高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 2 第2讲 两直线的位置关系教案 理-人教版高三全册数学教案

第2讲两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件两直线位
置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行
k1＝k2
k1与k2都不存在垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、
另一个不存在
2.两条直线的交点3．三种距离
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间
的距离
|P1P2|＝
〔x2－x1〕2＋〔y2－y1〕2
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋
By＋C＝0的距离d＝
|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与
Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
|C1－C2|
A2＋B2
4. 几种常见的直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(3)过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)假设两直线的方程组成的方程组有唯一解，那么两直线相交．( )
(4)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，假设直线l 1⊥l 2，那么A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，那么直线l 的方程是( )
A ．3x ＋2y －1＝0
B ．3x ＋2y ＋7＝0
C ．2x －3y ＋5＝0
D ．2x －3y ＋8＝0
解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－3
2(x ＋1)，即3x
＋2y －1＝0.
点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，那么a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1
D.2＋1
解析：选C.由题意知|a －2＋3|
2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.
(教材习题改编)直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，那么实数a 的值是________．
解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪
⎧a 〔a ＋1〕＝2×3，a ×1≠2，
解得a ＝－3.
答案：－3
假设三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，那么b ＝________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.
将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－1
2.
答案：－1
2
两条直线平行与垂直(高频考点)
两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度： (1)两条直线位置关系的判断； (2)由两条直线位置关系求直线方程．
[典例引领]
角度一 两条直线位置关系的判断
设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，那么“m ＝2〞是“l 1∥l 2〞
的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2
m
＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要
求，故必要性成立． 【答案】 C
角度二 由两条直线位置关系求直线方程
(2018·某某东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并
且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．
【解析】 法一：由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，
x －3y ＋4＝0
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5
3，y ＝7
9，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，
因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝43
.
由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋53，
即4x －3y ＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0
可解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，
代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 【答案】 4x －3y ＋9＝0
两直线平行、垂直的判断方法
假设两直线的斜率存在．
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况；
(2)注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
[通关练习]
1．直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，假设l 1⊥l 2，那么a ＝( ) A ．2或1
2
B. 1
3或－1 C. 13
D ．－1
解析：选B.因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝1
3
或a B.
2．求满足以下条件的直线方程．
(1)过点P (－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0； (2)A (1，2)，B (3，1)，线段AB 的垂直平分线．
解：(1)设直线方程为x －2y ＋c ＝0，把P (－1，3)代入直线方程得c ＝7， 所以直线方程为x －2y ＋7＝0. (2)AB 中点为⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋32，2＋12，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，32，
直线AB 斜率k AB ＝2－11－3＝－1
2，
故线段AB 垂直平分线斜率k ＝2，
所以其方程为y －3
2
＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.
距离公式
[典例引领]
(1)A (2，0)，B (0，2)，假设点C 在函数y ＝x 2
的图象上，那么使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
(2)假设两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213
13
，那么c 的值是________．
【解析】 (1)设点C (t ，t 2
)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0， |AB |＝2 2.
由于△ABC 的面积为2，
那么这个三角形中AB 边上的高h 满足方程1
2×22h ＝2，即h ＝ 2.
由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2
－2|
2
，
即|t ＋t 2
－2|＝2，即t 2
＋t －2＝2或者t 2
＋t －2＝－2.
因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．
(2)依题意知，63＝a －2≠c
－1，
解得a ＝－4，c ≠－2，
即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2＝0，
又两平行线之间的距离为213
13
，
所以
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
c 2＋132＋〔－2〕
2
＝21313，因此c ＝2或－6. 【答案】 (1)A (2)2或－6
距离的求法
(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离
①利用“化归〞法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．
[通关练习]
1．点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，那么a 的取值X 围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]
D ．[0，10]
解析：选D.由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |
5.
又|15－3a |
5
≤3，即|15－3a |≤15，
解得0≤a ≤10，所以a 的取值X 围是[0，10]．
2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －3
2
＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线
l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，那么：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154
，所以l 的方程为12x ＋
8y －15＝0.
答案：12x ＋8y －15＝0
3．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．
解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－1
2(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0
对称问题
[典例引领]
直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由
⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，
2×x －12－3×y －2
2＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33
13
，
y ＝4
13.
所以A ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，
那么M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，那么
⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02
＋1＝0，b －0a －2×2
3＝－1.
解得M ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫613，3013.
设直线m 与直线l 的交点为N ，
那么由⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．
又因为m ′经过点N (4，3)，
所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，
那么P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，
所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.
[通关练习]
1．(2018·某某五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，那么直线2x ＋3y －6＝0关于
M 点对称的直线方程为( )
A ．2x ＋3y －12＝0
B ．2x －3y －12＝0
C ．2x －3y ＋12＝0
D ．2x ＋3y ＋12＝0
解析：选D.由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋3＝0，y －1＝0，
可得x ＝－3，y
＝1，所以M (－3，1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，那么|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－
6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，应选D.
2．如图，A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB
上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，那么光线所经过的路程是________．
解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，那么光线经过的路程为|CD |＝62
＋22
＝210.
