平行四边形(复习课)教学设计与评析

平行四边形（复习课）教学设计与评析教学内容：
华东师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年制下册第２７章“证明”的复习课“平行四边形”。

背景分析：
1.学习任务分析
平行四边形是最基本的平面图形之一，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且也是学习矩形、菱形、正方形、梯形等知识的基础。

它是平行线、三角形的后续内容，贯穿于初中数学“空间与图形”的始终，具有承上启下的作用。

本节课是第27章“证明”的复习题，主要复习平行四边形的性质及判定，同时渗透由特殊到一般、转化、分类讨论等思想方法。

2.学生情况分析
学生在学习华东师大版课标教材八年级上册第16章“平行四边形的认识”时，通过合情推理的方法探索出平行四边形的性质，在九年级下册第27章“证明”中，由通过演绎推理的方法证明了平行四边形的性质定理和判定定理，同时也研究了矩形、菱形、正方形、梯形等相关知识，具有一定的推理能力，但学生对于平行四边形有关的知识还没有建立完整的知识体系，分析、归纳、证明等能力还有待提高。

教学目标：
1.知识与技能
进一步掌握平行四边形的性质和判定方法，，并运用性质定理和判定定理解决简单的综合问题。

2.过程与方法
在观察、实验、操作、归纳、证明等过程中，进一步发展合情推理和演戏推理能力，在解决问题的过程中渗透由特殊到一般、转化、分类讨论等思想方法，在“一题多变”的过程中，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观
在问题的研究过程中发展探究意识，获得成功体验，增强学好数学的自信心，
体会几何图形的动态美和对称美。

教学重、难点：
运用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的综合问题。

教学手段：
利用《几何画板》辅助教学。

教学方法：
探究式教学法。

教学过程：
1.知识回顾
回顾平行四边形的概念、性质及判定方法。

（以教师提问、学生回答的形式复习基础知识。

）
【设计意图】回顾相关知识，为本节课的学习作铺垫。

2.问题探究
例1如图1，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点，试证明四边形AECF是平行四边形。

（学生读题，分析条件和结论，说明判定方法，教师让一名学生在黑板上板书证明过程。

）
【设计意图】从最基本的问题出发，运用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单问题。

变式1：将例1中的“点E，F分别是BC，AD的中点”改为“点E，F分
别在BC，AD上，且BE=DF”（如图2所示）。

试判断四边形AECF是否为平行四边形。

变式2：将变式1中“点E，F分别在BC，AD上，且BE=DF”改为“点E，F分别在线段CB，AD的延长线（或反向延长线）上（如图3、图4所示），且BE=DF”，试判断四边形AECF是否为平行四边形。

（教师演示教学课件，学生观察图形的变化情况，猜想并证明结论。

）
【设计意图】通过《几何画板》的动态演示，引导学生发现结论。

即无论点
E,F怎样运动，只要满足点E,F分别在线段BC,DA上或在其延长线（或反向延长线）上，且满足BE=DF，那么四边形AECF一定是平行四边形。

在证明结论时，均可运用判定定理——一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

这三个变式将例1的中点变成了满足一定条件的一般的点，这个过程不仅能让学生体会到由特殊到一般的认识事物的方式，而且也能拓展学生的思维，提高学生思维的全面性和广阔性，同时，在点的运动变化的过程中，学生也能感受到几何图形的动态美和对称美。

例2如图5，在平行四边形ABCD中，点O椒对角线AC，BD的交点，点E，F在对角线BD上，且分别是BO，DO的中点。

证明：四边形AECF是平行四边形。

（学生独立分析并证明，教师对学生有困难的学生进行适时指导。

）
【设计意图】此题是例1的变式，即将“点E，F分别是BC，AD的中点”改为“点E，F分别对角线BC上，且分别是BO，DO的中点”。

此题旨在“一题多变”的过程中，发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

（教师启发学生将例2与例1进行比较，学生在对比中发现共性与个性，仿照例1产生变式的方法，修改例2的已知条件，提出问题，从而得出新的变式。

学生自主研究，证明结论。

）
变式1：将例2中“点E，F在对角线BD上，且分别是BO，DO的中点”改为“点E，F在对角线BD上，且BE=DF”（如图6、图7所示），试判断四边
形AECF是否为平行四边形。

