01 空间几何体

01 空间几何体
要点精讲：
1．柱、锥、台、球的结构特征
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。

棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

注：棱锥的性质：
①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
②轴截面是等腰三角形；
棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；
③棱台经常补成棱锥研究。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

注：球的有关问题转化为圆的问题解决。

（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

例1、下图是由哪个平面图形旋转得到的（）
A B C D
例2、下列说法正确的是（ ）
A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥
B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台
C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱
D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 2．空间几何体的三视图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

（1）定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

例1、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ） ① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱
A ②①③
B ①②③
C ③②④
D ④③②
正视图侧视图俯视图
正视图 侧视图 俯视图 正视图
侧视图 俯视图 甲 乙 丙 例2、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台
B.棱锥
C.棱柱
D.都不对
例3、如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
主视图 左视图 俯视图 。

3、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450
（或1350
），注意它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘
轴，且长度保持
不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘
轴，且长度变为原来的一半；
用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 例1、下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆
例2、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为0
45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 22+
B ．
221+ C ． 2
2
2+ D ． 21+ 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
2
4
倍。

变式：
在直观图(如图所示)中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________cm2.
4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面
例、
（如图）在底半径为2母线长为4的 圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积
⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 例1、棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D. 4
3
例2、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：
224cm π，212cm π B. 215cm π，212cm π C. 224cm π，236cm π
⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面
例、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A 7 Ｂ 6 Ｃ 5 Ｄ 3、
5、体积公式：
（1）、h S V ⋅=柱体 h S V ⋅=
3
1
锥体 ()
13V h S S S S =+⋅+下下台体上上
例1、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=
A. 1：3
B. 1：1
C. 2：1
D. 3：1 例2、Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一 周所成的几何体的体积为_____________
例3、已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________
（2）球的表面积和体积 32
3
44R V R S ππ=
=球球， 例1、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )
A.8:27
B. 2:3
C.4:9
D. 2:9
例2、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对 例3、正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A ．3:1
B ．3:2
C ．2:3
D ．3:3 正四面体的性质 ：设正四面体的棱长为a ，则
6
5
2=3S a 全；体积：3212V a =
；内切球半径：612r a =；外接球半径64
R a =
同 步 练 习
1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（ ）
A ．圆锥
B ．正四棱锥
C ．正三棱锥
D ．正三棱台
2、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A
ππ221+ B ππ
441+ C ππ21+ D π
π241+
3、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为π6，则它的体积是( )
A π559
B 955
C π553
D 553
4、若三球的表面积之比为1：2：3，则其体积之比为（ ） A 3:2:1 B 3:2:1 C 33:22:1 D 7:4:1
5、一个四面体的所有棱长为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A π3
B π4
C π33
D π6
6、直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的削球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（ ） A ．5 B ．15 C ．25 D ．125
7、一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为3∶2。

则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为____________．
8.在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中，M 为AB 的中点，
则点C 到平面A1DM 的距离为( )
A.63a
B.66
a C.22
a D.12
a
9.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1
的正方形，
3 3
2
正视图
侧视图
侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于
A ．
32
B.1
C.212+
D.2
10.设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．942π+ Ｂ．3618π+
Ｃ．9122π+ Ｄ．9
182
π+
11.一个圆锥的正视图和侧视图均为正三角形，其面积为S ，则圆锥侧面面积为( )
A.8πS 3
B.8πS 3
C.4πS 3
D.2πS 3
12.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.
13.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．2
B ．1 C.23 D.1
3。