基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)

2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)
一、单选题(共13题；共65分)
1．（5分）若a >0，b >0，则“a +b =1”是“1a +1
b
≥4”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．（5分）已知直线ax +by −1=0(ab >0)过圆(x −1)2+(y −2)2=2022的圆心，则1a +1b
的最小值为（ ） A ．3+2√2
B ．3−2√2
C ．6
D ．9
3．（5分）已知正实数a 、b 满足a +b =2，则4b +1
a
的最小值是（ ）
A ．72
B ．92
C ．5
D ．9
4．（5分）已知m >0，n >0，命题p ：2m +n =mn ，命题q ：m +n ≥3+2√2，则p 是q 的
（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为 a ，从乙地到甲地的平均速度为 b(a >b >0) ，他往
返甲乙两地的平均速度为 v ，则（ ） A ．v =a+b 2
B ．v =√ab
C ．√ab <v <a+b 2
D ．b <v <√ab
6．（5分）设 a >0 ， b >0 ，则“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1b
≥1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7．（5分）已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +1y
的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
8．（5分）已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，则1c +4a
的最小值为
（ ） A ．-4
B ．4
C ．8
D ．-8
9．（5分）已知直线ax+by+c−1=0(b，c>0)经过圆x2+(y−1)2=6的圆心，则4
b
+1c的最小值是（）
A．2B．8C．4D．9
10．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tanB的最大值为（）
A．√5
3B．√5
2
C．11√5
20
D．3√5
5
11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA=−√3，△ABC的面积为√3a，则bc的最小值为（）
A．16B．16√3C．48D．24√3
12．（5分）若a>0，b>0，且ln(2a)+lnb≥a2+b2−1，则a+b=（）
A．√2B．√3C．3√2
2D．5√3
2
13．（5分）已知正实数a，b满足a2+2ab+4b2=6，则a+2b的最大值为（）A．2√5B．2√2C．√5D．2
二、多选题(共5题；共25分)
14．（5分）已知a，b∈R，a>0，b>0，且a+b=2，则下列说法正确的为（）
A．ab的最小值为1B．log
2a+log
2
b≤0
C．2a+2b≥4D．1
a+2
b
≥2+√2
15．（5分）已知a，b∈R，则使“ a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（）
A．a2+b2>1B．|a|+|b|>1C．2a+2b>1D．4
a+b+1
b
>10
16．（5分）若−1<a<b<0，则（）
A．1
a>1
b
B．a2+b2>2ab C．a+b>2√ab D．a+1
a
>b+
1
b
17．（5分）已知2a=3b=6，则a，b满足（）
A．a<b B．1
a+1
b
<1C．ab>4D．a+b>4
18．（5分）已知正数a，b满足a2+b2=1，则（）A．a+b的最大值是√2B．ab的最大值是1
2
C．a-b的最小值是−1D．a
b−2的最小值为−√3 3
三、填空题(共5题；共30分)
19．（10分）如图，在 △ABC 中， ∠BAC =π3 ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若 △ABC 的面积为 4√3 ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m ＝ ， |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ．
20．（5分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a +c =4 ，且 sinA ，
sinB ， sinC 成等差数列，则 △ABC 的面积的最大值为 ．
21．（5分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若 AD =√2 ， CD =2 ， ∠D =3
4
π ， cosB =3
4
，则 △ABC 的面积的最大值为 ．
22．（5分）已知a ，b 为正实数，且 a +b =6+
1a +9
b
，则 a +b 的最小值为 ． 23．（5分）△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3，则AB −2AC 的取值范围
是 ．
四、解答题(共3题；共30分)
24．（10分）ΔABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若已知 asin
A+C
2
=bsinA ． （1）（5分）求角B 的大小；
（2）（5分）若 b =2√3 ，求 ΔABC 的面积的最大值．
25．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(tanA −sinC)(tanB −sinC)=
sin 2C ．
（1）（5分）求证：c 2=ab ；
（2）（5分）若a +b =3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．
26．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC=2a+ c．
（1）（5分）求∠B；
（2）（5分）若a+c=6，求BD的最小值．
答案解析部分1．【答案】A
【解析】【解答】解：当a+b=1时，
1 a+1
b
=(1a+1b)(a+b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅a b=4，
当且仅当b
a=a
b
，即a=b=1
2
时，取等号，
所以1
a+1
b
≥4，
当a=b=1
3时，1
a+
1
b
=6≥4，此时a+b=2
3
≠1，
所以“a+b=1”是“1
a+1
b
≥4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由a>0，b>0，a+b=1可得1
a+1
b
=2+b a+a b，根据基本不等式得1a+1b≥4，反之代
入特殊值即可得到答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1，2)；
∵直线ax+by−1=0(ab>0)过圆的圆心，∴a+2b=1(ab>0)；
∴1
a
+
1
b
=(a+2b)(
1
a
+
1
b
)=3+
a
b
+
2b
a
≥3+2√
a
b
⋅
2b
a
=3+2√2（当且仅当
a
b
=2b a，即a=√2b时
取等号），
∴1
a
+
1
b
的最小值为3+2√2.
故答案为：A.
【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得∴a+2b=1(ab>0)，由∴1
a +
1
b
=(a+2b)(
1
a
+
1
b
)，利用基本不等式可求得结果.
3．【答案】B
【解析】【解答】4
b
+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)≥12(4+5)=92，当且仅当4a b=b a时等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得4
b
+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)，再利用基本不等式求出4b+1a的最小值。