变式2：将变式1中“点E，F在对角线BD上，且BE=DF”改为“点E，F 在对角线BD的反向延长线、延长线（或延长线、反向延长线）上，且BE=DF”（如图8、图9所示），试判断四边形AECF是否为平行四边形。

【设计意图】引导学生运用类比的方法将例2变式并证明，进而得出结论：无论点E，F怎样运动，只要满足点E，F均在对角线BD上或分别在BD的反向延长线、延长线（或延长线、反向延长线）上，且BE=DF，那么四边形AECF 一定是平行四边形。

让学生在证明问题的过程中进一步掌握平行四边形的性质和判定方法，并会运用性质定理和判定定理解决简单的综合问题。

学生在观察、实验、操作、归纳、证明等过程中，也能进一步积累数学活动经验，发展合情推理和演绎推理能力。

（教师鼓励学生大胆探索，学生将例2中的两个中点改为是四个中点，得到变式3，在此基础上学生有对变式3进行深入研究，得到变式4和变式5.教师用《几何画板》对学生的探究结果进行动态演示。

）
变式3：如图10，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E，F，G，H分别是OB，OD，OA，OC的中点。

则四边形GEHF是平行四边形。

变式4：将变式3中“点E、F、G、H分别是OB、OD、OA、OC的中点”改为“点E、F、G、H分别是OB、OD、OA、OC上的点，且AG=CH，BE=DF”（如图11所示），则是变相那个GEHF是平行四边形。

变式5：将变式4中“点E、F、G、H分别是OB、OD、OA、OC上的点，且AG=CH，BE=DF”改为“点E、F分别是对角线BD的反向延长线和延长线上的点，点G、H分别是对角线AC的反向延长线和延长线上的点，且AG=CH，BE=DF”（图略），则四边形GEHF是平行四边形。

【设计意图】变式1
和变式2是两个动点在同一条对角线上运动，变式3、变式4和变式5是四个动点分别在两条对角线上运动，学生在问题的探究中将会发现：点的变化将会引起图形的变化，而结论的证明方法以及所用知识点不因图形的变化而改变，即证明方法体现出不变性。

通过对一组变式题的研究，使学生进一步体会由特殊到一般的研究方法和转化，分类讨论的数学思想，感受数学美。

例3如图12，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在线段BC ，AD 上，且AE ，CF 分别为∠BAD 和∠BCD 的平分线，试证明四边形AECF 是平行四边形。

（教师引导学生将例1变式，得出此题学生认真审题、分析条件，并采用多种方法进行证明。

）
【设计意图】例3是例1的变式，即将例1中“点E ，F 分别是BC ，AD 的
中点”改为“点E，F分别在线段BC，AD上，且AE，CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线”。

（学生类比例1中变式1和变式2的研究方法，探索出例3的变式1和变式2，并进行判断、证明。

教师用《几何画板》演示。

）
变式1：将例3中“点E，F分别是BC，AD上的点，且AE，CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线”改为“点E，F分别是BC，AD上的点，且∠BAE=∠DCF”（如图13所示），试判断四边形AECF是否为平行四边形。

变式2：将变式1中的“点E，F分别是BC，AD上的点，且∠BAE=∠DCF”改为“点E，F分别是CB，AD延长线（或反向延长线）上的点，且∠BAE=∠DCF”（如图14、图15所示），试判断四边形AECF是否为平行四边形。

