)2－4×1×m 2≥0，解得m ≥－34. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.∵1α＋1β＝－1，∴α＋βαβ＝－1. ∴－（2m ＋3）m 2＝－1. 变形得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝－1，m 2＝3.经检验，m 1＝－1和m 2＝3是原分式方程的解．由(1)知m ≥－34，∴m 1＝－1应舍去． ∴m 的值为3.4．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③，联立①③，解得x 1＝2，x 2＝4.∴8＝m ＋4.∴m ＝4，满足m ≤5；当x 2＜0时，有3x 1＝－x 2＋2④，联立①④，解得x 1＝－2，x 2＝8(不合题意，舍去)．∴m 的值为4.5．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝19，求m 的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)根据题意，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.(x1－1)(x2－1)＝19整理，得x1x2－(x1＋x2)＋1＝19.把x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5代入x1x2－(x1＋x2)＋1＝19，得m2＋5－2(m＋1)＋1＝19.整理，得m2－2m－15＝0.解得m1＝－3，m2＝5.∵由Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，得m≥2，∴m1＝－3不合题意，应舍去．∴m的值为5.(2)若等腰△ABC的腰长为7，把x＝7代入方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m1＝4，m2＝10.若m＝4，则原方程为x2－10x＋21＝0，解得x1＝7，x2＝3.△ABC三边为7，7，3(符合题意)．若m＝10，则原方程为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15.△ABC三边为7，7，15(不合题意，舍去)．若等腰△ABC的底边长为7，则Δ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)＝8m －16＝0，解得m ＝2.原方程为x 2－6x ＋9＝0.解得x 1＝x 2＝3.△ABC 三边为3，3，7(不合题意，舍去)．综上可知：△ABC 三边为7，7，3，周长为7＋7＋3＝17，即这个三角形的周长为17.专题3 一元二次方程的实际应用1．印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？解：设有x 只猴子，由题意，得(18x)2＋12＝x ， 整理，得x 2－64x ＋768＝0，解得x 1＝16，x 2＝48.答：这群猴子的总数为16只或48只．2．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m ，宽(AB)9 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m 2，则小路的宽应为多少？解：设小路的宽应为x m ，根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112.解得x 1＝1，x 2＝16.∵16＞9，∴x ＝16不符合题意，舍去．∴x ＝1.答：小路的宽应为1 m.3．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，设南瓜种植面积的增长率为x.(1)则今年南瓜的种植面积为10(1＋x)亩；(用含x 的代数式表示)(2)如果今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，今年南瓜的总产量为60 000 kg ，求南瓜亩产量的增长率．解：根据题意，得10(1＋x)×2 000(1＋x 2)＝60 000， 整理，得x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1＝100%，x 2＝－4(不合题意，舍去)．∴12x ＝50%. 答：南瓜亩产量的增长率为50%.4．某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x ，根据题意，得2.5(1＋x)2＝3.6.解得x ＝0.2，x ＝－2.2(不合题意舍去)．答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.(2)设再增加y 个销售点，根据题意，得3.6＋0.32y ≥3.6×(1＋20%)，解得y ≥94. 答：至少再增加3个销售点．5．如图，在直角墙角AOB(OA ⊥OB ，且OA ，OB 长度不限)中，要砌20 m 长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的面积为96 m 2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？解：(1)设AC ＝x m ，则BC ＝(20－x)m ，由题意，得x(20－x)＝96，整理，得x 2－20x ＋96＝0，解得x 1＝12，x 2＝8.当AC ＝12时，BC ＝8；当AC ＝8时，BC ＝12.答：矩形地面的长为12 m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖：120.8×80.8＝15×10＝150(块)， 150×50＝7 500(元)；②若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖：121×81＝96(块)， 96×80＝7 680(元)．∵7 500＜7 680，∴选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少．6．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元/台)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000. ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000，整理，得x 2－130x ＋4 000＝0，解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元/台，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应是50万元/台．7．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x ＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价多少元？解：(1)设一次函数关系式为y ＝kx ＋b ，当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140.∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100.(2)由题意，得(60－40－x)(10x ＋100)＝2 090，解得x 1＝1，x 2＝9.∵让顾客得到更大的实惠，∴x ＝9.答：商贸公司要想获利2 090元，且让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价9元．8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，BC ＝8 cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 边以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以4 cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t s.(1)若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值； (2)△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．解：(1)根据题意，得S △PCQ ＝12×2t(16－4t)，S △ABC ＝12×8×16＝64. ∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的14， ∴12×2t(16－4t)＝64×14. 整理，得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.答：当t ＝2 s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14. (2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 面积相等时，则S △PCQ ＝12S △ABC ，即12×2t(16－4t)＝64×12， 整理，得t 2－4t ＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0，∴此方程没有实数根．∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．。
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九年级上一元二次方程的解法(不解方程判别根的情况）同步练习含答案
第1章一元二次方程
1.2一元二次方程的解法（5）
【基础提优】
1．若关于x 的一元二次方程022=++k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）
A ．1<k
B ．1
>k C ．1=k D ．0≥k 2．若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
（）
A ．1->k
B ．1<k 且0
≠k C ．1-≥k 且0≠k D ．1->k 且0
≠k 3．对于任意实数k ，关于x 的一元二次方程012)1(222=-+-+-k k x k x 的根的情况为
（）
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
4．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（
）A ．0
132=+-x x B ．012=+x C ．0
122=+-x x D ．0322=++x x 5．若关于x 的一元二次方程032)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是（
）A ．2B ．1
C ．0
D ．1-6．若关于x 的一元二次方程022=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是
．7．已知关于x 的一元二次方程0322=+-k x x 有两个相等的实数根，则k 的值是．
8．若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，则k 的取值范围是．
9．已知关于x 的一元二次方程022=++m x x ．
（1）当3=m 时，判断方程的根的情况；
（2）当3-=m 时，求方程的根．
10．已知关于x 的一元二次方程01)3(2
=++++m x m x ．求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．【拓展提优】
1．已知关于x 的方程01)1(2=--+x k kx ，则下列说法正确的是（
）A ．当0=k
时，方程无解B ．当1=k
时，方程有一个实数解C ．当1-=k
时，方程有两个相等的实数解
D ．当0≠k 时，方程有两个不相等的实数解
2．已知关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值
范围是（）
A ．2-<k
B ．2
<k C ．2>k 且1≠k D ．2<k 且1
≠k 3．如果关于x 的一元二次方程01122=++-
x k kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（
）A ．2
1<
k B ．21<k 且0≠k C ．11<≤-k D ．11<≤-k 且0≠k 4．已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图像如图所示，则关于x 的一元二次方程012=-++k bx x 的根的情况是（）
A ．没有实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定5．已知关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，则m 的值为．
6．若关于x 的一元二次方程012=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
．
7．如果关于x 的方程0)2(22=+++a x a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是
．
8．若041=-+
-a b ，且关于x 的一元二次方程02=++b ax kx 有两个实数根，则k 的取值范围是．
9．已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
参考答案
【基础提优】
1-5ADCAC
6．1
-7．3
8．3
1-≥k 且0≠k 9．解：（1）当3=m 时，0842<-=-ac b ，所以原方程无实数根．
（2）当3-=m 时，11=x ，3
2-=x 10．证明：044)1(422>≥++=-m ac b 恒成立，所以无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
【拓展提优】
1-4CDDC
5．26．4
1<
k 且0≠k 7．1
-≥a 8．4≤k 且0≠k 9．解：（1）5<k ；（2）2=k。