4．【答案】A
【解析】【解答】解：因为m>0，n>0，
由2m+n=mn，得1
m+2
n=1
，则m+n=(m+n)(1
m
+
2
n
)=3+
n
m
+
2m
n
≥3+2√2，
当且仅当{n
m=
2m
n
2m+n=mn
，即m=√2+1，n=2+√2时取等号，因此p⇒q；
因为m>0，n>0，由m+n≥3+2√2，可取m=1，n=10，
则2m+n=12，mn=10，此时2m+n≠mn，因此q⇏p，
所以p是q的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式计算出最值，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。

5．【答案】D
【解析】【解答】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
t1=s a，t2=s b，v=
2s
t1+t2
=
2s
s
a
+s
b
=
2
1
a
+1
b
，
∴v=
2
1
a
+1
b
>
2
1
b
+1
b
=b，v=21
a
+1
b
=
2ab
a+b
<
2ab
2ab
=√ab。

故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平均速度的求解方法，再结合均值不等式求最值的方法，进而得出b< v<√ab。

6．【答案】A
【解析】【解答】先证充分性成立，
∵a>0，b>0，a+b≤4，∴2√ab≤a+b≤4，得1
ab ≥14，则1
a+
1
b
≥2√1ab≥
2×√14=1，当且仅当a=b=2时等号成立，所以“ a+b≤4”是“ 1
a+
1
b
≥1”的充分条件；
再证必要性不成立，
由 a >0 ， b >0 ， 1a +1b ≥1 ，即令 a =14 ， b =4 ， 得 1a +1b =17
4>1 成立，但 a +b =17
4
>4 ， 所以“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1
b ≥1 ”的不必要条件；
综上，“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1
b
≥1 ”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用基本不等式，再结合充分条件、必要条件的定义进行判断，可得答案。

7．【答案】C
【解析】【解答】因BD 是△ABC 的中线，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，依题意，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，
则有AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，
因此，x =1−λ，y =1
2
λ，即x +2y =1，x >0，y >0，
所以2x +1y =(x +2y)(2x +1y )=4+4y x +x y ≥4+2√4y
x ⋅x y =8，当且仅当4y x =x y ，即x =2y =12
取
“=”，
所以2x +1
y 的最小值为8.
故答案为：C
【分析】因为点E 在线段BD 上，则由向量共线定理可设： BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)， 然后根据平面向量基本定理表示出向量AE →
，由此求出x ， y ，然后根据基本不等式即可求解出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】由于二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，
所以{a >0
Δ=4−4ac =0，所以ac =1，c >0，
所以1c +4a ≥2√1c ⋅4a
=4，
当且仅当1c =4a ，即a =2，c =1
2
时等号成立。

故答案为：B
【分析】由于二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，再结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，进而得出ac =1，c >0，再利用均值不等式求最值的方法，进而得出 1c
+
4
a
的最小值。

