九年级中考数学考点提升训练——专题：《一次函数：动点综合》(五)(Word版,带答案)

九年级中考数学考点提升训练——专题：
《一次函数：动点综合》（五）
1．已知直线y＝kx+b经过点（2，3）和（﹣4，1），求该直线的表达式．
2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，过点C作CD⊥x轴于点D，求点C 的坐标；
（2）如图2，在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，点M为直线AB上一动点，点N（4，0）为x轴上一定点，当点M在直线AB 上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△QMN是以MN为底边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
3．有这样一个问题，探究函数y＝的图象与性质．小范根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小范的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥1时，y＝，当x＜1时，y＝；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，直接写出实数a的取值范围：．
4．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC＝2，过点B的直线y＝x﹣3与x轴交于点E．
（1）求点B的坐标．
（2）连结CE，求线段CE的长．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），其中m＞0．
（1）若m＝1，且k＝﹣1，求点B的坐标；
（2）已知点A（m，0），若直线y＝kx+4m与x轴交于点C（n，0），n+2p＝4m，若N是线段AB上一点，且点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，求sin∠BON．
6．如图，直线l
1：y＝x和直线l
2
：y＝kx+3交于点A（2，2），P（t，0）是x轴上一动点，
过点P作平行于y轴的直线，使其与直线l
1和直线l
2
分别交于点D，E．
（1）求k的值．
（2）用t表示线段DE的长．
（3）点M是y轴上一动点，当△MDE是等腰直角三角形时，求出t的值及点M的坐标．
7．已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）将所得函数图象平移，使它过点（0，3），求平移后直线的解析式．
8．如图，已知M（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向
右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式：
（2）点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度匀速沿着x轴向右运动，若运动时间用t秒）表示．△BCP的面积用S表示，请你直接写出S与t的函数关系．
9．过点C（﹣6，c）的直线y＝2x+6，交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）点A坐标；点B坐标；点C坐标；
（2）如图，在BC左侧有一点D，使△BCD是等腰直角三角形，并且BD＝CD，求点D的坐标；
（3）过点A的直线AE把△BOC的面积分为1：2，交△BOC另一边于点E，求点E的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在坐标系中能否找到点P，使得∠APB＝90°且AP＝BP？如果能，求出满足条件的点P的坐标；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．解：∵直线y＝kx+b经过点（2，3）和（﹣4，1），
∴，
解得．
故该直线的解析式为y＝x+．
2．解：（1）∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴∠ADC＝∠BOA＝90°，AB＝AC，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD＝OB＝6，CD＝OA＝3，
故点C的坐标为（﹣9，3）；
（2）设点P（x，0），
由点A、B、P的坐标得：AP2＝（x+3）2，PB2＝x2+36，AB2＝45，
当PA＝PB时，即（x+3）2＝x2+36，解得x＝4.5；
当PA＝AB时，同理可得x＝﹣3±3；
当PB＝AB时，同理可得x＝3或﹣3（舍去），
故点P的坐标为（4.5，0）或（﹣3+3，0）或（﹣3﹣3，0）或（3，0）；
（3）存在，理由：设点M（m，2m+6），点Q（0，n），
过点Q作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点G，交过点N与y轴的平行线于点H，
∵△QMN是以MN为底边的等腰直角三角形，则MQ＝NQ，∠MQN＝90°，
则∠MQG+∠NQH＝90°，∠NQH+∠QNH＝90°，
∴∠MQG＝∠QNH，
∵∠MGQ＝∠QHN＝90°，MQ＝NQ，
∴△MGQ≌△QHN（AAS），
∴MG＝QH，GQ＝NH，
即|2m+6﹣n|＝4，﹣m＝|n|，
则2m+6﹣n＝4，﹣m＝﹣n或n﹣2m﹣6＝4，﹣m＝n，
解得，
故点Q的坐标为（0，﹣2）或（0，）．
3．解：（1）当x≥1时，y＝＝x，当x＜1时，y＝＝1；
故答案为：x；1；
（2）根据（1）中的结果，在所给坐标系中画出函数y＝的图象如下：
（3）结合函数图象，该函数的一条性质为：不过原点；
故答案为：不过原点；
（4）∵y＝ax+1过点（0，1）
∴当a＜0或a≥1时，方程ax+1＝只有一个实数解．故答案为：a＜0或a≥1．
4．解：（1）∵OC＝2，
∴C（0，2），
∵四边形OABC是长方形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为2，
∵点B在直线y＝x﹣3上，
∴x﹣3＝2，
∴x＝5，
∴B（5，2）；
（2）∵直线y＝x﹣3与x轴相交于点E，
令y＝0，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴E（3，0），
