大学物理102 第一章第二节 圆周运动

• 速度与角速度的矢量关系式
dr dθ r dθ v dt dt dt 大小 v r (标量式) 方向
k r ω r ω r (由右手法则确定)
• 加速度与角加速度的矢量关系式
dr dv d(ω r ) dω a r ω β r ω v dt dt dt dt ω 第一项 r aτ 大小 a r
解：
本题涉及：
风、地、车上人
V风对人 V风对地 V地对人
西
★人感到风是从西北方向吹来
北
y
东
x
V风对人
南
例3 一个带篷子的卡车，篷高为h=2 m ，当它停在马路边时， 雨滴可落入车内达 d=1 m ，而当它以15 km/h 的速率运动 时，雨滴恰好不能落入车中。 求 雨滴的速度矢量。
v K 2 2 4 s 3 t Rt
2

当t 0.5s v R 4 Rt
2
4t
2
dv 2 a 8 Rt 8 . 0 ( m/s ) v 4 Rt 2.0(m/s) τ dt v2 2 2 2 2 an 2.0(m/s ) a an a 8.25(m/s ) R an arctan( ) 13.6 a
解 根据速度变换定理
va vr ve
ve
h
d
va
画出矢量图
h arctan 63.4 d
ve 15 va 33.5km/h 9.3 m/s cos α cos
2. 适当画出矢量图，有助于分析问题。

ve
vr
匀变速圆周运动
小结（圆周运动的角量描述
角量与线量的关系）
（角位移）
(t ) （圆周运动运动学方程) Δθ θ (t Δt ) θ (t )
d ω k dt
dr dθ v k r ω r dt dt
d d d 2 k 2 k dt dt dt
ds 速度： v τ vτ dt 加速度 ： a an n a τ τ
v 2 dv d 2 s ds 2 1 n τ 2 τ ( ) n dt dt dt
圆周运动的角量描述 角位置与角位移
角位置（运动学方程) 角位移
θ θ (t )
x
二. 速度变换定理 加速度变换定理
1. 速度变换
r r t ' ut t ' 1 lim lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t ' t t 0 t dr dr ' u va vr ve dt dt ' v 绝对 v 相对 v 牵连 —— 伽利略速度变换定理
注意：1. 确定三个速度和它们之间的矢量关系。
例4 升降机以加速度 1.22 m/s2 上升，有一螺母自升降机的 天花板松落，天花板与升降机的底板相距 2.74 m 。 求 螺母自天花板落到底板所需的时间. O a O' 解 取螺母刚松落为计时零点.
动点为螺母,取二个坐标系如图 三种加速度为: h
三、相对运动
例1
一艘轮船在水上以相对于水的速度
航
行，水流速度为
，一人相对于甲板以速度
和
行
走。如人相对于岸静止， 、 解： 本题涉及：
的关系怎样？
岸、水、船、船上人
岸、水、船，以船为动点：
岸、船、船上人，以 人为动点：
结果：
例2
某人骑自行车以速率V 向正西方行驶，遇到由 北向南刮的风设风速大小也为V），则他感到风 是从何方向吹来？
2
2 4t' 3 2.67 rad
144t ' 24t ' t ' 0.55 s
4
例2 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m 的圆形轨道 运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即 ω=kt 2 ，k 为常数.已知质点在2s 末的线速度为 32m/s 求 t =0.5s 时质点的线速度和加速度 解 t 2s v 32m/s
d d d 2 k 2 k dt dt dt 2. 第二类问题 已知角加速度 k 和初始条件
d ω k dt


求
ω,
(t )
(t ) 0 t
1 2 (t ) 0 0t t 2

(t )
2 d d 2 3 12t 2 24 t 2 4t dt dt 2 2 2 2 an r , a r a an a 230.5 m / s
2）设
时刻，质点的加速度与半径成 45 角，则 t
t' a an r r
（t t ) (t )
角速度
d ω lim k k t 0 t dt 2 dω d d d 角加速度 k 2 k dt dt dt dt 位移与角位移的矢量关系式 dr dθ k r
§1.6 不同参考系中的速度和加速 度变换定理简介
一. 基本概念
一个动点
PB
y s s'
A
·
P (研究对象)
r
P
A'
r A'
二个参照系（两参考系做相对平动） 绝对参照系s ，相对参照系s' 三种运动 绝对、相对和牵连运动
ut
O
u
O • s' 系相对于s 系的位移： ut — 牵连位移 — 相对位移 • B 点相对于s' 系的位移： r — 绝对位移 • B 点相对于s 系的位移： r r r ut
v ax v rx v ex v ay v ry v ey v az v rz v ez
2. 加速度变换
dv 绝对 dv 相对 dv 牵连 a绝对 a相对 a牵连 dt dt dt
注意：1、速度，加速度合成公式的矢量性。 2、速度合成公式适用于任何形式的牵连运动（平动、转动） 加速度合成公式只对牵连运动为平动时成立，转动情况较复杂。

v ωr
dr dv d(ω r ) dω a r ω β r ω v dt dt dt dt
a r
an v 2r
两类问题（圆周运动的角量描述） 1. 第一类问题
已知运动学方程， (t ) 求
aa gi , ae ai , ar ? aa ae ar , ar aa ae
x
x'
ar aa ae g a
1 2 2h 2 2.74 h ar t , t 0.7 s 2 ga 9.80 1.22
自然坐标系加速度直角坐标系角位置与角位移角位置运动学方程角位移角速度圆周运动的角量描述角加速度速度与角速度的矢量关系式大小方向由右手法则确定标量式加速度与角加速度的矢量关系式第一项大小第二项大小1质点作圆运动其加速度不一定总指向圆心
回顾：
直角坐标系
自然坐标系
dr dx dy dz 速度： v i j k v xi v y j v z k dt dt dt dt dv dv x dv y dv z 加速度：a i j k dt dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k axi a y j az k dt dt dt
第二项 ω v an
v 大小 an v r r
2 2
o
aτ r
P
v
•线量 —— 速度与加速度
大小
v r
a r
2 2
•角量——角速度与角加速度 注 意
v an v r r 1、质点作圆运动，其加速度不一定总指向圆心；
2、与角加速度有关系的只是切向加速度；其加速 度不仅与角加速度有关，而且与角速度有关。 匀速圆周运动 是恒量 是恒量
0
d dt
t1
t
(t )
0
d dt
t1
t
若为 β 常量，则
例1一质点作半径为 试求：1）当
0.1m的圆周运动，已知运动学方程为
2 4t 3 ( rad )
t 2s 时，质点运动的切向加速度和法向加速
度以及加速度的大小? 2）当 ? 时，质点的加速度与半径成 45 角？ 解： 1）由已知条件，