9．【答案】D
【解析】【解答】圆x 2+(y −1)2=6的圆心为(0，1)，
∵直线ax +by +c −1=0(b ，c >0)经过圆x 2+(y −1)2=6的圆心， ∴，b +c =1
4b +1c =(b +c)(4b +1c )=5+b c +4c b
≥5+2√b c ×4c b =9， 当且仅当{b +c =1b c =4c b ，即{b =2
3
c =13时取“等号”，
∴4b +1
c
的最小值是9， 故答案为：D
【分析】由直线经过圆心，可得b +c =1，再由4b +1c =(b +c)(4b +1c )，结合基本不等式即可求
解。

10．【答案】B
【解析】【解答】依题意sin 2C =2sin 2A −3sin 2B ， 由余弦定理得c 2=2a 2−3b 2，b 2=23a 2−1
3
c 2，
所以cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−23a 2+13c 22ac
=13a 2+43c 22ac =16⋅a 2+4c 2ac
≥16⋅2√a 2⋅4c 2ac =23
，当且仅当a =2c 时等号成立.
即B 为锐角，23≤cosB <1，49≤cos 2B <1，1<1cos 2B ≤9
4，
tan 2
B =sin 2B cos 2B =1−cos 2B cos 2B =1cos 2B
−1∈(0，54]，
所以tanB 的最大值为√52
.
故答案为：B
【分析】利用余弦定理化简已知条件，再用余弦定理表示cosB ，结合基本不等式求得cosB 的取值范围，从而求得tanB 的取值范围，也即求得tanB 的最大值.
11．【答案】C
【解析】【解答】因为0<A <π且tanA =−√3，则A =
2π
3
， 因为S △ABC =12bcsinA =√34
bc =√3a ，所以，a =bc 4，
由余弦定理可得(bc)2
16=a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2+bc ≥3bc ，所以，bc ≥48，
当且仅当b =c =4√3时，等号成立，故bc 的最小值为48. 故答案为：C.
【分析】 直接利用三角形的面积公式求出a =
bc
4
，进一步利用余弦定理和基本不等式求出答案. 12．【答案】A
【解析】【解答】令g(x)=x −lnx −1，g ′(x)=1−1x
，故g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上
单调递增，g(x)⩾g(1)=0，故g(x)=x −lnx −1⩾0，即x −1⩾lnx ，当且仅当x =1，等号成立．所以2ab −1⩾ln(2ab)=ln(2a)+lnb ，当且仅当2ab =1时，等号成立，又ln(2a)+lnb ⩾a 2+b 2−1，所以2ab −1⩾a 2+b 2−1，即(a −b)2⩽0，所以a =b ，又因为2ab =1，所以a =
√2
2，b =√
22
，故a +b =√2。

故答案为：A ．
【分析】令g(x)=x −lnx −1，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，则x −1⩾lnx ，再结合对数的运算法则，所以2ab −1⩾ln(2a)+lnb ，再利用ln(2a)+lnb ⩾a 2+b 2−1，所以a =b ，再结合2ab =1，进而得出a ，b 的值，从而得出a+b 的值。

13．【答案】B
【解析】【解答】因为(a+2b 2)2−2ab =(a−2b 2)2
≥0
， 所以 2ab ≤(a+2b 2
)2
，当且仅当a =2b 时等号成立，因为a 2+2ab +4b 2=6， 所以(a +2b)2−2ab =6，即(a +2b)2−6=2ab ，所以(a +2b)2−6≤(a+2b 2
)2，
即(a +2b)2≤8，因为a ，b 为正实数，所以a +2b >0，因此0<a +2b ≤2√2，a+2b 的最大值为
2√2，此时{a =√2
b =√22。

故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出a+2b 的最大值。

14．【答案】B,C
【解析】【解答】因为 a >0，b >0 ，由基本不等式可得 a +b ≥2√ab ，当且仅当 a =b 时等号
成立，
又 a +b =2 ，所以 ab ≤1 ，当且仅当 a =b =1 时等号成立，Ab 的最大值为1，A 不符合题意，
log 2a +log 2b =log 2ab ≤0 ，当且仅当 a =b =1 时等号成立，B 对， 2a +2b ≥2√22a
b
=2√2
a+b
=4 ，当且仅当 a =b =1 时等号成立，C 对，
1a +2b =12(a +b)(1a +2b )=12(3+2a b +b a
)≥12(3+2√2) ，当且仅当 a =2√2−2 ， b =4−2√2 时等号成立，D 不符合题意， 故答案为：BC.
【分析】利用对数的性质、基本不等式逐项进行分析判断，可得答案。

