2018届广东省阳东广雅学校高三上学期期中考试理科数学

阳东广雅中学2018～2018学年第一学期高三年级期中考试试
卷 数学（理）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集{}，，，，，43210=U 集合{}，，，321=A {}，，42=B 则
U C A B （）为（ ）．
（A ）{}421，，
（B ）{}432，， （C ）{}420，， （D ）{}4320，，， （2）复数i
-+
25
1（i 是虚数单位）的模等于（ ）． （A ）
10 （B ）10 （C
（D ）5
（3）下列命题中的假命题是（ ）．
（A ）0lg ,=∈∃x R x （B ）0tan ,=∈∃x R x （C ）02,>∈∀x R x （D ）0,2>∈∀x R x
（4）已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=- ，且//m n
，则实数a ＝（ ）．
（A ）－1 （B ）2或－1 （C ）2 （D ）－2
（5）设p ：f （x ）=x 3
﹣2x 2
+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q ：m
＞，则p 是q 的（ ）
（A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)以上都不对 （6）已知函数
⎩⎨⎧≤>=0
,20,log )(3x x x x f x ，则))91
((f f =（ ）.
（A ）12
（B ）14
（C ）16
（D ）18
（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视
图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）． （A ）2 （B ）1 （C ）2
1 （D ）13
（8）已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）．
（A ）2- （B ）2 （C ）1 （D ）1- （9） 若62)(x
b ax +的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小
值为（ ）
（A ）1 （ B ）2 （C ）3 （ D ）4 （10）设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（ ）．
（A ）αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥ （B ）m αγ= ，αγ⊥，
βγ
⊥
（C ）αγ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥ （11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大
学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种。

（A ）150 （B ）180 （C ）240 （D ）540
俯视图
（12）对函数()f x ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把
M 的最大值叫做函数)(x f 的下确界．现已知定义在
R 上的偶函
数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，当]1,0[∈x 时，23)(2+-=x x f ，则)(x f 的下确界为 （ ）
（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）.已知偶函数f(x)在[0,+¥)单调递减，f(2)=0.若f(x-1)<0，则x 的取值范围是__________. （14）方程
20([0,1])
x x n n ++=∈有实根的概率
为 ．
（15）已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,
1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
点O 为坐标原点,那么OP 的最大值 等于 ．
（16）已知函数()1x f x ax e =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数)，若函数
()
f x 在点
(1,(1))
f 处的切线平行于
x
轴，则
a = ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知{}n a 为等差数列，且满足13248,12a a a a +=+=． （I ） 求数列{}n a 的通项公式；
（II ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．
（18）．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cosAcosC （tanAtanC ﹣1）=1．
（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若，
，求△ABC
的面积
（19）（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量．．形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的
重量（单位：克），重量分组区间为[]5,15，(]15,25，
(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直
方图（如右图），
（Ⅰ）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（Ⅱ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]
5,15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
（20）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
求三棱锥E-ACD
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，
的体积.
（21）（本小题满分12分）
已知函数323()(1)312
f x x a x ax a R =+--+∈，．
（I ） 讨论函数)(x f 的单调区间；
（II ）当3=a 时，若函数)(x f 在区间]2,[m 上的最大值为28，求m 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直CD 于点D ，BC 垂直CD 于点C ，EF 垂直AB 于点F ，连接AE ，BE . 证明：（Ⅰ）FEB CEB ∠=∠； （Ⅱ）2EF AD BC =⋅．
（23）（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为1(2x t
t y t
=+⎧⎨
=+⎩为参数）
，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32
cos 2+-=．
（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知1m >且关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集为[0,4]. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.
参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

