河南省商丘市第一高级中学2021-2022高二数学下学期期末考试试题 理

河南省商丘市第一高级中学2021-2022高二数学下学期期末考试试
题 理
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．
第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡
上．
２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干
净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合}31|{},06|{2
≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M ( ) A.]2,1[ B.)2,1[ C.]3,2（ D.]3,2[ 2.已知△ABC 中，“4
π
=
∠A ”是“2
2
sin =
A ”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件 3.在复平面内,复数
i 32i
15
-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )
A.10
B. 9
C.8
D. 4 5.已知
是等差数列
的前项和,若
,
,则
=6S ( )
A.40
B.80
C.36
D.57
6.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下
面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为() A.
325 B. 61 C. 16
5
D.以上都不对
7.己知抛物线x y 42
=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两条
渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( )
A.3
B. 2
C. 2
D. 5
8.设随机变量)9,1(~N X ，且)1(0(-≥=≤a X P X P ）
，则实数a 的值为（ ） A.2 B. 3 C. 4 D. 5
9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有
()()
2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22
f c -=-，则( )
A ．a c b << B. a b c << C. c b a << D. b c a
<<
10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，23459
4
a a a a +++=，则
23451111a a a a +++= ( )
A.1
B. 34-
C. 3-
D. 1
3
11.已知12,F F 为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得
线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )
A ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．12,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．10,3⎛⎤
⎥⎝⎦ 12.已知函数2ln 2,0
()3,02
x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对
称的点在21y kx =-的图像上,则实数的取值范围是（ ）
A.)83
,41( B. )21,41( C. )21,61( D. )1,4
1( 第II 卷（非选择题，共90分）
注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知函数x x x f 2ln )(+=,则不等式2)3(2<-x f 的解集为_______.
14.已知1x >-，则函数()()521
x x y x ++=
+的最小值为________.
15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2
:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若
命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 16.设函数)(),(x g x f 分别是定义在
上的奇函数和偶函数,且x
x g x f 2)()(=+,若对
]2,2
1
[∈x ,不等式0)2()(≥+x g x af 恒成立,则实数a 的取值范围是__________.
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A b B a cos 3sin =． (1)求角A 的大小；
(2)设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．
18.如图
与都是边长为的正三角形,平面
平面
,
平面
,
.
(1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
19.已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左.右焦点分别为32||,,2121=F F F F ，直线l 与
椭圆C 交于B A ,两点,且4||||21=+AF AF (1)求椭圆C 的方程；
(2)若B A ,两点关于原点O 的对称点分别为B A '',,且 90=∠AOB ,判断四边形B A AB ''是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.
20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收
在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.
（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？
（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ξ为“植株死亡”的数量，求ξ得分布列和期望ξE ；
②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求ηD .
2()0.150.100.050.0250.0100.0050.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.6357.87910.828
P K k k
≥
参考数据：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
21.已知函数x x a ax x f ln )2()(2--+=.
(1)若函数)(x f 在1=x 时取得极值,求实数a 的值；
(2)当10<<a 时,求)(x f 零点的个数.
选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程
22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==t
y t x 442
(其中为参数).以坐标原点O 为
极点,
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为
015sin 82=+-θρρ.
(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程; (2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4
π
的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22B C A C +的值.
23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；
(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.