15．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A ，当 a =b =−1 时，满足 a 2+b 2>1 ，不满足 a +b >1 ，即 a 2+
b 2>1 推不出 a +b >1 ，不充分；
当 a =12，b =3
4
时，满足 a +b >1 ，不满足 a 2+b 2>1 ，即 a +b >1 推不出 a 2+b 2>
1 ，不必要；A 不符合题意；
对于B ，当 a =b =−1 时，满足 |a|+|b|>1 ，不满足 a +b >1 ，即 |a|+|b|>1 推不出 a +b >1 ，不充分；
当 a +b >1 时，平方得 a 2+2ab +b 2>1 ，又 (|a|+|b|)2=|a|2+2|ab|+|b|2≥a 2+2ab +b 2>1 ，又 |a|+|b|>0 ，故 |a|+|b|>1 ，
即 a +b >1 能推出 |a|+|b|>1 ，必要；B 符合题意；
对于C ，当 a =b =0 时，满足 2a +2b >1 ，不满足 a +b >1 ，即 2a +2b >1 推不出 a +b >1 ，不充分；
当 a +b >1 时，由 2a >0，2b >0 ， 2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b >2√2>1 ，即 a +b >1 能推出 2a +2b >1 ，必要；C 符合题意；
对于D ，当 a =b =1
2
时，满足 4a +b+1b >10 ，不满足 a +b >1 ，即 4a +b+1b >10 推不出
a +
b >1 ，不充分；
当 a =2，b =1 时，满足 a +b >1 ，不满足 4a +b+1b >10 ，即 a +b >1 推不出 4a +b+1b >
10 ，不必要；D 不符合题意. 故答案为：BC.
【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得答案。

16．【答案】A,B,D
【解析】【解答】A.因为−1<a <b <0，所以1>−a >−b >0，所以−
1a <−1b
，则1a >1
b ，故正确；
B. a 2+b 2≥2ab ，而a ≠b ，取不到等号，故正确；
C. 因为−1<a <b <0，所以a +b <2√ab ，故错误；
D. 因为−1<a <b <0，所以a +1a −b −1b =(a −b)(ab−1)ab >0，所以a +1a >b +1b ，故正确； 故答案为：ABD
【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用重要不等式判断；C.利用基本不等式的条件判断；D.利用作差法判断.
17．【答案】C,D
【解析】【解答】由2a =3b =6，则a =log 26， b =log 36，则a ＞0，b ＞0，
所以a −b =log 26−log 36=lg6lg2−lg6lg3=lg6(lg3−lg2)
lg2⋅lg3>0，则a >b ，所以A 不符合题意. 1a +1
b
=log 62+log 63=1，所以B 不正确. 由1=1a +1b >2√1ab
，(因为a ≠b ，故等号不成立)，则ab >4，C 符合题意.
a +
b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b >2+2√b a ×a b =4（因为a ≠b ，故等号不成立）
，D 符合题意. 故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式、作差比较大小的方法结合换底公式、对数的运算法则、均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。

18．【答案】A,B,D
【解析】【解答】由(a+b 2)2≤a 2+b 22
得a +b ≤√2，当且仅当a =b =√22时取等，A 符合题意； 由ab ≤a 2+b 22
得ab ≤12，当且仅当a =b =√
22时取等，B 符合题意；
由正数a ，b 及a 2+b 2=1知0<a <1，0<b <1，可得−1<−b <0，故−1<a −b <1，C 不符合题意；
令a
b−2=k ，则a =k(b −2)，两边同时平方得k 2(b −2)2=a 2=1−b 2，整理得(k 2+1)b 2−4k 2b +4k 2−1=0，又存在a ，b 使a
b−2=k ，故Δ=(−4k 2)2−4(k 2+1)(4k 2−1)=−12k 2+4≥
0，解得−√33≤k ≤√
33
，D 符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值测方法、不等式的基本性质、平方法和判别式法，进而找出正确的选项。