∴CE＝＝．
5．解：（1）∵一次函数y＝kx+4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），∴2m＝kp+4m．
∴kp＝﹣2m．
∵m＝1，k＝﹣1，
∴p＝2．
∴B（2，2）．
（2）将B（p，2m），C（n，0）分别代入y＝kx+4m，
得kp+4m＝2m且kn+4m＝0．
可得n＝2p．
∵n+2p＝4m，
∴p＝m．
∴A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）．
∵x B＝x A，
∴AB⊥x轴，
且OA＝AC＝m．
∴对于线段AB上的点N，有NO＝NC．
∴点N到坐标原点O与到点C的距离之和为NO+NC＝2NO．
∵∠BAO＝90°，
∴OB＝＝＝m，
在Rt△BAO，Rt△NAO中分别有
OB2＝AB2+OA2＝5m2，NO2＝NA2+OA2＝NA2+m2．
∵点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，∴2NO＝OB，
则4NO2＝OB2．
即4（NA2+m2）＝5m2．
可得NA＝m．
∴ON＝＝m，
作NM⊥OB于M，
∵S
△OBN ＝S
△AOB
﹣S
△AON
，
∴OB•MN＝OA•AB﹣OA•AN，即×m×MN＝×m•2m﹣×m•m，
∴MN ＝m ，
∴sin ∠BON ＝＝＝．
6．解：（1）由题意得，l 2过点A （2，2）， 则将x ＝2，y ＝2，代入y ＝kx +3得2＝2k +3， 解得k ＝；
（2）∵过点P 的直线平行于y 轴， ∴D ，E 两点的横坐标是t ，
∴将x ＝t 代入y ＝x 中，y ＝t ，
代入y ＝x +3中，
， ∴E 点坐标（t ，
）， 当t ≥2时，D 点在E 点的上方，
则DE 的长l ＝y D ﹣y E ＝t ﹣（）＝； 当t ＜2时，D 点在E 点的下方；
则DE 的长l ＝y E ﹣y D ＝（）﹣t ＝， 综上，DE 的长l ＝；
（3）①当t ＜2时，
若点M 是直角顶点时，如图一，则MF ＝|t |＝，
解得t ＝或﹣6，
则该情况存在，
将t ＝分别代入直线l 1，l 2，得D （），E （）， ∴M （0，）； 将t ＝﹣6分别代入直线l 1，l 2，得D （﹣6，﹣6），E （﹣6，6）， ∴M （0，0）；
若点D是直角顶点时，如图二，则MD＝|t|＝DE＝，解得t＝＜2，或t＝6＞2（舍去），
此时M（0，y D），即（0，）；
若点E是直角顶点时，如图三，则ME＝|t|＝DE＝，
解得t＝＜2，
此时M（0，y E），即（0，）．
当t≥2时，t＝t﹣3，
解得t＝6，
与x轴的交点就是（6，0），即E点（6，0），D（6，6），
∴l
2
∴M（0，6），（0，0）．
综上：t＝时，M（0，），M（0，0）；t＝时，M（0，），M（0，）；t＝6时，M（0，6），M（0，0）．
7．解：（1）设y+3＝kx，
把x＝2，y＝7代入得：7+3＝2k，即k＝5，
则y与x函数关系式为y+3＝5x，即y＝5x﹣3；
（2）设平移后的解析式为y＝5x﹣3+m，
把x＝0，y＝3代入得：3＝﹣3+m，即m＝6，
则平移后直线解析式为y＝5x+3．
8．解：（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，
由位似图形性质可知：△ABO ∽△ACD ， ∴．
由已知A （﹣4，0），B （0，4），
可知：AO ＝BO ＝4．
∴AD ＝CD ＝9，
∴C 点坐标为（5，9）
直线BC 的解析是为：y ＝x +4；
（2）由题意得：S ＝S △APC ﹣S △ABP ＝×2t ×9﹣×2t ×4＝5t （t ＞0）．
9．解：（1）令y ＝0，0＝﹣2x +6，x ＝﹣3，则A （﹣3，0）；
令x ＝0，y ＝6，则B （0，6）；
把x ＝﹣6带入直线关系式得：y ＝﹣2×（﹣6）+6＝﹣6，
则D （﹣6，﹣6），
故答案为：（﹣3，0），（0，6）、（﹣6，﹣6）；
（2）如图，过点D 作DE ⊥y 于点E ，过点C 作CF ⊥DE 与点F ，交x 轴于点H ，
则∠FDC+∠FCD＝90°，∠CFD＝∠DEB＝90°
∵△BDC为等腰直角三角形，BD＝CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDE+∠CDF＝90°，
∴∠BDE＝∠DCF
∵∠CFD＝∠DEB，∠BDE＝∠DCF，BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，BE＝DF，
∵C（﹣6，﹣6），
∴CH＝FE＝6，
∴FH＝DF＝BE，
∵B（0，6），
∴BO＝6，
∴EO＝BE＝3，
∴DE＝FE+DF＝6+3＝9，
∴D（﹣9，3）；
（3）△BOC的面积＝×BO×|x C|＝×6×6＝18，
同理可得：S
△AOB ＝S
△AOC
＝9，
①当点E（E′）在边BO上时，
由题意得：S
△BAE′＝S
△BOC
＝×18＝6＝×BE′×AO＝×BE′×3，解得BE′＝4，
而点B（0，6），
故点E′的坐标为（0，2）；
②当点E在边CO上时，
由题意得：S
△AEC ＝S
△BOC
＝×18＝6，
而S
△AOC ＝9，故S
△AEO
＝9﹣6＝3＝×AO×|y E|＝×3×|y E|，解得y E＝﹣2，
由点O、C的坐标知，直线OC的表达式为y＝x，
当y＝﹣2时，y＝x＝﹣2，
故点E的坐标为（﹣2，﹣2），
故点E的坐标为（0，2）或（﹣2，﹣2）．
10．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线AB的表达式为y＝﹣x+2；
（2）①当点P在AB上方时，如下图，
设点P（a，b），
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，∵∠APB＝90°，
∴∠APM+∠MPB＝90°，
∵∠MPB+∠BPN＝90°，
∴∠NPB＝∠MPA，
而BP＝AP，∠PNB＝∠PMA＝90°，
∴△PNB≌△PMA（AAS），
∴AM＝BN，PM＝PN，
即，解得，
故点P的坐标为（3，3）；
②当点P在AB下方时，
同理可得：点P（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（3，3）或（1，﹣1）．。