高中数学导数与积分知识点复习过程
(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结
高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义：设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。
f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3．基本常见函数的导数:n①C '=0;（C 为常数）②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。
高中数学中的导数与微积分知识点
高中数学中的导数与微积分知识点一、导数的概念与性质1.1 导数的定义导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数在某一点的局部性质。
设函数f(x)在点x=a处的导数为f’(a)，则有：f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx当Δx趋近于0时，上式表示函数f(x)在点x=a处斜率的变化。
1.2 导数的性质（1）导数具有局部性，即在某一点的导数仅与函数在该点附近的性质有关，与函数在其他地方的取值无关。
（2）导数具有连续性，即在连续函数上的导数存在且连续。
（3）导数具有单调性，即单调递增或单调递减函数的导数非零。
（4）导数与函数的极值密切相关，极值点处的导数为0。
二、基本求导公式与导数的应用2.1 基本求导公式（1）幂函数求导：(x n)′=nx n−1（2）指数函数求导：(a x)′=a x lna（3）对数函数求导：(lnx)′=1x（4）三角函数求导：（5）反函数求导：若y=f(x)，则x=g(y)的导数为g′(y)=1f′(x)2.2 导数的应用（1）求函数的极值：设函数f(x)在点x=a处导数为0，且在a附近单调性发生改变，则f(a)为函数的极值。
（2）求函数的单调区间：当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
（3）求曲线的切线方程：设切点为(x0, y0)，切线斜率为k ，则切线方程为y −y0=k(x −x0)。
（4）求曲线的弧长：设曲线参数方程为{x =x(t)y =y(t)，则曲线弧长为L =∫√1+[y′(t)]2b a dt 。
（5）求曲面的面积：设曲面参数方程为{x =x(s,t)y =y(s,t)z =z(s,t)，则曲面面积为S =∫∫√1+[ðz ðs ]2+[ðz ðt ]2d c b a dsdt 。
三、微积分的基本定理与应用3.1 微积分的基本定理微积分的基本定理指出，一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在这个区间上的一个原函数的值。
高中数学微积分知识点
高中数学微积分知识点一、导数的概念与运算。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 函数y = f(x)的导数f^′(x)，y^′或(dy)/(dx)，f^′(x)=limlimits_Δ x→0(f(x + Δ x)-f(x))/(Δ x)。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
3. 基本初等函数的导数公式。
- C^′=0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′=-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′=e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)（x>0）4. 导数的运算法则。
- (u± v)^′=u^′± v^′- (uv)^′=u^′v + uv^′- ((u)/(v))^′=frac{u^′v - uv^′}{v^2}(v≠0)二、导数的应用。
1. 函数的单调性。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，则y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，则y = f(x)在这个区间内单调递减。
2. 函数的极值。
- 设函数y = f(x)在点x_0处可导，且在x_0处取得极值，那么f^′(x_0) = 0。
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.导数知识点总结复习经典例题剖析 考点一：求导公式。
高中数学《导数的四则运算法则》知识点讲解及重点练习
5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点 导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－ ＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程． 解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析 由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析 设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积． 解 由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， 所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2， 所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析 因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析 因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)． 所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝ 解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析 因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________． 答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析 因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
