2023-2024学年安徽省高一下学期期中联考数学模拟试题

2023-2024学年安徽省高一下册期中联考数学模拟试题

一、单选题

1．若复数z 满足()2i i z ⋅-=（i 是虚数单位），则z =（）

A ．12i

55

+B ．12i

55

-C ．12i

55

-+D ．12i

55

--【正确答案】C

【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出答案.【详解】由已知可得，()()()i 2i i 2i 112i 2i 2i 2i 555

z +-====-+--+.故选：C.

2．正ABC 的边长为1，则AB BC ⋅=

（

）

A ．1

2

B ．12

-

C ．

2

D ．【正确答案】B

【分析】根据cos a b a b θ⋅=

，但要注意向量夹角的定义．

【详解】1

11cos1202

AB BC ⋅=⨯⨯︒=- ．

故选：B ．

3．

一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15︒，与灯塔S 相距a 海里，随后货轮按北偏西30︒

的方向，以每小时20海里的速度航行30分钟后到达N 处．又测得灯塔在货轮的东北方向，

则=a （）

A ．20

B ．40

C ．40-

D ．40+

【正确答案】A

【分析】由题意得出MN ，SNM ∠，MSN ∠，再由两角和的正弦公式求出sin105︒，根据正弦定理即可求出a 的值．

【详解】由题可知，20

0.510

MN =⨯=，4560105SNM ∠=︒+︒=︒，

180105(3015)30MSN ∠=︒-︒-︒+︒=︒，

由两角和的正弦公式得：

sin105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 604

︒=︒+︒=︒︒+︒︒=

，在MNS 中，由正弦定理得：

sin sin MN SM MSN SNM =∠∠，即10sin30sin105a =

，解得20a =，故选：A ．

4．如图，在正六边形ABCDEF 中，DE AF CB BE +--= （

）

A ．0

B ．AD

C ．BE

D ．CF

【正确答案】A

【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解.

【详解】由已知BE BA AF FE =++

，

所以DE AF CB BE DE AF C BA AF B FE +--=+---- .

所以B D E A FE E AF CB BE D CB +--=--- ，又,DE BA CB FE ==- ，

所以0

DE AF CB BE +--= 故选：A.

5．已知圆锥的顶点为

A ，过母线,A

B A

C 的截面面积是若,AB AC 的夹角是60︒，且母线AC 的长是高的2倍，则该圆锥的体积是（）

A ．()

6πB ．C ．D ．

【正确答案】B

【分析】由已知可推得圆锥的母线l =，h .作出圆锥的轴截面，即可得出底面圆的半径

r .

【详解】设圆锥的母线长是l ，过母线,AB AC 的截面即为ABC ，

由已知可得2

1sin 602

ABC S l =︒= l =

所以高h =作出圆锥的轴截面如下图AMN 为等腰三角形，底面圆的圆心为O ，半径r ON =，

如图有AN l ==AO h =ON =r =

所以该圆锥的体积是2

211

ππ33

h V r ⨯

==⨯.

故选：B.

6．已知向量a 是非零向量，b

是单位向量，,a b 的夹角为120︒，且()

a a

b ⊥+ ，则a b -=r r （

）

A ．

2

B ．

34

C ．

14

D ．1

2

【正确答案】A

【分析】由已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出1

2

a = .然后根据数量积的运算律，展开

2

a b - ，即可得出答案.

【详解】因为()a a b ⊥+

，所以()

0a a b ⋅+= ，

即20a a b +⋅=

，即221cos1202

0a a b a a +⋅︒=-= .

因为0a ≠ ，所以12

a = ，

所以2222a b a a b b -=-⋅+ 11172114224⎛⎫

=-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭

，

所以，2

a b -= .

故选：A.

7．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，

水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为(0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（

）

A ．

B ．25

-

C ．35

-

D ．45

-

【正确答案】B

由题意知()

2120,v v v +⋅=

由向量数量积的定义可得选项.

【详解】由题意知()

2120,v v v +⋅= 有2212||c ||os 0,v v v θ+= 即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5

θ=-，

故选：B ．

本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.

8．设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且

1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则此直三棱柱的表面积是（

）

A ．16+

B ．8+

C ．8+

D ．16+

【正确答案】D

【分析】设12AB AC AA m ===，由题意计算得ABC 外接圆的半径2r m =，从而计算出外接球的半径，根据球的表面积公式求得m 的值，从而得三棱柱各棱长，再利用三棱柱的表面积公式计算即可.

【详解】设12AB AC AA m ===，因为120BAC ∠= ，所以30ACB ∠= .

于是

22sin30

m

r =

（r 是ABC 外接圆的半径），2r m =.又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长1AA 的一半，

=.

所以球的表面积为)

2

4π40π⋅

=，解得

m =