19．【答案】14
；√6 【解析】【解答】因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而 PD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16
AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为非零共线向量，故存在实数 λ 使得 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故 λ=4，m =14
， 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
|AP
⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2×18×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×12
，
△ABC 的面积为 4√3 ， 12×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×√32=4√3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16， 所以 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2≥2×14×12
×16+2=6，
当且仅当 |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2 时等号成立，故 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 √6 ； 故答案为： 1
4 ； √6 .
【分析】用AB →，AC →表示出CD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用两个向量共线可求出m ；求出|AP →
|2后利用基本不等式可求出 |AP
⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值 。

20．【答案】√3
【解析】【解答】解：因为 sinA ， sinB ， sinC 成等差数列，
所以 2sinB =sinA +sinC ，
由正弦定理可得 2b =a +c ，又 a +c =4 ，所以 2b =4 ，即 b =2 ，
所以由余弦定理可得 22=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −2accosB ，即 ac(1+cosB)=6 ，
又 22=a 2+c 2−2accosB ≥2ac −2accosB ，即 2≥ac(1−cosB) ，当且仅当 a =c 时等号成立，
所以 2×6≥ac(1−cosB)×ac(1+cosB) ，即 2×6≥(acsinB)2 ， 因为 sinB >0 ，所以 acsinB ≤2√3 ， 所以 S △ABC =12acsinB ≤√3 ，
所以 △ABC 的面积的最大值为 √3 . 故答案为： √3 .
【分析】由sinA ，sinB ，sinC 成等差数列，结合正弦定理可得2b =a +c ，进而可得b =2，由余弦定理结合基本不等式可得ac(1+cosB)=6，2≥ac(1−cosB)，从而根据△ABC 的面积公式即可求解.
21．【答案】5√
72
【解析】【解答】在 △ACD 中， AC 2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CDcos 3π4=2+4+2×√2×2×√
22
=
10 ，
在 △ABC 中，由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcosB ，
即 10=AB 2+BC 2−32AB ⋅BC ≥2AB ⋅BC −32AB ⋅BC =1
2
AB ⋅BC ，
当且仅当 AB =BC 时，等号成立，所以 AB ⋅BC ≤20 ，
又由 cosB =34 ，可得 sinB =√1−cos 2B =√
74
，
所以 △ABC 面积的最大值为 S =12AB ⋅BCsinB ==12×20×√74=5√
72
.
故答案为： 5√
7 .
【分析】在△ACD 中，由余弦定理求得AC 2=10，再在△ABC 中，由余弦定理和基本不等式，求得AB ⋅BC ≤20，结合面积公式，即可求解.
22．【答案】8
【解析】【解答】解：因为 a >0 、 b >0 且 a +b =6+
1a +9
b
， 所以 (a +b)2=(6+1a +9b )(a +b)=6(a +b)+10+b a +9a b
≥6(a +b)+10+2√b a ⋅9a
b =6(a +b)+16 当仅当 b a =9a b 时取等号，
即 (a +b)2−6(a +b)−16≥0 解得 a +b ≥8 或 a +b ≤−2 （舍去），当且仅当 a =2 、 b =6 时取等号； 故答案为：8
【分析】依题意可得(a +b)2=(6+1a +9
b
)(a +b)，再将右边利用基本不等式计算得到(a +b)2−
6(a +b)−16≥0，最后解一元二次不等式即可得解.
23．【答案】(−4√3，2√3)
【解析】【解答】设AB =c ，AC =b ，BC =a ，a ，b ，c 为正数，
依题意：△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3， 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得4AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 12=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=12+bc ①，
设z =AB −2AC =c −2b ，c =z +2b ，代入①得12=b 2+(z +2b)2−b(z +2b)， 整理得3b 2+3zb +z 2−12=0②，此方程至少有1个正根， 首先Δ=9z 2−12(z 2−12)≥0，解得−4√3≤z ≤4√3③，
在三角形ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccos120°=b 2+c 2+bc =12+2bc >0恒成立，
即12+2b(z +2b)>0恒成立，整理得z >−2b −6
b
恒成立，
由于−2b −6b =−(2b +6b )≤−2√2b ⋅6b
=−4√3，当且仅当2b =6
b ，b =√3时等号成立，
所以z >−4√3，结合③可得−4√3<z ≤4√3. 对于方程②：
若对称轴−3z
=−z =0，z =0，方程②变为3b 2−12=0，b =2，符合题意.
若对称轴−3z
3
=−z >0，z <0，则方程②至少有一个正根，符合题意，
若对称轴−3z
3
=−z <0，z >0，要使方程②至少有一个正根，则需z 2−12<0，解得0<z <2√3.
综上所述，z 也即AB −2AC 的取值范围是(−4√3，2√3). 故答案为：(−4√3，2√3)
【分析】设AB =c ，AC =b ，BC =a ，a ，b ，c 为正数，由2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 平方可得b 2+c 2=12+bc ①，设z =AB −2AC =c −2b ，c =z +2b ，代入①，化简可得3b 2+3zb +z 2−12=0②，由题意此方程至少有1个正根，由判别式可得−4√3≤z ≤4√3③，再由余弦定理得a 2=b 2+c 2+bc =12+2bc >0恒成立，得到z >−2b −6b
恒成立，由基本不等式得到
z >−4√3，结合③可得−4√3<z ≤4√3.再通过讨论−3z 3=−z =0，z =0；−3z
3=−z >0，z <
0；−
3z
3
=−z <0，z >0；即可解决问题。