(完整版)高中数学导数与积分知识点.docx
高中数学教案—导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（ 1）导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（ 2）导数的运算2， y=x3， y=1/x ，y=x 的导数；① 能根据导数定义求函数y=c ， y=x， y=x② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f （ ax+b））的导数；③ 会使用导数公式表。
（ 3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（ 4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（ 5）定积分与微积分基本定理① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（ 6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中" 数学文化 " 的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值.三．要点精讲1．导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有增量x ，那么函数y相应地有增量y =f（x0 + x）－ f （ x 0），比值y叫做函数 y=f （ x ）在 x 0到 x 0 +x 之间的平均变化率，即xy f ( x0x) f ( x0 ) x=x。
高中数学导数经典说课稿复习过程
一、关于教学目的的确定：对导数这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学生没有学习过极限概念，对导数概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般、数形结合思想的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段”；“概念建立阶段”；“概念巩固阶段”。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）“概念探索阶段”1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触导数这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生从熟悉的物理知识入手，以物体的平均速度变化趋势的观点无限逼近的思想理解瞬时速度，从而发现导数的过程；②使学生形成对导数的初步认识；③使学生了解学习概念的导数必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
①温故知新由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。
然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n 为自变量的、定义域为自然数集的函数n a 的解析式。
高中数学导数与积分知识点归纳总结
高中数学导数与积分知识点归纳总结在高中数学中，导数和积分是两个重要的概念。
它们在计算和解决数学问题时起着关键作用。
以下是导数和积分的一些核心知识点的总结。
导数导数可以理解为函数在某一点的变化率。
它描述了函数在不同点的斜率或曲线的切线。
以下是导数的一些重要知识点：1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) =lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]。
2. 导数的计算：使用导数的定义，我们可以通过求极限来计算导数。
另外，还有一些常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
3. 导数的性质：导数具有一些重要的性质，如线性性、乘法法则、除法法则和链式法则等。
这些性质可以简化导数计算的过程。
4. 高阶导数：除了一阶导数外，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的曲率和曲线的变化情况。
积分积分可以理解为函数的累积总和。
它是导数的逆运算，可以用来计算曲线下面的面积或实现函数的反向操作。
以下是积分的一些重要知识点：1. 定积分：定积分是指对函数在给定区间上的积分。
定积分的计算可以使用黎曼和或牛顿-莱布尼茨公式等方法。
2. 不定积分：不定积分是指对函数求积分得到的含有任意常数的函数。
不定积分可以通过求导的逆运算来计算。
3. 积分的性质：积分具有一些重要的性质，如线性性、换元法、分部积分法等。
这些性质可以简化积分计算的过程。
4. 定积分的应用：定积分在几何学、物理学和经济学等领域有广泛的应用。
它可以用来计算曲线下的面积、质心、弧长以及求解各种实际问题。
以上是高中数学中导数和积分的一些核心知识点的归纳总结。
导数和积分在数学的不同领域中都具有重要的应用价值，例如计算、物理学、工程学等。
希望这份总结对您的学习和应用有所帮助。
二次函数的导数和积分的复习
二次函数的导数和积分的复习二次函数是高中数学中的重要概念，它在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对二次函数的导数和积分进行复习，并帮助读者提升对这两个概念的理解。
