点到直线的距离教案公开课

点到直线的距离教案公开课
《点到直线的距离》教课设计
教课目的
（1）知识与技术：让学生起码掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线
的距离公式及其应用。

（2）过程与方法：培育学生察看、思虑、剖析、概括等数学能力；数形联合、综合应
用知识剖析问题解决问题的能力；研究能力和由特别到一般的研究问题的能力。

（3）感情态度与价值观：培育学生勤劳思虑、勇于研究解决问题的能力。

指引学生用
联系与转变的看法看问题，在团队合作研究解决问题的过程中获取成功的体验。

教课要点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用
教课难点：点到直线的距离公式的推导
教课方法：启迪指引法、议论法
学习方法：任务驱动下的研究性学习
教课工具：计算机多媒体、三角板
教课过程：
一、创建情境、提出问题
多媒体显示实质的例子：
如图 , 在铁路的邻近 , 有一大型库房，现要修筑一公路与之连结起来，那么如何设计能
使公路最短？
库房
铁路
这个实质问题要解决，要转变成什么样的数学识题？学生得出就是求点到直线的距离。

教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。

二、师生互动、研究新知
,y ）和一条定直线l： Ax+By+C=0，教师：假设在直角坐标系上，已知一个定点P（ x
0 0
那么如何求点P 到直线l的距离d？请学生思虑并回答。

学生：先过点 P 作直线l的垂线，垂足为 Q，则 |PQ| 的长度就是点P 到直线l的距离d，将点线距离转变为定点到垂足的距离。

接着，多媒体显示以下 2 道题 ( 试试性题组 ) ，请 2 位学生上黑板练习（其他学生在下边
自己练习，每做完一题立刻讲评）
(1) 求 P（ x0 ,y 0）到直线l： By+C=0（ B≠ 0）的距离d；（答案：d y0 C ）B
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(2) 求 P（ x0 ,y 0）到直线l： Ax+C=0（ A≠ 0）的距离d；（答案：d x0 C
）A
第（ 1）、（ 2）题固然含有字母参数，但因为直线的地点比较特别，学生不难得出正确结论。

教师：依据以上 2 题的运算结果，你能获取什么启迪？
学生：当直线的地点比较特别（水平或竖直）时，点到直线的距离简单求得，多媒体显示并板书：
l
l
当A 0时， l : By C 0, PQ y0 y Q y0 C By0 C B B
当B 0时， l : Ax C 0, PQ x0 x Q x0 C Ax0 C A A
教师：当 AB 0 时，那么，而当直线是倾斜地点时，l : Ax By C 0，此时直线
含有多个字母则较难；, 固然有一些思路，但详细操作起来因计算量很大难以得出结果。

点
到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不可以依据方才的第
（1）、（ 2）的启迪或许是从前学过的方法的启迪，借助水平、竖直情况和平面几何知识来解决倾斜即一
般状况呢？请同学们分小组议论
学生们踊跃商讨；教师往返巡视，回答各研究小组的咨询
教师依据学生提出的方案，采集思路。

y
思路一：利用定义
①求垂线 PQ的方程（由 PQ⊥l以及直线l的斜率可知垂线PQ的斜率，点斜式）
②求交点 Q坐标（联立方程组求解）Q
③两点间距离公式O 上述方法固然思路自然，可是会碰到一只拦路虎——运算较为繁琐。

P(x0 ,y0) x
（思路一）解：直线PQ ： y y0 B
x x0 , x x0，即 Bx Ay Bx0 Ay 0 A
由Bx Ay Bx0 Ay0
， x Q
B2 x0 ABy0 AC Ax By C 0 A2 B 2
x Q x0 B2 x0 ABy 0 AC A2 x0 B 2 x0 A Ax0 By0 C A2 B 2 A2 B 2
y Q y0 B
x x0 B
Ax
0 By0 C
A A2 B2
d x Q x0 2 y Q y0 2
1
A 2
B 2 Ax0 By0 C
Ax0 By0 C
A2 B2 A2 B2 教师评论：此方法思路自然，但运算繁琐。

假如没有小组想到此外一种思路，教师持续提出问题：依据过去求两点间距离公式的图形结构方法，求线段长度能够结构图形吗？什么图形？如何结构？
思路二：利用直角三角形等面积法
如图，设A≠ 0， B≠ 0。