【设计意图】充分调动学生的积极性，主动性和创造性，激发学生的探究欲望，使他们在探究过程中掌握问题的研究方法，总结出变化的因素和不变的结论。

例4如图16，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是所在边上的中点。

（1）试判断四边形EFGH是否为平行四边形。

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为矩形、菱形、正方形？
（教师引导学生对例1进行变式，学生编制好例4后独立完成解题过程，教师适时点拨。

）
【设计意图】例4是例1的变式，即将例1中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，同时将两个中点增加为四个中点，进而研究新的四边形的几何特
征问题。

学生经历了自己改题、出题和解题的过程，不仅在知识上能够举一反三、触类旁通，而且在思想上能够得到多思、深思的锻炼，提高思维的深刻性和创造性。

3.小结归纳
（学生从不同的角度谈收获、说体会。

）
【设计意图】学生之间相互讨论、交流，对本节内容进行较为全面的总结，学生在知识技能、思想方法上得到升华。

4.课后作业
必做题：教材第57页第2题、第61页第7题。

选做题：如图17，⊿ABC是不等边三角形，分别以AB，BC，AC为边作等边三角形，得到A⊿BD，⊿BCE，⊿ACF，连接DE，EF。

（1）求证：四边形DAFE是平行四边形；
（2）当⊿ABC满足什么条件时，四边形DAFE是矩形、菱形、正方形？
【设计意图】作业分为必做题和选做题，为不同学习水平学生的发展搭建平台。

【评析】这节课教学设计的亮点在于教学过程的设计，这节课是以一个基本问题为变题源，多角、多层次地探究问题的过程，这个过程体现了新课程所倡导
的自主、合作、探究的学习理念。

纵观教学过程设计，其突出特点是变式，在变式的过程中可以折射出设计的精彩，即“变中出彩”。

“变”主要体现在三个方面，即“点变”、“线变”和“形变”。

1.点变
主要体现在一下两个方面。

（1）将两个中点变为四个中点。

将平行四边形对边的中点变为一条对角线上的两条线段的中点，又将一条对角线上的两条线段的中点变为两条对角线上的四条线段的中点。

（2）将中点变为“等距点”。

将平行四边形对边的中点变为对边所在直线上与相对顶点等距的点；将一条对角线上的两条线段的中点变为一条对角线所在直线上与相对顶点等距的点；将两条对角线上的四条线段的中点变为两条对角线所在直线上与相对顶点分别等距的点。

这两个（或四个）点或同在对边（或对角线）上，或同在对边（或对角线）的延长线上。

2.线变
将“角平分线”变为“等角线”、将平行四边形对角平分线变为与对边夹角相等的线，这两条线或同在平行四边形内，或同在平行四边形外。

3.形变
将平行四边形变为一般的四边形，研究中点四边形在不同条件下的几何特征。

“彩”主要体现在以下四个方面，
在内容选择上，群殴特点是低起点、高观点，教师依据教学内容和学生实际，从最基本的习题出发进行变式，变的过程即由点的平移、线的旋转，又有形的变化，在点、线、形的运动变化中研究新的四边形，即从变换的角度分析四边形的特征。

在学法指导上，注重在变种发现规律，在变种拓展了思维空间，提高了思维能力，而且也使思维更加全面、深刻、灵活。

在思想渗透上，整个教学过程体现了教学与哲学、思想与方法的和谐统一。

（1）教学内容体现了变中拥有不变的结果和方法，不变中包含着变的因
素和成分，这其中蕴含着对立统一的辩证思想。

（2）“形变”中的问题研究是通过对角线长度、对角线夹角的变化而引起中点四边形图形性质的变化来进行的，这个过程体现了量变———质变的哲学思想。

（3）各题之间、同一题的各个变式题之间蕴含着分类讨论的数学思想。

（4）整个问题的研究是由特殊到一般的过程，这种方法源于哲学思想，也使重要的数学方法——一般化方法。

在技术支持上，《几何画板》的运用不仅生动、直观地呈现了教学内容，同时也起到了省时、高效的作用。