1. 二次函数的导数二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
为了求二次函数的导数，我们可以利用导数的定义或者使用求导法则。
下面以求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的导数为例进行说明：a) 利用导数的定义根据导数的定义，函数 f(x) 在某一点 x 处的导数 f'(x) 可以通过极限的方式得到：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h将函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 代入公式，我们可以得到：f'(x) = lim(h→0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) + 1 - (2x^2 + 3x + 1)] / h= lim(h→0) [2(x^2 + 2xh + h^2) + 3x + 3h + 1 - 2x^2 - 3x - 1] / h= lim(h→0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h + 1 - 2x^2 - 3x - 1] / h= lim(h→0) [4xh + 2h^2 + 3h] / h= lim(h→0) 4x + 2h + 3 = 4x + 3因此，函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的导数为 f'(x) = 4x + 3。
b) 使用求导法则对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以利用求导法则简化计算过程。
首先，根据求导法则，我们知道对于任意常数 a，有 d/dx(ax^n) = anx^(n-1)。
因此，二次函数的导数可以按照这个法则进行计算。
对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，我们可以将它拆分为三个部分，然后分别对每个部分求导：f(x) = 2x^2 + 3x + 1 = 2x^2 + 3x + 1∴ f'(x) = d/dx(2x^2) + d/dx(3x) + d/dx(1) = 4x + 32. 二次函数的积分二次函数的积分也是高中数学中的重要内容之一。
高中数学选修22导数与定积分复习资料
课题：导数及其定积分【课前思考】1.曲线的割线的斜率与切线的斜率有什么关系？2.变速运动在某一时刻的瞬时速度的含义是什么？3.如果一个函数的导数处处为零,这个函数是什么函数？4.函数)(x f y =的导数与在0x 处的导数有什么区别？有什么联系？5.商()()xx f x x f ∆-∆+与x 有关吗？令0→∆x ,x 是否保持不变？6.①u k y 1=,又x k u 2=,能写出y 与x 的函数关系吗？能根据'u y 与'x u 写出'x y 吗？ ②设)(),(x g u u f y ==,能写出y 与x 的函数关系吗？能根据'u y 与'x u 写出'x y 吗？7.什么叫曲边梯形？8.⎰ba dx 1的几何意义是什么？ 一、知识要点 1.导数的概念——⑴定义:设函数)(x f y =在0x 附近有定义,当自变量0x x =处有增量x ∆时, 函数)(x f y =相应地也有增量y ∆.如果当0→∆x 时,xy∆∆有极限,就说这个函数)(x f y =在0x x =处可导,并把这个极限叫做函数)(x f y =在0x x =处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00000'limlim)(. 如果函数)(x f 在点0x 处可导,则函数)(x f 在0x 处连续.⑵如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每一点处都可导,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)('x f ,从而构成了一个新的函数)('x f ,称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的可导函数,记作)('x f 或'y ：⑶几何意义:导数)(0'x f 的几何意义是曲线)(x f y =在点())(,00x f x P 处的切线PT 的斜率k ;也就是说,曲线)(x f y =在点())(,00x f x P 处的切线PT 的斜率)(0'x f k =.相应地))(()(00'0x x x f x f y -=-瞬时速度就是位移函数)(t s 对时间t 的导数. 2.导数的计算—— ⑴几个常见函数的导数①'C 0=（其中C 为常数）； ②2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ; ()x x 21'=； ③1')(-=n n nx x)(Q n ∈⑵导数的运算法则①'''()u v u v ±=±. ②'''()uv u v uv =+. ③'''2()(0)u u v uv v v v-=≠通过②可以得出[])()(''x cf x cf = ④)]([x g f y =的导数'''x u x u y y ⋅=,（其中)(x g u =）.3.定积分——⑴直线0),(,=≠==y b a b x a x 和曲线)(x f y = ①求曲边梯形的面积的步骤:分割→近似→求和→取极限.②求变速直线运动物体在某段时间运动的路程的步骤: 分割→近似代替→求和→取极限.如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,用分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110,将区间],[b a 分成n 个小区间,在每个小区间],[1i i x x -上取一点),,2,1(n i i =ξ,作和式∑∑==-=∆ni i ni i i f n ab x f 11)()(ξξ,当+∞→n 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分,记作⎰b a dx x f )(,即∑⎰=+∞→-=n i i n b a f n ab dx x f 1)(lim )(ξ.