2019版高考一轮总复习数学(理科)课件：第二章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数、导数的计算

求下列函数的导数：
x e ＋1 2 (1)y＝ x sin x；(2)y＝ x . e －1
(3)y＝ 3－x＋e2x. 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋ x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. （ex＋1）′（ex－1）－（ex＋1）（ex－1）′ (2)y′＝ （ex－1）2 ex（ex－1）－（ex＋1）ex －2ex ＝ ＝ x . （ex－1）2 （e －1）2 1 1 (3)y′＝ (3－x)－ (3－ x)′＋e2x(2x)′ 2 2 1 1 ＝－ (3－x)－ ＋2e2x. 2 2
导数的几何意义是切点处切线的斜率． 命题角度有： 求切线方程、 求切点坐标、求参数的值三个方面，解决问题的方法是： 1． 已知切点 A(x0， f(x0))求斜率 k， 即求该点处的导数值： k＝f′(x0)； 2．已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝ k； 3．已知过某点 M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需 f（x1）－f（x0） 设出切点 A(x0，f(x0))，利用 k＝ 求解． x1－ x0
(2015· 课标全国Ⅱ卷)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的 切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________． 解析：先求出 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线方程，然后利用根 的判别式或导数法求 a 的值． 法一 1 ∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋ ，y′ x＝1＝2. x
(2)(2014· 江西卷)若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x －y＋1＝0，则点 P 的坐标是________． 解析：设 P(x0，y0)．∵y＝xln x， 1 ∴y′＝ln x＋ x·＝1＋ln x. x ∴k＝1＋ln x0.又 k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e. ∴y0＝eln e＝e.∴点 P 的坐标是(e，e). 答案：(e，e)
x x
1 2 2 (2)∵y＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x － 3. x x
3
1 1 (3)∵y＝x－ sin x，∴y′＝1－ cos x. 2 2 (4)令 u＝2x－9，y＝ln u，则 y′x＝y′u·u′x 1 2 因此 y′＝ ·(2x－9)′＝ . 2x－9 2x－9
1． 熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提， 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求 导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． 3．(理)复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导， 必要时可换元处理．
(1)函数 f(x)＝exsin x 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜 角为( 3π A. 4 π C. 4 ) π B. 3 π D. 6
解析： 因为 f′(x)＝exsin x＋excos x， 所以 f′(0)＝1， 即曲线 y＝f(x) 在点 (0， f(0))处的切线的斜率为 1，所以在点 (0， f(0))处的切线的倾 π 斜角为 . 4 答案：C
(1)(2014· 课标全国Ⅱ卷 )设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0， 0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝( A． 0 C． 2 B． 1 D． 3 )
1 解析：(1)令 f(x)＝ax－ln(x＋1)，则 f′(x)＝a－ .由导数的几 x＋1 何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为 f′(0)＝a－1.又切线方程为 y ＝2x，则有 a－1＝2， ∴a＝3. 答案：D
1 3 4 x ， A 0 3x0＋3，
2 则切线的斜率为 y′ ＝ x 0. Βιβλιοθήκη Baidu ＝ x 0
1 3 4 ∴切线方程为 y－3x0＋3 ＝x2 0(x－ x0)，
2 3 4 即 y＝x2 · x － x＋ . 0 3 0 3 ∵点 P(2，4)在切线上， 2 3 4 2 ∴4＝2x2 － x0＋ ，即 x3 0 0－3x0＋4＝0， 3 3
1 4 已知曲线 y＝ x3＋ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程． 解析：(1)根据已知得点 P(2，4)是切点且 y′＝x2， ∴在点 P(2，4)处的切线的斜率为 y′ x＝ 2＝4. ∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－ 4＝0. 1 3 4 (2) 设 曲 线 y ＝ x ＋ 与 过 点 P(2 ， 4) 的 切 线 相 切 于 点 3 3
2 2 ∴x3 ＋ x － 4x 0 0 0＋4＝0，
∴x2 0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2， 故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0.
1．导数 f′(x0)的几何意义就是函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切 线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其 他的公共点． 2． “曲线在点 P 处的切线”是以点 P 为切点， “曲线过点 P 的切 线”则点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标． 3．当曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于 x 轴时，函数在 该点处的导数不存在，切线方程是 x＝x0.
第二章
第十节
函数、导数及其应用
变化率与导数、导数的计算
求下列函数的导数
2 1 1 (1)y＝e ln x；(2)y＝ xx ＋ x＋x3；
x
x x (3)y＝ x－sin cos ； 2 2 (4)y＝ln(2x－9)．
解：(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′ 1 1 x ＝e ln x＋e · ＝e ln x＋ x. x
(2)(2014· 广东卷 )曲线 y＝ e ________．
－ 5x
＋ 2 在点 (0 ， 3)处的切线方程为
解析：因为 y＝e－5x＋2，所以 y′＝－5e－5x，因此曲线在点(0，3) 处的切线的斜率为 k＝－5e－ 5×0＝－5，故所求切线方程为 y－3＝－ 5(x－0)，即 5x＋y－3＝0. 答案：5x＋y－3＝0