（1）【解析】{}40，
=A C U ，又{}42，=B ，故选C ． （2）【解析】i i
+=-+
325
1，故模为10，故选A ．
（3）【解析】对选项D ，由于当0=x 时，02=x ，故选D ．
（4）【解析】因为//m n ，所以2)1(-=-a a ，解得022=--a a ，故
21=-=a a 或，故选
B ．
（5）【解析】 解：∵f（x ）=x 3
﹣2x 2
﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x ）=3x 2
﹣4x ﹣m ，
即3x 2
﹣4x ﹣m≥0在R 上恒成立，所以△=16+12m≤0，即m≥
﹣，
∵p：f （x ）=x 3
﹣2x 2
﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q ：
m ＞
∴根据充分必要条件的定义可判断：p 是q 的必要不充分条件， 故选：C （6）【解析】291log )91(3-==f ，412)2(2==--f ，所以4
1
))91((=f f ，
故选B ．
（7）【解析】该几何体为直三棱柱，故体为11
11122
V Sh ==⨯⨯⨯=，故选C ．
（8）【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分
别为(0,1)-，(1,0)，(0,1)，所以最优解为(0,1) 时可使目标函数取得最大值为2，故选B ．
（9）B 【解析】由二项式定理的展开公式可得：
()
62612316
6..r
r
r
r r r r r b T C ax
C a b x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，3x 项为12333,r r -=⇒=，因为6
2)(x
b ax +的展开式中3
x 项的系数为20，所以
3333362011C a b a b ab =⇒=⇒=，由基本不等式可得2222=≥+ab b a ，
当且仅当a b =时等号成立．所以选B ．
（10）【解析】对于选项A ，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m ⊂α，故不正确；
对于选项B ，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m 与β不一定垂直，故不正确；
对于选项C ，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m 与β不一定垂直，故不正确；
对于选项D ，由n ⊥α，n ⊥β，可得α∥β，而m ⊥α，则m ⊥β，故正确，故选D ．
（11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别
保送2名同学，方法数为902
41513=C C C ，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为602
23513
=A C C ，故不同保送的方法数为150种，故选A ． （12）．【解析】如右图所示，函数()f x 在
R 上的部分图象，
易得下确界为1-，故选D ．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13、 ()()--13+∞∞ ，， 14、1
4
15、
、e
14【解析】方程有实根时，满足140n ∆=-≥，得14
n ≤，由几何概型知A P =
构成事件的区域测度试验的全部结果所构成的区域测度
，得1=4
P .
15
【解析】如右图所示，max ||||OP OB ==16【解析】直线平行于x 轴时斜率为0，由
()x
f x a e '=-得
(1)0k f a e '==-=，得出a e =.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）设数列
{}
n a 的公差为
d
，由题意知
11228
2412
a d a d +=⎧⎨
+=⎩ ……………………2分
解
得
12,2a d == ………………………
…………………4分
所
以
1(1)22(1)2n a a n d n n
=+-=+-=，得
2n a n = (6)
分 （
Ⅱ）由（
Ⅰ
）
可
得21()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n n n ++=
==+=+ ……………8分
∴3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，2k S k k =+
因
31,,k k
a a S + 成等比数列，所以
2
13k k
a a S +=，从而
22(22)6()k k k +=+， (10)
分
即 220k k --=，*k N ∈,解得2k = 或1k =-（舍去） ∴
2k = ……………………………
………………………12分
（18）（12分）.解答：解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣
1）=1得：2cosAcosC（﹣1）=1，
∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣，∴cosB=
﹣cos（A+C）=，
又0＜B＜π，∴B=；
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，
∴=，
又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，
∴S△ABC=acsinB=××=．
19．（本小题满分12分）
【解】（Ⅰ）由题意，得()
+++⨯=，解得
0.020.0320.018101
a
a=；………………………1分
0.03
又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），………2分
而50个样本小球重量的平均值为：X=⨯+⨯+⨯+⨯=（克）
0.2100.32200.3300.184024.6
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；…………………………4分
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]
5,15内的概率为0.2，………………………………5分
则
1
(3,)
5
X B ~.
X
的可能取值为
、1、2、3， (6)
分
()0
3
03
1464055125P X C ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2
131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()2
231412
255125
P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()3
033141355125
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. ………………10分
X
∴的分布
列为：
.（或
者
12
分
（20）解：（I ）连接BD 交AC 于点O,连结EO 。

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点。

又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB---------2分。

EO
⊂
平面AEC,PB
⊄
平面AEC,所以PB ∥平面
AEC.-------------4分
（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂直-----------5分 如图，以A
为坐标原点，AB
的方向
为x 轴的正方向，
AP
为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，
则
D 1),2
E 1)2
AE =
. -------------7
分
设(,0,0)(0)b m m
，则(c
m (AC m =。