这里a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间],[b a 叫做积分区间,函数)(x f 叫做被积函数,x 叫做积分变量,dxx f )(叫做被积式.①⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf )()(,（k 为常数） ③⎰⎰⎰+=bc ca ba dx x f dx x f dx x f )()()(，（其中)bc a <<为常数） 4.微积分基本定理——一般地,如果)(x f 是区间],[b a 上的连续函数,并且)()('x f x F =,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.常常记作abx F a F b F )()()(=-,即有:当对应的曲边梯形位于x 轴上方时,定积分的取值为正值,且等于曲边梯形的面积;当对应的曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的取值为负值,且等于曲边梯形的面积的相反数;当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时,定积分的值为0,且等于位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积.:做变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数)0)()((>=t v t v v 在时间区间],[b a 上的定积分,即⎰=ba dt t v s )(;如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动,并且物体沿着与)(x F 相同的方向从a x =移动到)(b a b x <=,则变力)(x F 所做的功⎰=ba dx x F W )(.二、金典例题题型一:导数的几何意义及其应用【☞例1】⑴曲线33+-=x x y 在点)3,1(处的切线方程为. ⑵过原点作曲线x e y =的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.点评:求曲线在某一点的切线方程,首先需要判断该点是否在曲线上.若点不在切线上,需设切点坐标,然后构建方程(组)求解.题型二:导数的运算【☞例2】求下列函数的导数点评:运用导数的求导法则与导数公式求可导函数的导数,一般先分析函数的结构特点进行化简后再选择合适的求导法则与导数公式求导;对多项式相乘的函数求导,可先计算后求导,也可根据导数的乘法法则直接求导.题型三:利用定积分求平面图形的面积【☞例3】计算由22,x y x y ==所围成的图形的面积.点评:一般步骤:画图→确定图形范围,求出交点横坐标,定积分上下限→确定被积函数→写出平面图形的定积分表达式→运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.三、基础过关1.已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1,3）,则b 的值为（ ）A.3 B.-3 C.5 D.-52.一质点做直线运动,由始点经过t s 后的路程为t t t s 3263123+-=,则速度为0的时刻是（ ）A.4s 末B.8s 末C.0s 末或8s 末D. 4s 末或8s 末3.已知函数x x x x f cos sin )(+=,则)2('πf 的值为（ ）A.2π B.0 C.-1 D.14.过曲线23-+=x x y 上的点0P 的切线平行于直线14-=x y ,则切点0P 的坐标为（ ） A.(0，-1)或(1，0) B.(1，0)或(-1，-4) C.(-1，-4)或(0，-2) D.(1，0)或（2.8）5.如图,直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成的图形未面积相等的两部分,求k 的值.四、课堂小结与作业高考对本节内容的考查以选择和填空题型为主,考查形式有两种:一种是利用导数求切线方程;另一种是利用微积分基本定理进行计算.故在复习时,要做到对导数与微积分概念的充分理解,且能灵活应用导数的几何意义与微积分基本定理解决简单的相关问题.【作业】1.如图,由曲线2x y =和直线)1,0(,,1,02∈===t t y x x 所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（ ）A.32 B.31 C.21 D.41 2.已知函数2ln )(bx x a x f -=的图象上一点))2(,2(f P ,点P 处的切线方程为22ln 22++-=x y ,求b a ,的值.。
高考数学复习知识点讲解教案第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算
− e ,即 =
= e,所以 e, 1 ,
.
e
由曲线 = ln 的对称性，知另一条切线的方程为 =
− .
e
[总结反思]
（1）曲线 = 在点 0 , 0 处的切线方程为 − 0 = ′ 0 − 0 ;
（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
1.变化率与导数
（1）
概念
几何意
义
平均变化率：
0 +Δ − 0
Δ
对于函数 = ,把比值
=________________叫作函数
= 从
Δ
Δ
平均
0 到0 + Δ的_______变化率
斜率
函数 = 在区间[0 , 0 + Δ]上对应的图象的两端点连线的_______
=− +1
sin
π
3.［教材改编］ 曲线 =
在点 π, 0 处的切线方程为______________.
[解析] 由题得′ =
则切线方程为 =
cos −sin
，∴
2
1
−
π
切线的斜率 = ′|=π =
− π ，即 =
−
π
+ 1.
1
− ，
π
题组二 常错题
◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆′ 0 与[ 0 ]′;忽视
2
2cos
−
2
2sin
= 2cos 2.
5.已知
=
2
−8
+ 3′ 2 ，则 2 =_____.
