布尔函数的互相关系数的一些性质

布尔函数的互相关系数的一些性质
于瑞瑞;卓泽朋;任明生
【摘要】Firstly,the relationships between the cross-correlation coefficient and some other cryptographic properties of Boolean functions are presented.On this basis,some known knowledge concerning the nega-crosscorrelation coefficient is summarized.Then the link among nega-crosscorrelation coefficient of four Bool⁃ean functions is given.%利用nega 相关系数的已有结论，给出布尔函数的互相关系数与其他一些密码学性质之间的关系，在此基础上，得出了4个布尔函数的nega互相关系数之间的关系。

【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)003
【总页数】4页(P24-27)
【关键词】布尔函数;互相关系数;nega互相关系数
【作者】于瑞瑞;卓泽朋;任明生
【作者单位】淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000;淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000;淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000【正文语种】中文
【中图分类】TN918.1
为了使全局雪崩准则（GAC）能达到一个更好的折衷效果，在互相关系数的基础上提出两个指标σf和Δf，因为σf和Δf越小，布尔函数的GAC性质就越好.文献
［1］给出这两个指标的上下界：22n≤σf≤23n，0≤Δf≤2n.文献［2］给出平衡布尔函数的σf指标下界为：σf≥22n+2n+3.文献［3］也给出n元布尔函数f（）x
在Fn2的一个子集上满足扩散准则时的σf指标下界.文献［4］研究关于nega-Had⁃ amard变换的一些性质.
本文首先给出一些布尔函数的基本概念和符号说明，然后研究关于互相关系数的一些扩展知识.
定义1［5］设f（）x，g（）x是Βn上的布尔函数，在a处的互相关系数.当f（）x=g（）x，称Δf，f（）a为f（）x在a处的自相关系数，简记为Δf（）a.
定义2记的真值表，其中的真值表中“1”的个数称为f（x）的汉明重量，记为是Βn上的布尔函数，f（）x和g（）x的汉明距离是指布尔函数的汉明重量，记为
d（f，g），即
定义3若是平衡布尔函数，则则称f（）x为平衡布尔函数.
定义4［2］设f（x）是Βn上的n元布尔函数，称分别为f（x）的平方和指标和
绝对值指标.
推论1任一Βn上的n元布尔函数f（x）是平衡的当且仅当
引理1［5］设是Βn上的n元布尔函数，则
1）
此外，若可得
定义5［6］设是Βn上的n元布尔函数，记的Fourier变换.此外，与汉明重量之
间的关系为：
定义6设f（x）是Βn上的n元布尔函数，若g（x）∈Βn使得f（x）g（x）=0，则称g（x）为f（x）的一个零化子.记为f（）x的所有零化子构成的集合.称AI（）f=min｛AN（）f， AN（）f⊕1｝为f（）x的代数免疫度.此外，AI（）f和wt（）f之间的关系可描述为在此基础上，可以得到互相关系数与代数免疫度之间的制约
为方便起见，首先介绍一些关于nega-Hadamard变换的相关知识.
Βn上的n元布尔函数f（x）在任意点处的Walsh-Hadamard变换定义为
n元布尔函数f（）x在任意点处的nega-Hadamard变换定义为
函数f（）x和g（）x在点处的nega互相关系数定义为
若f（）x=g（）x，则函数f（）x在点处的nega自相关系数定义为
定义7设是Βn上的n元布尔函数，则的nega互相关系数的平方和指标定义为，则的nega自相关系数的平方和指标，简记为Δf，也即是注意到
命题1设f（x），g（x）是Βn上的n元布尔函数，则
其中V是的一个子空间且dim（V）=k，记V⊥为V的共轭子空间，即
接下来，从一些特殊情况研究nega互相关系数的一些性质，其中包括4个布尔函数的nega互相关系数.
定理1设fi（）x∈Βn，i=1，2，3，4，则
其中
证明通过nega互相关系数的定义，对于任意u∈Fn2，我们有
证毕.
在定理1中，若f1=f3，f2=f4，则
特别地，若u=0，可得到如下结论.
推论2设f1，f2∈Βn，则
注意到（1）式给出了NCf1，f2和NCf1，NCf2之间的关系.
如果我们应用Cauchy不等式上述（1）式的等号右边，可得
即也即是以下推论.
推论3设，则
在定理1中，若f2=f4，则可得
因此（2）式可另写为
其中u¯=1⊕u.
【相关文献】
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