答案：210
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0
(A 2
1＋B 2
1≠0)
l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
(A 2
2＋B 2
2≠0)
l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1
C 2
(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1
B 2
(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件
A 1A 2＝
B 1B 2＝
C 1
C 2
(A 2B 2C 2≠0) 易错防X
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．假设两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，假设直线无斜率，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，假设给出的直线不是一般式，那么应化为一般式．
(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化
为相同的形式．
1．(2018·某某模拟)点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0
D ．x ＋y ＝0
解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－
1
k PQ
l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.
2．过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.假设l 1∥l 2，l 2⊥l 3，那么实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0
D ．8
解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－m
m ＋2＝－2.
解得m ＝－8.
又因为l 2⊥l 3，所以－1
n
×(－2)＝－1，
解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.
3．直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，那么直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12
C ．2
D ．－2
解析：选A.直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1，1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0，3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以kl 2＝1－0－1－〔－3〕＝1
2.
4．点A (－1，2)，B (3，4)．P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，那么△PAB 的面积为( ) A ．15
B.55
2 C ．6 5
D.
152
解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，
k AB ＝
4－23－〔－1〕＝1
2
，
所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)． 即2x ＋yy ＝0，那么x ＝5
2，
即P 点的坐标为(5
2
，0)，
|AB |＝〔－1－3〕2
＋〔2－4〕2
＝2 5.
P 到AB 的距离为|PM |＝
〔1－52〕2＋32＝352
.
所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝15
2
.
5．(2018·某某某某模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕
P ，Q 旋转，但始终保持平行，那么l 1，l 2之间距离的取值X 围是( )
A ．(5，＋∞)
B ．(0，5]
C ．(34，＋∞)
D ．(0，34]
解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为〔－1－2〕2
＋[2－〔－3〕]2
＝34， 所以l 1，l 2之间距离的取值X 围是(0，34]． 应选D.
6．设曲线y ＝e x
在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x
(x ＞0)上点P 处的切线垂直，那么P 的坐
标为________．
解析：设点P 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫x 0，1x
，x 0＞0，曲线y ＝1x
在点P 处的切线斜率k 2＝－1x 20
(x 0＞0)． 又因为曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e x
|x ＝0＝1，k 1k 2＝－1，所以x 2
0＝1，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)． 答案：(1，1)
7．一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，那么此直线的方程为________．
解析：假设所求直线的斜率存在，那么可设其方程为：
y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，
由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|
1＋k 2
， 即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.
又假设所求直线的斜率不存在，方程为x ＝1， 满足题设条件．
故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 答案：4x －y －2＝0或x ＝1
8．(2018·某某四校联考)假设将一X 坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，那么m ＋n ＝________．
解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m
2
－3，n －3m －7＝－12，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3
5，n ＝31
5，所以m ＋n ＝345.
答案：345
9．直线l 1：x ＋a 2
y ＋1＝0和直线l 2：(a 2
＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)假设l 1∥l 2，求b 的取值X 围； (2)假设l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．
解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2
＋1)a 2
＝0， 即b ＝－a 2
(a 2
＋1)＝－a 4
－a 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋122
＋14
， 因为a 2
≥0，所以b ≤0. 又因为a 2
＋1≠3，所以b ≠－6.
故b 的取值X 围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2
＋1)－a 2
b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a
，|ab |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋1a ≥2，
当且仅当a ＝±1时等号成立，
因此|ab |的最小值为2.
10．直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两直线交点的直线系方程为
(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以
|10＋5λ－5|
〔2＋λ〕2
＋〔1－2λ〕
2
＝3，解得λ＝1
2或λ＝2.
所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩
⎪⎨⎪
⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，
解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 那么d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10.
1．(2018·某某统考)点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，那么方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线
解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，应选D.
2．(2018·某某某某五校联考)直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，假设点A ，
B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，那么点
C 的坐标为( )
A ．(－2，4)
B ．(－2，－4)
C ．(2，4)
D ．(2，－4)
解析：选C.设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧y －2
x ＋4×2＝－1，
y ＋22＝2×－4＋x 2，
解
得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在直线方程为y －1＝
－2－1
4－3
(x －3)，即3x ＋yB (3，1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1，3)，所以AC 所在直线方程为y －2＝3－2
－1－〔－4〕
·(x ＋4)，即x －
3y ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，那么C (2，4)．应选C. 3．△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)， 所以l AC 为2x ＋y －11＝0，
联立l AC ，l CM 得⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)．
设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝
⎛⎭
⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，
代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，
x 0－2y 0－5＝0，
所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，
所以直线BC 的方程为y －3＝6
5(x －4)，
即6x －5y －9＝0.
4．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．
解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，那么|PA |－|PB |＝|PA |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，那么P 0即为所求． 易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0， 设B ′(a ，b )，那么a ＋3b －12＝0，①
又线段BB ′的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，
b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②
由①②解得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．
所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，245.
连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|PA |＋|PC |＝|PA |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求． 又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，
故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0
可得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。