【高中数学】微积分基础：函数的导数与积分
【高中数学】微积分基础：函数的导数与积分一、函数的导数及其基本性质函数的导数是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在高中数学课程中，我们学习了函数的导数的定义和求导法则，并应用它们解决问题。
1.1 导数的定义设函数y = f(x)，若极限lim（h→0）[f(x+h) - f(x)] / h存在，则称此极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。
1.2 导数与可导性若函数f(x)在点x处可导，则必存在于该点处连续。
但反过来不成立，即函数连续未必可导。
1.3 基本求导法则常见的求导法则包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等：- 常数函数C（C为常数），其导数为零：d/dx[C] = 0.- 幂函数y = x^n（n为整数），其导数为：d/dx[x^n] = nx^(n-1).- 指标为e的指数幂函数y = e^x，其导数为：d/dx[e^x] = e^x.- 对ln|x|求导得到：d/dx[ln|x|] = 1/x.- 三角函数sin x, cos x, tan x的导数分别为：d/dx[sin x] = cos x, d/dx[cos x] = -sin x, d/dx[tan x] = sec^2 x.二、函数的积分及其基本性质函数的积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积变化量。
在高中数学课程中，我们学习了函数的积分的定义和求积分法则，并应用它们解决问题。
2.1 不定积分与定积分对于函数y = f(x)，若存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。
而不定积分（indefinite integral）则是指原函数F(x)加上任意常数C：∫f(x)dx = F(x) + C.定积分（definite integral）表示在某一区间[a, b]上，对f(x)进行求和。
记作：∫[a,b]f(x)dx.2.2 基本求积法则常见的求积法则包括线性相加性、常微元代换和换元法等：- 线性相加性：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx.- 常微元代换：若能找到t关于x而言可导，且dt/dx=f(x)，则∫f(x)dx = ∫dt.- 换元法：根据复合函数的求导法则，将积分区间[x1, x2]上的f(x)dx变量替换成g(t)dt，再进行计算。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结1.导数的定义-函数f在a点可导的充分必要条件是：存在一个常数k，使得当自变量趋于a时，函数值与f(a)之差与自变量与a之差的比值的极限等于k。
这个常数k就是函数f在a点的导数。
- 导数的定义公式为：f'(x) = lim (f(x + △x) - f(x))/△x(△x→0)2.导数的基本运算法则- 常数法则：如果c是常数，那么dc/dx = 0-乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2- 链式法则：如果y = f(u)且u = g(x)，那么dy/dx = dy/du *du/dx3.导数与函数的关系-函数f在点x=a处可导，则函数f在点x=a处连续。
-可导函数必定在其可导区间内连续，但是连续函数未必可导。
-导数存在的充分必要条件是函数在该点连续且有极限。
4.常见函数的导数- 幂函数：y = x^n，则y' = nx^(n-1)- 指数函数：y = a^x，则y' = a^x * ln(a)- 对数函数：y = ln(x)，则y' = 1/x- 三角函数：sin x的导数是cos x，cos x的导数是-sin x，tan x 的导数是sec^2x5.导数的几何意义-导数表示函数在其中一点上的切线的斜率。
-导数的绝对值表示函数在该点的变化速率，正表示增加，负表示减小。
6.导数的应用-求函数的极值点：对导数函数进行分析，找到其零点。
-求函数的单调区间：根据导数的正负性，确定函数在哪些区间上是增函数或减函数。
-求函数的最大值最小值：结合极值点和边界点来进行判断。
-求曲线的切线和法线：根据导数和函数在其中一点上的数值来确定切线和法线的斜率。
7.高阶导数和导数的计算-高阶导数表示对函数的导数进行多次求导的结果。
高中《导数》知识点总结
高中《导数》知识点总结导数是高中数学中的一个重要概念，它用于描述函数在其中一点处的变化率。
在一个数学函数中，每一个点都有一个导数，它告诉我们函数在该点的变化速度。
一、导数的定义与计算方法导数的定义：对于函数y=f(x)，如果函数在点x处有导数，则导数定义为f'(x)=lim(h→0)[(f(x+h)-f(x))/h]。
导数的计算方法：常用的导数运算法则有：常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数的导数、反函数的导数等。
二、基本初等函数的导数1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数y=x^n，当n≠0时，导数为y'=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：对于指数函数y=a^x，导数为y'=a^x*ln(a)。
4. 对数函数的导数：对于对数函数y=log_a(x)，导数为y'=(1/x)log_a(e)。
