近世代数基础测验卷

近世代数测验题
一、填空题（42分）
1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。

2、对群中任意元素1
)(,,-ab b a 有= ；
3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；
4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；
5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；
6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；
7、设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；
9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；
10、任意一个群都同一个 同构。

二、证明题（24）
1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n
=。

2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。

3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。

二、解答题（34）
1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。

2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所
有右陪集。

参考答案：
一、填空题
1、满足结合律； 满足交换律；
2、11--a b ；
3、e ；
4、整数加群；n 次单位根群；
5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；
6、n!;4
7、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)
9、|H|:(G:H)
10、（双射）变换群；
二、证明题
1、已知||n G =，|a|=k,则
k|n
令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(
即G 中每个元素都满足方程e x n =
2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；
证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交
设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,
H 是G 的子群，有H ab ∈
K 是G 的子群，有K ab ∈
Q ab ∈∴
H
a K
a H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知
由定理且，则
综上所述，H 也是G 的子群。

3、证： ba
a b ab ab a a a a a a a G
ab G b a =====⋅=⋅∈∈∀-----1111
2
1)(;
,由消元法得
G 是交换群。

三、解答题
1、解：设G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
（1）结合律成立，即对G 中任意元素)()(,,c b a c b a c b a =，有
（2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a a e a = ，都有
（3）对G 中每个元素e a a a G a =-- 11,，使中有元素在
则G 对代数运算 作成一个群。

对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯一确定，故 为G 的代数运算。

（a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8
a (
b c)=a+b+c+8
即（a b ） c= a (b c)满足结合律
∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a
故-4为G 的左单位元。

（-8-a ） a=-8-a+a+4=-4
故-8-a 是a 的左逆元。

2、解：6||3=S 其子群的阶数只能是1，2，3，6
1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝
3阶子群｛（1）（123）（132）｝
6阶子群3S
左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H
（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H
（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H
右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H （23）
H （13）=｛（13）（23）｝=H （123）
H （12）=｛（12）（132）｝=H （132）
近世代数复习题
1.n 次对称群Sn 的阶是____________.
2.一个有限非可换群至少含有____________个元素.
3.设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有____________个.
4. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个。

5.剩余类加群Z 6的全部生成元是________。

6.整数加群Z 有__________个生成元.
7.6阶循环群有_________个子群.
8.设Z 7是模７的剩余类加群，那么Z 7有___________个子群．
9. 素数阶有限群G 的非平凡子群个数等于____________。

10.在3次对称群S 3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个.
11、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。

12.5次对称群S 5中，(12543)2(13542)-1=_________.
13.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若
干个没有公共数字的循环置换之积)。

14、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

15、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

16.每一个有限群都和一个_____群同构.
17.如果G 是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于∀a
∈G，则元素a的阶只可能是___________。

18.在3次对称群S
3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S
3
的一个不变子群，则商
群G/H中的元素(12)H＝___________。

19.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则(13)H＝___________．
20.设循环群G=(a)，如果a的周期无限，则(a)同构于________。

21.剩余类环Z
m
是无零因子环的充要条件是_____.
22. 剩余类环Z
5
的零因子个数等于__________.
23.模9的剩余类环Z
9
的零因子为________.
24.模P（素数）的剩余类环Zp有________个可逆元.
25.剩余类环Z11的可逆元有___________个.
26.除环的理想共有____________个.
27.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.
29.模8的剩余类环Z
8
的子环有_________个.
30.剩余类环Z
n
是域⇔n是_________.
31.整数环Z的理想有_________个.
32.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么n是___________。

33.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是_______________。

34.整环I＝｛所有复数a+b3
-(a,b是整数)｝，则I的单位是_______.
35.剩余类环Z
4
的可逆元共有________个。

36.理想（3）∩（7）=________。

37. 模10的剩余类环
10
Z的全部理想是________。

38.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝______________。

39.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的理想(2,x)＝___________．
40.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的理想(3,x)＝________．
41、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为。

42、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么
I
R是一个域当且仅当I是。

43、整环I的一个元p叫做一个素元，如果。

44.一个整环I叫做主理想环，假如________。

45.唯一分解环与欧氏环的关系是___________.
46. 整环与主理想环的关系是____________。

47.主理想环与欧氏环的关系是________.
第二章
§2 1-4
§5 1-4
§7 1-4
§8 1-6
§10 1-5
第三章
§3 1-3
§4 1
§5 1-5
§8 1-5
§9 1-3
第三章补充的复习题。