初中数学课三角形的内角和及多边形内外角和(学生版)八年级上同步精品讲义(人教版)

第03课 三角形的内角和及多边形内外角和
课程标准
课标解读
1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．
2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题． 1.掌握三角形内角和定理的应用． 2.掌握三角形内角和定理的证明．
知识点01 三角形的内角
（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角. （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于
定理证明：三角形内角和是180°；
证明：如图，延长BC 到D ，过点C 作CE ∥AB ，
（3）三角形内角和定理的作用： ①
； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数； ③求一个三角形中各角之间的关系.
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知识精讲
知识点02 三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 . （2）特点：
①外角的顶点在三角形的一个顶点上；
②外角的一条边是三角形的一边；
③外角的另一条边是三角形某条边的 .
（3）性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个的和.
②三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.
知识点03 多边形
（一）多边形的定义：
在平面内，由一些线段组成的图形叫做多边形.
的多边形叫做正多边形；
注意：
是正多边形的必备条件，二者缺一不可.
如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
（二）多边形的对角线：
连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，n边形一共有条对角线.
（三）多边形的内角和公式：
n边形的内角和为；
内角和公式的应用：
（1）已知多边形的边数，求其内角和；
（2）已知多边形内角和，求其边数.
（四）多边形的外角和定理：
多边形的外角和等于.
外角和定理的应用：
（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点
知识点04 镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：
，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.
考法01 三角形的内角与外角
【典例1】若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44°，则此三角形的最大角是______.
【典例2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是_____．
【典例3】如图，AB CD
∥，75
B︒
∠=，27
E︒
∠=，则D
∠的度数为（）
A．45︒B．48︒C．50︒D．58︒
考法02 多边形内外交和及镶嵌
【典例4】已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【典例5】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
能力拓展
A．12B．10C．8D．6
题组A 基础过关练
1．在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）
A．15°B．55°C．65°D．75°
3．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=_________．
4．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）．
A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30°D．∠
A=
1
2
∠B=
1
3
∠C
5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（）
A．50°B．60°C．65°D．75°
6．正十边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
7．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45︒后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45︒后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）
A．100米B．80米C．60米D．40米
分层提分
8．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为（）
A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒
题组B 能力提升练
1．在ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）
A．必有一个角等于30B．必有一个角等于45︒
C．必有一个角等于60︒D．必有一个角等于90︒
2．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，设∠A=x°，用x的代数式表示∠BPC的度数，正确的是()
A．90+1
2
x B．90-
1
2
x C．90+2x D．90+x
3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()
A．180°B．360°C．540°D．720°
4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）
5．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360ºB．250ºC．180ºD．140º
6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠
7．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．
8．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是__
9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
题组C 培优拔尖练
1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）
A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7
2．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（）A．11B．12C．13D．14
3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）
A．180B．220C．240D．300
4．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．
5．阅读下列材料：
情形一：如图①，在ABC 中，沿等腰三角形ABC 的顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，若点B 与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”，如图②，在ABC 中，先沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，若点1B 与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”． 情形二：如图③，在ABC 中，先沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿11B AC ∠的平分线11A B 折叠，剪掉重复部分⋯重复折叠n 次，最终若点1n B -与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”，探究发现：(不妨设)B C ∠≥∠
()1如图①，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______． ()2如图②，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______． ()3如图③，若BAC ∠是
ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______．
应用提升：
()4如果一个三角形的三个角分别为15，60
，105，我们发现60和105的两个角都是此三角形的“好
角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角是12，求另外两个角的度
数．
6．阅读材料：
如图1，AB 、CD 交于点O ，我们把△AOD 和△BOC 叫做对顶三角形．
结论：若△AOD 和△BOC 是对顶三角形，则∠A +∠D ＝∠B +∠C ． 结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A +∠B +∠ACE +∠ADB +∠E 的度数． 解：连接CD ，由对顶三角形的性质得：∠B +∠E ＝∠1+∠2， 在△ACD 中，∵∠A +∠ACD +∠ADC ＝180°， 即∠A +∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A +∠ACE +∠B +∠E +ADB ＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题：
（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝ ； （2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G ＝ ； （3）如图③，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H ＝ ；
（4）如图④，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠M +∠N ＝ ； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
7．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置， （1）①若0
120,250∠=∠=，则C ∠= ； ②若042C ∠=，则12∠+∠= ；
③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由； （2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则
123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；
②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123
n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠+
+∠= ；
（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置， 探索C ∠、1∠与2∠之
间的数量关系，并说明理由.。