5. 三角函数的导数：正弦函数的导数为y'=cos(x)，余弦函数的导数为y'=-sin(x)，正切函数的导数为y'=sec^2(x)。
三、导数的几何意义及几何应用导数的几何意义：导数表示了函数曲线在其中一点处的切线的斜率。
导数的几何应用：导数可以用于求切线和法线方程，可以用于确定函数的单调性和极值点，可以用于求曲线的凹凸性和拐点。
四、函数的增减性与极值1.函数的增减性：如果一个函数在区间内的导数大于0，则函数在该区间内是递增的；如果一个函数在区间内的导数小于0，则函数在该区间内是递减的。
2.极值与最值：函数在极值点上的导数为0或不存在，导数由正变负时，函数有极大值，即局部最大值；导数由负变正时，函数有极小值，即局部最小值。
五、函数的单调性与事件点1.函数的单调性：函数在区间内的导数大于0，则函数在该区间内是单调递增的；如果导数小于0，则函数在该区间内是单调递减的。
2.事件点：函数的极值点、拐点和不可导点称为函数的事件点。
高考数学中的导数与微积分知识点
高考数学中的导数与微积分知识点高中数学中微积分是相对于初中数学而言的一块难度较大的章节。
微积分作为一门基础而重要的学科，贯穿于数学的各个方面，也是后来物理学、工程学、经济学等学科中必不可少的工具。
微积分研究对象是连续函数和曲线的极限、函数的导数、不定积分及其应用等内容，是从静态的变为动态的、从离散的变为连续的、从局部的变为全局的数学思想方法。
下面我们就从高考数学中的导数与微积分知识点入手，来深入了解微积分这一科目。
一、导数的基本概念导数是微积分的基础，一是为了让函数更加灵敏地反映自变量变化的规律，二是为求出函数在某些点的变化率及曲线的切线斜率提供了数学工具。
导数不仅是微积分的基础概念，而且是数理化、力学、电学和经济学等很多学科的基础。
导数的定义：函数$f(x)$在点$x_0$处可导，当且仅当$f(x)$在点$x_0$处的左、右导数存在，且两个导数相等。
定一函数$f(x)$在$x_0$处的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中$\Delta x$是自变量$x$的增量，$\Delta y$是因变量$y$的增量。
而$\Delta x$趋于$0$的过程，也就是点$x_0$周围越来越小的邻域内，自变量$x$的变化量趋近于$0$时，$f(x)$在点$x_0$处的左、右导数相等、存在时，就称该函数在点$x_0$处可导，其导数为左右导数的公共值。
如果左、右导数存在且相等，则称$f(x)$在 $x_0$处导数存在。
二、导数的基本性质为了更好地理解导数的概念，我们可以从以下几个角度入手，了解导数的基本性质：1. 如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)$在点$x_0$处连续。
2. $f(x)$在其定义域内是连续函数，则$f(x)$在该定义域内必然可导。
高中数学导数知识点归纳复习课程
高中数学导数知识点归纳复习课程
高中数学导数知识点归纳复习课程可以包括以下内容：
1. 导数的定义：导数的基本定义，函数在某一点的导数，函数在
一段区间上的导数。
2. 导数的基本性质：和差乘除法则，常数倍法则，幂函数法则，
指数函数和对数函数法则，复合函数法则。
3. 导数的几何意义：切线和法线的斜率，函数的单调性与导数的
关系，曲线的凹凸性与导数的关系。
4. 高阶导数：二阶导数与二阶导数的几何意义，n阶导数的定义与性质。
5. 隐函数求导：隐函数的定义与性质，求解隐函数的导数。
6. 反函数与反函数求导：反函数的定义与性质，求解反函数的导数。
7. 参数方程求导：参数方程的定义与性质，求解参数方程的导数。
8. 相关变化率：导数与增量的关系，相关变化率的表示与性质，
相关变化率的应用。
9. 导数在优化问题中的应用：函数的极值与导数的关系，极值问
题的求解。
10. 泰勒展开与近似计算：泰勒展开的基本思想与公式，泰勒展开
的应用。
高中数学：常用导数推导过程
高中数学：常用导数推导过程今天讲一下高中常用导数的推导过程，再讲之前，我们再复习一遍导数的定义。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx 时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
要记住通用推导方法：(f(x+Δx)-f(x))/Δx=f′(x)y=C，y'=0。
过程：f '(x)=(C)'y'=lim[h->0] {[f(x+h)-f(x)]/h}=lim[h->0] {[f(x)-f(x)]/h}=0（1）y=a x，y'=a x lna（2）y=e x，y'=e x过程（1）：y'=lim[h->0] [(a x+h-a x)/h]=lim[h->0] [a x(a h-1)/h]=a x·lim[h->0] {1/[1/(a h-1)]·log a(1+a h-1)}=a x·lim[h->0] (1/log a e)=a x lna过程（2）：y'=lim[h->0] [(e(x+h)-e x)/h] =lim[h->0] [e x(e h-1)/h]=e x（1）y=lnx，y'=1/x（2）y=log a x，y'=1/xlna 过程（1）：先证一个结论lim[h->0] [ln(1+h)/h]=lim[h->0] [ln(1+h)(1/h)] =1因此ln(1+h)与h等价等价无穷小可替换y'=lim[h->0] {[ln(x+h)-lnx]/h} =lim[h->0] {(1/h)·ln[(x+h)/x]} =lim[h->0] {(1/h)·ln[(1+h)/x]} =lim[h->0] [(1/h)·(h/x)]=1/x过程（2）：换底公式log a x=lnx/lna∵(lnx)'=1/x∴y'=1/(xlna)y=x n，y'=nx(n-1)过程：y'=lim[h→0] [f(x+h)-f(x)]/h=lim[h→0] [(x+h)n-x n]/h=lim[h→0] [(x+h-x)·[(x+h)n-1+(x+h)n-2·x+...