高二数学（理科）试卷参考答案
一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
A
D
B
D
C
C
B
A
C
A
B
二．填空题
13. )2,3()3,2( -- 14. 9 15. 12=-≤a a 或 16. [2,)+∞-2 三.解答题：
17.解：（1）sin =3cos a B b A ．由正弦定理可得：sin sin =3cos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan 3A =(0,)A π∈，所以3
A π
=
．........6分
（2）因为3
A π
=
，ABC ∆的面积为13
33sin 24
bc A =
=，解得12bc =......8分
由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=， 当且仅当23b c ==时等号成立．
综上，边a 的取值范围为[23,)+∞．...........12分 18.取CD 中点O ,连OM OB ,,则CD OM CD OB ⊥⊥,, 又平面⊥MCD 平面BCD ,则⊥MO 平面BCD ,........1分 以O 为原点,直线OM BO OC ,,为轴,
轴,轴,建立空间直角坐标系如图,
3==OM OB ,则各点坐标分别为
)0,0,0(O ,)0,0,1(C ,)3,0,0(M ,)0,3,0(-B ,)32,3,0(-A ,2分
(1)设),,(z y x n =是平面MBC 的法向量,则)3,3,0(),0,3,1(==BM BC , 由BC n ⊥得03=+y x ;由BM n ⊥得033=+z y ,..........4分 取)1,1,3(--=n ,则距离5
15
2|
|=
=
n n BA d ..............6分 (2))32,3,1(),3,0,1(--=-=CA CM ,,
设平面
的法向量为),,(1111z y x n =,
由CM n ⊥1得0311=+-z x ;由CA n ⊥1得0323111=+--z y x ,......9分 取)1,1,3(1=n ,又平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n , 则5
1
|
|||,cos 111=
>=
<n n n ,.....11分 设所求二面角为θ,则5
5
2cos 1sin 2=
-=θθ......12分 19. (1)因为32||21=F F ,所以3c =因为直线l 与椭圆C 交于,两点,且
12||4||AF AF =-,所以12||||4AF AF +=,所以24a =,解得2a =,所以2221b a c =-=,
所以椭圆的方程为14
22
=+y x ......4分
(2)①当直线l 的斜率k 存在时,设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由22
14
y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得
222(41)8440k x kmx m +++-=,222222644(41)(44)16(41)
k m k m k m ∆=-+-=+-,.....6分
所以1222
1228414441km x x k m x x k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,,因为
90=∠AOB ,所以OB OA ⊥,0=⋅OB OA ,即 222222
2
2
2
12121212222448544(1)()(1)0
414141
m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++,.....8分
所以22
44
5k m +=,所以原点O 到直线l 的距离2||2551
m d k ==
+..........9分 根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为
25
5
,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为224
5
x y +=
......10分 ②当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x n =,不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上.下交点,则
22(4)(4)(,),(,)22
n n A n B n ---,由
,得
,2
2
404
n n --=,解得
245
n =
, 所以此时原点
到直线的距离为
25
5
.根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为
25
5
,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为
2245
x y +=
. .综上可知,四边形
存在内切的定圆,且该定圆的方程为224
5
x y +=
......12分
20.(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，
635
.6934.5515713)13412(202
2
<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K
所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有
关.………6分
①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，
所以抽取的3
株中ξ的可能取值是2,3. 其中53)2(3
524===C C P ξ， 5
2
)3(3534===C C P ξ………………8分
ξ的分布列为： 所以5
5352=⨯+⨯=ξE .………10分
②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为5
32012==
p 332
~(1000,)(1)10002405
55
B D np p ηη⇒=-=⨯⨯= ………………12分
21.(1))(x f 定义域为)0(∞+，,x
ax x x x a ax x f )
1)(12(1)2(2)(-+=
--+=', 由已知,得0)1(='f ,解得1=a ,.....2分 当1=a 时,x
x x x f )
1)(12()(-+=
',
所以,100)(<<⇔<'x x f ,,10)(>⇔>'x x f ,所以)(x f 减区间为)10(，,增区间为
)1(∞+，,.....4分
所以函数)(x f 在1=x 时取得极小值,其极小值为0)1(=f ,符合题意,所以1=a ......5分
(2)令0)1)(12()(=-+=
'x ax x x f ,由,10<<a ,得,11
>=a
x .....6分
所以a x x f 100)(<<⇔<',a x x f 1
0)(>⇔>',
所以)(x f 减区间为)10(a ，,增区间为)1
(∞+，a ,
所以函数)(x f 在a x 1=时取得极小值,其极小值为a
a a f 1
1ln )1(-+=,.....8分
因为10<<a ,所以0ln <a ,11
>a
,
所以011<-a ,所以01
1ln )1(<-+=a a a f ,
因为021212)1(2>+-=+->+-+=e
e
a e a e a e a e f ,
根据零点存在定理,函数)(x f 在)1
0(a
，上有且仅有一个零点,.....10分
因为x x ln >,)3()2(ln )2()(22-+=--+>--+=a ax x x x a ax x x a ax x f ,
令03>-+a ax ,得a a x ->3,又因为10<<a ,所以a
a a 1
3>-, 所以当a a x ->3时,0)(>x f ,根据零点存在定理,函数)(x f 在)1
(∞+，a
上有且仅有一个
零点,
所以,当10<<a 时,)(x f 有两个零点......12分
22.(1)曲线C 1的参数方程为2
44x t y t
⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x =......2分
曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分
(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分
代入24y x =可知2
2320t t ++=4,.....8分
因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分
23. (1)⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分 当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,
当211≤
≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]21
0(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,2
1
(,
综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分
(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则
max ])([32x x f a -≥-,.....6分
令⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分
则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。