设1(,,)n x y z =为平面
ACE 的法向量， 则
110,
0,
n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即
0,1
0,2
mx y z ⎧+=+=---------8分，可
取
1(
n m
=-----------9分。

又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量，由题设121
cos
,2
n n =
，即
1
2
=，解得32m =----------10分。

因为E 为PD 的中点，
所以三棱锥E ACD -的高为12
.
三棱锥E ACD -
的体积113132228
V =⨯⨯=.--------12分
21．（本小题满分12分） 【
解
析
】
（
I
）
()()()2()=3+3131f x x a x a x x a '--3=-+． ………………………………
……………1分 令
()0
f x '=得
121,x x a ==-．………………………………………………………
……………2分
（i ）当1a -=，即1a =-时，()2
()=310f x x '-≥，()f x 在()
,-∞+∞单调递增． ………3分
（ii ）当1a -<，即1a >-时，
当21x x x x <>或时()0f x '>，()f x 在()()21,x x -∞+∞和,内单调递增； 当
21
x x x <<时
()0
f x '<，
()
f x 在()21,x x 内单调递
减． ………………………………4分 （iii ）当1a ->，即1a <-时，
当12x x x x <>或时()0f x '>，()f x 在()()12,x x -∞+∞和,内单调递增； 当
12
x x x <<时
()0
f x '<，
()
f x 在()12,x x 内单调递
减． ………………………………5分
综上，当1a <-时，()f x 在()()12,x x -∞+∞和,内单调递增，
()f x 在()12,x x 内单调递减；当
当1a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递增；
当1a >-时，()f x 在()()21,x x -∞+∞和,内单调递增，
()f x 在()21,x x 内单调递减．（其中121,x x a ==-） (6)
分
（II ）当
3
a =时，
32()391,[,2]
f x x x x x m =+-+∈，
2()3693(3)(1)f x x x x x '=+-=+-
令
()0
f x '=，得
121,3x x ==-．………………………………………………………
………… 7分
将x ，()f x '，()f x 变化情况列表如下：
1
………………………………………………………………………………………………………8分
由此表可得()(3)28
f x f
=-=
极大，()(1)4
f x f
==-
极小．…………………………………
9分
又
(2)328
f=<，………………………………………………………………………………… 10分
故区间[,2]
m内必须含有3-，即m的取值范围是3]
-∞-
（，．……………………………… 12分
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
【证明】（Ⅰ）由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. …………………………………………1分
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF
＝π
2
；………………………3分
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝
π
2
，从而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.……5分
（Ⅱ）由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，………6分
所以BC ＝BF .
类似可证，Rt△ADE ≌Rt△AFE ，得
AD ＝
AF . ………………………………………………8分
又在Rt△AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2
＝AF ·BF ，所以EF 2
＝
AD ·BC . ………………………10分
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 【解】（Ⅰ）由1C 的参数方程消去参数t 得普通方程为
10x y -+= (2)
分 圆
2
C 的直
角
坐
标
方程
22(1)(4x y ++=, (4)
分
所以圆心的直角坐标为
(1-，因此圆心的一个极坐标
为2(2,
)3
π
. …………6分
(答案不唯一，只要符合要求就给分)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心
(1-到直线
10
x y -+=的距离
d =
=,………8分
所
以
AB ==.………………………………………………………………10分
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 【解】（Ⅰ）因为
1
m >，不等式
|2|1
m x --≥可化为
|2|1x m -≤-，…………………1分
∴
121
m x m -≤-≤-，即
31m x m -≤≤+， (3)
分
∵其解集为
[0,4]
，∴3014
m m -=⎧⎨
+=⎩ ，
3m =. (5)
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3a b +=， （方法一：利用基本不等式）
∵
222()2a b a b ab +=++222222()()2()
a b a b a b ≤+++=+， (8)
分
∴
2292
a b +≥
，∴
22
a b +的最小值为
9
2
.…………………………………………10分
（方法二：消元法求二次函数的最值）
∵3a b +=，∴3b a =-， ∴
222222399
(3)2692()222
a b a a a a a +=+-=-+=-+≥
， (9)
分
∴
22
a b +的最小值为
9
2
. ………………………………………………………………
10分。