陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第2章 数列极限【圣才出品】

不能随便舍去。
（2）数列极限
设{xn}是一给定数列，a 是一个实常数。如果对于任意给定的 ε>0，可以找到正整数
N，使得当 n>N 时，成立
|xn－a| < ε，
则称数列{xn}收敛于 a（或 a 是数列{xn}的极限），记为
有时也记为
如果不存在实数 a，使{xn}收敛于 a，则称数列{xn}发散。 注：在上述的收敛定义中，ε 既是任意的，又是给定的： ①只有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N。这时 ε 是给定的； ②改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。这时 ε 是任意的； （3）无穷小量 在收敛的数列中，称极限为 0 的数列为无穷小量。无穷小量是一个变量，而不是一个
（1）定义
，则{xnyn}与 都是无穷大量。
如∞±∞，（+∞）-（+∞），（+∞）+（-∞），0·∞，
等极限，其结果可以是无穷
小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。我们称这种类型的极限为待定型。
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（2）如果数列{xn}满足 xnxn+1，n=1，2，3，…，则称{xn}为单调增加数列；若进一
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max S 是这有限个数中的最大数，min S 是这有限个数中的最小数；
②当 S 是无限集时，最大数及最小数不一定存在。
3．上确界与下确界
（1）上界、下界与有界集
设 S 是一个非空数集，如果 M∈R，使得 x ∈S ，都有 x≤M，则称 M 是 S 的一个
但它并不收敛。
（3）数列的保序性
设数列{xn}，{yn}均收敛，若 时，成立
=a．
=b，且 a<b，则存在正整数 N，当 n>N
xn <yn
推论：①若
，则存在正整数 N，当 n>N 时，
；
②若
，则存在正整数 N，当 n>N 时，
（4）极限的夹逼性（夹逼定理）
若三个数列 ， ， ,从某项开始成立 xn≤yn
“非常小的量”。根据数列极限的定义，可直接得到 小量。
2．数列极限的性质 （1）极限的惟一性
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是无穷
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收敛数列的极限必惟一。
（2）数列的有界性
收敛数列必有界。
注：此定理逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如，{（－1）n}是有界数列，
x1，x2，...，xn，...
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十万种考研考证电子称为该数列的通项。
注：数列与数集的区别：在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成
是同一个元素；在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不能颠倒，重复出现的数
上界；如果 m∈ R，使得 ∈S，都有 x≥ m，则称 m 是 S 的一个下界。当数集 S 既有
上界，又有下界时，称 S 为有界集。显然
S 为有界集 X>0，使得 ∈S，有|x| ≤ X。
（2）上确界的性质
任何小于 β 的数都不是数集 S 的上界，即 >0， x∈S，使得 x>β－ε。
（3）下确界的性质
步满足 xn<xn+1，n=1，2，3，…，则称{xn}为严格单调增加数列。
（3）斯托尔茨定理
设{yn}是严格单调增加的正无穷大量，且
（a 可以为有限量，+∞与-∞），
则
四、数列的收敛准则 1．单调有界数列收敛定理 单调有界数列必定收敛。 2．π 和 e π 和 e 是两个重要的无理数，有以下两个重要极限：
任何大于 α 的数都不是数集 s 的下界，即 >0， x∈S，使得 x<α+ε。
（4）重要定理
①确界存在定理——实数系连续性定理
非空且有上界的数集必有上确界；非空且有下界的数集必有下确界。
②非空有界数集的上（下）确界是惟一的。
二、数列极限 1．数列与数列极限 （1）数列 数列是指按正整数编了号的一串数：
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第 2 章 数列极限
2.1 复习笔记
一、实数系的连续性 1．实数系 （1）若一个集合中的任意两个元素进行了某种运算后，所得的结果仍属于这个集合， 则称该集合对这种运算是封闭的。 （2）全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集。即：R={x | x 是有理数或无 理数}。 （3）整数系 Z 具有“离散性”，有理数系 Q 具有“稠密性”。 （4）实数系的连续性，从集合角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”， 因而 R 又被称为实数连续统。 2．最大数与最小数 （1）定义 ①最大数 设 S 是一个数集，如果 ∈S，使得 x ∈ S，有 x ≤ ξ，则称 是数集 S 的最大数， 记为 ξ=max S。 ②最小数 如果 η∈S，使得 x ∈ S，有 x ≥ η，则称 η 是数集 S 的最小数，记为 η=min S。 （2）存在性 ①当数集 S 是非空有限集，即 S 只含有有限个数时，max S 与 min S 显然存在，且
成立，则称
数列 是无穷大量，记为 若采用符号表述法，“数列
。 是无穷大量”可表示为：
如果无穷大量 从某一项开始都是正的（或负的），则称其为正无穷大量（或负无穷
大量），统称为定号无穷大量，分别记为 （2）无穷大量与无穷小量之间的关系
（或
）。
设 xn≠0，则 是无穷大量的充分必要条件是 （3）设 是无穷大量，若当 n>N 时，
是无穷小量。 成立，则
是无穷大量。
（4）无穷大量的运算性质 ①同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，异号无穷大量之差是无穷大量，其符 号与被减无穷大量的符号相同； ②无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量； ③同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无穷大量。
（5）设{xn}是无穷大量， 2．待定型
。 ≤zn,，n>N，且
，则
。
3．数列极限的四则运算
设
，
（1）
（2）
（3）
，则 （α，β 是常数）；
； 。
三、无穷大量 1．无穷大量
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（1）定义
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若对于任意给定的 G>0，可以找到正整数 N，使得当 n>N 时，