基于APOS理论的高中数学概念教学

基于APOS理论的高中数学概念教学作者：角碧波张湘君

来源：《新课程教学》2015年第02期

【摘要】由美国学者杜宾斯基（Dubinsky ）等人提出的APOS 理论是一种建构主义的数学学习理论.该理论强调学生对数学概念的建构需要经历“操作（A ）阶段”“过程（P ）阶段”“对象

（O）阶段”和“图式（S）阶段”四个阶段.基于对APOS理论的认识，以“直线的倾斜角与斜率”的概念教学为例，对APOS理论在高中概念教学中的应用进行了探索和反思.

【关键词】APOS理论高中数学概念教学直线的倾斜角与斜率

一、问题的提出

概念教学在高中数学教学中举足重轻.传统的概念教学中典型的做法是：教师带领学生勾画概念，强调若干注意点，随即开始大量做题，试图通过让学生不断地解题来促进学生对概念的理解.而这种做法的结果往往适得其反，学生变成了解题机器，只知其然而不知其所以然.寻求新的有效的概念教学法是高中数学教与学的迫切需要，也是广大高中数学教师的不懈追求.APOS理论是美国学者杜宾斯基（Dubinsky）等人提出的一种建构主义的数学学习理论＼[1＼]，它的主张概念建构要具有层次性的观点为数学概念教学的逐层渐进提供了理论基础.本文试图基于APOS理论，以平面解析几何的开篇和基础——“直线的倾斜角与斜率”为例，尝试对高中数学概念教学进行探索，以期获得一些启发.

二、APOS理论

APOS由“Action（操作）”“Process（过程）”“Object（对象）”和“Schema（图式）”四个英文单词的首字母组合而成＼[1＼]，杜宾斯基认为数学概念的学习要经历这四个活动阶

段.APOS理论是源于杜宾斯基试图对皮亚杰（Piaget）数学学习的“自反抽象（Reflective Abstraction）”理论进行拓展的一种尝试＼[2＼].

1“操作（A）阶段”——学生建构数学概念的起点

教师基于学生已有认知的基础，为学生提供概念的直观背景、相关概念或是一些感性素材，学生对这些外部刺激进行感知和转换.在数学概念中学生的“操作（A）”是广义上的活动，可以是具体的动作操作，也可以是抽象的思维操作＼[3＼].

2“过程（P）阶段”——学生概念学习的关键阶段

在“操作（A）阶段”学生获得了直观感知，在随后的这一阶段，就要对其进行组织和处理，经历观察、联想、归纳和概括等过程，才有思考和顿悟，实现知识的内化和压缩.在这一阶段需要充分暴露思维的过程，才能实现知识的“再创造”，其短暂或缺失，都会影响学生的参与度和学习效果，并直接影响“对象（O）阶段”概念的概括和生成.

3“对象（O）阶段”——学生概念学习的概括阶段

“操作（A）”和“过程（P）”两个阶段的达成度将直接影响此阶段的时间、效率和质量.经历一次或数次“操作（A）”和“过程（P）”后，学生在大脑中对活动不断进行描述和反思，抽象概括出概念所特有的性质，从而在头脑中生成对概念的认知和初步把握.

4“图式（S）阶段”——学生习得概念的升华阶段

教师提供反映概念的特例、抽象过程、定义和符号等情境给学生探究，学生对其进行深入学习.对前面几个阶段的经历及大脑中原有相关方面的问题图式进行不断的整合、精致，最终实现数学概念的建构，形成综合的心理图式.概念一旦建构起来，就将成为后续的概念建构的材料.

值得指出的是，有的数学概念的学习，一两次的“APOS”是不能形成完整的“图式（S）”的＼[3＼]，如函数概念的学习是一个复杂而困难的过程＼[4＼]，学生在初中、高中和大学都需要经历不同程度的概念建构.

三、基于APOS理论的“直线的倾斜角与斜率”的概念教学活动设计

“直线的倾斜角与斜率”是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修2第三章第一节的第一小节内容＼[5＼]，本小节内容涉及两个核心概念的教学——辅概念“倾斜角”和主概念“斜率”1

1在数学学习中常常会遇到这样的情况：在学习一个知识点之前需进行一些必要的预备知识的学习.我们称最终要学习的概念为“主概念”，为此需要进行预备学习的概念为“辅概念”.

2本文主要处理“倾斜角”和“斜率”两个核心概念的教学设计，其他教学内容和环节在此不予涉及.，现基于APOS理论对两个概念的教学活动过程进行设计2.

1.直线的倾斜角

（1）操作（A）阶段

问题1：在初中我们已经学习过一次函数，知道其图象是直线，图1是在同一直角坐标系中给出了某三个一次函数的图象，它们有什么区别与联系？

师生活动：（1）引导学生发现三条直线图象的联系是过同一个点（1，0），区别是倾斜程度不同；（2）用几何画板演示过定点（1，0）的直线系（如图2），帮助学生思考“区别”；（3）得出结论：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线.

【设计意图】“一次函数及其图象”和“两点确定一条直线”是初中就已学过的内容，以此作为“生长点”，基于已有认知而又高于已有认知，形成认知冲突，启发学生思考，激发学生学习兴趣.

（2）过程（P）阶段

问题2：上述问题中我们所谓的直线的倾斜程度应该是相对的，分别以x轴、y轴为参照，同一条直线的倾斜程度是不一样的，我们不妨以x轴为参照进行研究.在直角坐标系中，

任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜程度.请同学们思考可以用什么样的一个几何量来反映

一条直线与x轴的相对倾斜程度.

师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上，启发学生发现可以用直线与x轴形成的夹角（当直线与x轴相交时）来描述直线的倾斜程度.当然，直线与x轴相交会形成四个角，教师还需引导学生思考到底选哪个角作为刻画直线倾斜程度的几何量比较合适.在这一系列引导学生的思考中促成概念的形成.

【设计意图】充分暴露思维的过程，引导学生做数学，自然而然探索得到描述直线倾斜程度的几何要素，此即概念生成的过程.

（3）对象（O）阶段

问题3：我们探究得到的描述直线倾斜程度的角简称直线的倾斜角，请同学们用自己的语言尝试着给倾斜角下一个定义.

师生活动：鼓励学生大胆发言，交流意见，引导学生在碰撞中归纳总结出直线倾斜角的概念.

【设计意图】想清楚了还需说清楚，说清楚了才能写清楚，基于前面问题2的充分探究，可以把舞台让给学生，锻炼学生的数学言语表达和归纳能力.

（4）图式（S）阶段

练习1判断正误：（1）存在倾斜角是210°的直线；（2）存在倾斜角是180°的直线；（3）直线确定，则倾斜角确定；（4）倾斜角确定，则直线确定.

师生活动：先给学生时间做，必要时进行适当引导，而后再借助几何画板进行讲评.

【设计意图】（1）（2）帮助学生再次理解直线倾斜角的含义，并得出直线倾斜角取值范围的规定；（3）（4）旨在引导学生理解直线与倾斜角的对应关系，明确确定一条直线位置的几何要素.

2直线的斜率

（1）操作（A）阶段