指引过程：
①点 P 的坐标的意义。

②过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线。

③组成三角形，转变为求直角三角形高的问题。

④假如知道面积和底边，就能够求出高。

此刻
要求 RP、 PS、 SR的长度。

⑤两点间距离公式，转变问求R、 P、 S 的坐标。

多媒体显示、师生一同推导：
（思路二）解：设P x0 , y0 ， Q x Q , y Q，R x R, y0 ， S x0 , y S
Ax R By0 C 0 ， x R By
C
； Ax0 By S C 0， y S Ax0 C
A B
RP x0
Ax0 By0 C x R A
PS
y 0
y S Ax 0 By 0 C
B
由 PQ
RS
PR PS ， PQ
PR PS RS
而 RS
2
2
Ax 0 By 0
A 2
B 2
RP
PS
C
A 2
B 2
Ax 0
By 0 C B
2
A 2
PQ
AB
Ax 0 By 0 C
A 2
B 2
思路三：未来能够为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。

各小组同学都运用了不一样的解法， 此类题解法灵巧多样，同学们要注意选择适合、最优的方法来解题，以便获得最正确成效。

说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。

假如学生没有想到思路三，教
师提示做课后思虑作业题目。

教师发问： ①上式是由条件下 当 AB 0时 得出，对当A 0，或 B 0时 建立吗？ （建
立） 1. 当 A=0， B 0 时， l : By C 0
此时，直线为： y
C 直线为平行于 x 轴（或重合于 x 轴）的直线
,
B
则： PQ
PS y 0
(
C y 0
C By 0 C Ax 0
By 0 C ) B
B
A 2
B 2
B
2. 当 A 0， B=0 时， l : Ax C
此时，直线为： x
C y 轴（或重合于
y 轴）的直线
，直线为平行于
A
则： PQ PR
x
C
x C
Ax 0 C
Ax 0 By 0 C
0 (
)
A 0
A A
A 2
B 2
②点 P 在直线 l
上建立吗？（建立）
③公式结构特色是什么？用公式时直线方程是什么形式？
由此推导出点 P(x 0， y 0) 到直线 l ：Ax+By+C=0距离公式：
Ax 0By0 C
d合用于随意点、随意直线。

A2B2
三、变式训练、学会应用
练习 1 ( 学生登台展现)
1.求点 A（ -2 ，3）到直线 3x+4y+3=0 的距离。

2.求点 C（ 1， -2 ）到直线 4x+3y=0 的距离。

3.点 P(-1,2) 到直线 3x=2 的距离。

4.点 P(-1,2) 到直线 3y=2 的距离。

5.点 A(a,6) 到直线 x+y+1=0 的距离为 4，求 a 的值。

练习选择：平行坐标轴的特别直线，直线方程的非一般形式。

练习目的：熟习公式结构，记忆并简单应用公式。

教师重申：直线方程的一般形式，点到直线的距离公式娴熟掌握才能在解题时应付自如。

四、拓展延长、升华提升
例 1: 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ＡＢＣ的面积。

解：设 AB边上的高为h，则S ABC 1 | AB | h ，
2
| AB| (3 1)2 (1 3)2 2 2 ,
AB 边上的高为h 就是点C到AB的距离，
AB 边所在直线方程为 : x y 4 0 .
点 C( 1,0) 到直线 x y 4 0 的距离
| 1 4 0 | 5 h
12 .
12 2
1
2 2 5
5 .
所以， S ABC
2 2
五、当堂检测
1.点（3， m）到直线 l ： x 3y 4 0的距离等于 1，则 m等于 ( )
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或
3 3 3
2.若点 P(x, y) 在直线 x y 4 0上， O是原点，则| OP |的最小值是（）
A. 10
B.2 2
C. 6 D .2
六、学生小结、教师评论
1.知识：点到直线的距离公式的推导及其运用。

2.思想方法
转变：将点线距离转变为定点到垂足的距离；等积法将其转变为直角三角形中三极点的距。

离数形联合、特别到一般的思想方法。

七、课外练习稳固提升
①课本习题 3.3A 组第 8,9 题；
②总结写出点到直线距离公式的多种方法。

八、板书设计
点到直线的距离
1. 两种特别状况
2. 一般状况
当 A=0， B 0 时，l : By C 0 AB 0 时，l : Ax By C 0
当 A 0， B=0 时，l : Ax C 0 思路一：按定义
思路二：等面积法。