24．【答案】（1）解：由 asin A+C
2
=bsinA 及正弦定理，得 sinAsin π−B
2=sinBsinA ，
⇒cos
B 2=sinB(sinA ≠0) ⇒cos B 2=2sin B 2cos B 2⇒sin B 2=12(cos B
2
≠0) ⇒B 2=π6⇒B =π3 ；
（2）解：由余弦定理有 cosB =12=a 2+c 2
−122ac
⇒12=a 2+c 2−122ac ≥2ac −122ac
⇒ac ≤12
⇒S =12acsinB ≤1
2×12×√32
=3√3 .
【解析】【分析】（1） 由 asin
A+C
2
=bsinA 及正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再利用诱导公式和二倍角的正弦公式，再结合三角形中角的取值范围，进而得出角B 的值。

（2）利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法，从而得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式得出三角形 ΔABC 的面积的最大值。

25．【答案】（1）证明：因为(tanA −sinC)(tanB −sinC)=sin 2C ，
所以tanAtanB −sinC(tanA +tanB)+sin 2C =sin 2C ，
所以tanAtanB =sinC(tanA +tanB)，即sinAsinB cosAcosB =sinC(sinA cosA +sinB cosB )，
两边同时乘cosAcosB ，可得sinAsinB =sinCsinAcosB +sinCsinBcosA ， 即sinAsinB =sinC(sinAcosB +sinBcosA)。

所以sinAsinB =sinCsin(A +B)， 因为sin(A +B)=sinC ，所以sinAsinB =sin 2C ， 由正弦定理可得ab =c 2，即c 2=ab .
（2）解：因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =bacosC ，
所以由余弦定理可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ba ⋅a 2+b 2
−c 22ab
=a 2+b 2
−c 22， 因为a +b =3，c 2=ab ，
所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)2
−2ab−c 22=9−3ab 2≥92−32⋅(a+b 2)2=98
， 当且仅当a =b =3
2时，等号成立，
所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为98.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再利用三角形内角和为180度的
性质和诱导公式，再结合正弦定理证出 c 2=ab 。

（2）利用已知条件结合数量积的定义和余弦定理以及c 2=ab ，再结合均值不等式求最值的方法得出
CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值。

26．【答案】（1）解：由2bcosC =2a +c ，
利用正弦定理可得：2sinBcosC =2sinA +sinC ， 2cosBsinC +sinC =0， ∵sinC ≠0，
∴cosB =−1
2，
∴B =2π
3
；
（2）解：由D 为AC 的中点，
∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴4BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =c 2+a 2+2accosB =(a +c)2−3ac ， 又∵a +c ≥2√ac ，∴ac ≤(a+c)2
4，
∴4BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2≥14
(a +c)2=9，
∴|BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥32
， 当且仅当a =c =3时，|BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值32
． 【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角即可求得cosB ，即可求解；
（2）由 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 平方可得4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +c)2−3ac ，再结合基本不等式即可求解。