(x+h)x n-2+x n-1]/h=x n-1+(x)n-2·x+...+x·x n-2+x n-1=nx n-1y=sinx，y'=cosx过程：y'=lim[h→0] {[sin(x+h)-sinx]/h}和差化积=lim[h→0] [2cos(x+h/2)sin(h/2)/h]等价无穷小=cosxy=cosx，y'=sinx过程：y'=lim[h→0] {[cos(x+h)-cosx]/h}和差化积=lim[h→0] {[-2sin(x+h/2)sin(h/2)]/h} 等价无穷小=-sinx▍ ▍▍。
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高中数学教案—导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3，y=1/x ，y=x 的导数；② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数；③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5．导数的应用（1）一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数； （2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
6．定积分 （1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f1＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋C（m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe ＋C ；⎰dx a x＝aa xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C（表中C 均为常数）。
（2）定积分的性质①⎰⎰=ba badx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±bab abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
四．典例解析题型1：导数的概念例1．已知s=221gt ，（1）计算t 从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。
解析：（1）[]t t ∆=-=∆,1.031.3,1.3,3指时间改变量； .3059.03211.321)3()1.3(22=-=-=∆g g s s s s ∆指时间改变量。
059.313059.0==∆∆=t s v 。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小，ts∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→∆t 时，ts∆∆的极限， V=0lim→∆x t s∆∆=0lim →∆x =∆-∆+ts t s )3()3(0lim→∆x t g t g ∆-∆+22321)3(21 =g 21lim →∆x （6+)t ∆=3g=29.4(米/秒)。
例2．求函数y=24x的导数。
解析：2222)()2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆-=-∆+=∆，22)(24x x x xx x y ∆+∆+⋅-=∆∆，∴00limlim→∆→∆=∆∆x x x y⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-22)(24x x x x x =-38x 。
点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。
题型2：导数的基本运算例3．（1）求)11(32x x x x y ++=的导数； （2）求)11)(1(-+=xx y 的导数；（3）求2cos 2sinxx x y -=的导数； （4）求y=xx sin 2的导数；（5）求y ＝xx x x x 9532-+-的导数。
解析：（1）2311x x y ++=Θ,.2332'x x y -=∴ （2）先化简,2121111-+-=-+-⋅=xx xx xx y∴.112121212321'⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=--x x x x y（3）先使用三角公式进行化简.x x x x x y sin 212cos 2sin -=-=.cos 211)(sin 21sin 21''''x x x x x y -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∴（4）y ’=x x x x x 222sin )'(sin *sin )'(-=xxx x x 22sin cos sin 2-； （5）Θy ＝233x －x ＋５－219-x∴y ’＝３*（x 23）＇－x ＇＋５＇－９21(x ）＇＝３*2321x －１＋０－９*（－21）23-x ＝1)11(292-+xx 。