初一数学：角平分线(含解析)

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角平分线
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板块一角平分线的性质与判定
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角平分线的性质与判定：
⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．
⑵角平分线的性质定理：
如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑶角平分线的判定定理
1
2
如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；
在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
夯实基础
【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．
⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．
B
A
P
【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，
过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．
∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，
∴IE IF =，
∴IC 是ACB ∠的平分线，
∴三角形三个角的平分线交于一点．
这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角
形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．
⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC
⊥于Q ．
由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故
PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．
这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．
【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．
请你证明：CF 平分AFB ∠．
M D N
E
C B
F
A
G
M H D N
E
C B
F A
I F
E D
C
B A
N
M
C B A
Q P
3
【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，
由ACN MCB △≌△，
利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．
【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。

【例3】如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：
⑴图中有几个等腰三角形？
⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形?⑶如图⑶，若将题中的ABC △改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形?线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACG ∠.DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
(1)
C
D
B
A (5)
(4)
(3)(2)
M
D
D
D
C
C
C
B
B
B
A
A
A
A
B C
D
E
E
E E F
F F F G
N
【解析】⑴图⑴中有两个等腰三角形：ABC △、BCD
△⑵图⑵中又增加了三个等腰三角形：AEF △、BED △、CFD △⑶图⑶中有两个等腰三角形：BED △、CFD △，
由于ED BE =，DF CF =，EF ED FD BE CF =+=+，故EF BE CF =+⑷图⑷所示中仍有两个等腰三角形BED △、CDF
△从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =-⑸如图⑸所示，与⑶类似，EF BE CF
=+知识导航
基本模型
在解某些题中含有角平分线的问题时，常见模型需添加辅助线，下面介绍几种常用的方法：
（1）由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，如图1，可利用角的平分线性质定理解题；（2）以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，如图2，使已知与结论发生关系．
（3）当题设有角平分线及角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质，中位线定理证题，如图3．
板块二角平分线基本模型
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初一寒假·尖端班·第5讲·教师版
图5
E
A
P
D
C B 图1图2图3
⑷过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质，沟通题设
与结论的联系．
【角平分线最重要的性质就是角平分线上的点到角的两边距离相等】【基本模型其实是基本性质的变化】
【教师可以在授课的时候带同学往这方面思考，特别是如何变化成图2的情形】
夯实基础
【例4】阅读下列学习材料：
如图1所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截
取OB OA =，连接BC （如图2）
，易证AOC BOC △≌△．图1
N
M O
P
A C
图2
C
A P
B
O
M N 请根据上面的学习材料，解答下列各题：
⑴如图3所示，在ABC △中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由；
⑵如图4所示，上题中AD 是内角平分线，其它条件不变，求证：PC PB AC AB -<-．
B
P
A
图3
图4
A
B
C
D P 【解析】⑴PB PC AB AC +>+，理由如下：
如图4所示，在AB 的延长线上截取AE AC =，连接PE ．因为AD 是BAC ∠的外角平分线，故CAP EAP ∠=∠．在ACP △和AEP △中，AC AE =，CAP EAP ∠=∠，AP AP =，
5
图6E P
D C B
A 因此ACP AEP △≌△，从而PC PE =．在BPE △中，P
B PE BE +>，
而BE BA AE AB AC =+=+，
故PB PC AB AC +>+．
⑵在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，
∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB =，在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-，∴PC PB AC AB -<-．
【例5】⑴如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等
三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题；
⑵如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
⑶如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑵中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1
P
O
N M
图2F
E
D C
B A
图3F
E D C
B
A
【解析】⑴如图
2
1P
O
N M
M
F E D C
B
A
⑵FE FD =；
⑶在AC 上截取AM AE
=∵AD 平分BAC ∠,∴()SAS EAF MAF △≌△，EF FM =∵CF 平分BCA ∠,∴2120AFC B ∠=∠=°60EFA ∠=︒，60DFC ∠=︒60AFM CFM
∠=︒=∠在CDF △和CMF △中，DFC MFC FC FC
DCF MCF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，∴CDF CMF △≌△，∴DF FM =，∴EF FD
=
【例6】已知：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．
求证：1
2
CE BD =．
3
2
1
E
D C
B
A
【解析】延长CE 、BA 相交于F ，
在BEC △和BEF △中12BE BE
BEF BEC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴BEC BEF △≌△．∴1
2
CE EF CF
==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠°
．同理390F ∠=-∠°
，∴13∠=∠．在ABD △和ACF △中，13AB AC
BAD CAF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ABD ACF △≌△．
∴BD CF =．∴1
2
CE BD =．
探索提升
【例7】已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．【解析】解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，
过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，
ADF ECD ∠=∠．
又∵12∠=∠，
∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形．
∴BF DC =，DF DC =．
∵()111218010020222
ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，
1()1802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，
∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，
∴100FAD DEC ∠=∠=︒，
∴AFD EDC △≌△，AD EC =．
又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．
解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =．∵12∠=∠，BD 为公共边，
∴BAD BFD △≌△，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．
A
B
C
D E F 1
2
3
B A
F E D C 321
D C B A
∵()111
118010020222
ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，
∴()()18011801002060ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒．
∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒．∵DF DE =，∴DFC DEC △≌△．
∴E DFC ∠=∠，34∠=∠．
∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，
故3480ECB ∠=∠+∠=︒．∴ECB E ∠=∠，故BC BE =．∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+．
解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ．
∵12∠=∠，BD 公共，∴BDC BDF △≌△．
∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．
又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，∴40BFD ∠=︒．
∵BE BF =，120∠=︒．∴80BEF BFE ∠=∠=︒，∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．
而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴FAD DEF ∠=∠．
又FD 公共，∴FAD FED △≌△．∴ED AD =．∴BC BE BD AD ==+．
【例8】阅读下面学习材料：
如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 是ABC △的中位线（如
图2所示），可得DE BC ∥且1
2
DE BC =．
图2图1
B
C
A
E
D C B
A
⑴如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若
CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1
()2
MF AC AB =-.
⑵如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．
图1
B M
F D C
A
图2
C
B
M F
D
A
B A
D
C
2
1
F
E 4
3B A D
C
21
F
E
【解析】⑴如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，
在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE ∆的中位线，
从而()()111
222
MF BE AE AB AC AB =
=-=-．图3
A
C
D E
F M
B 图4
A D
E
F
M
B
C
⑵不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点
易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点
∵M 是BC 中点，∴()()111
222
MF BE BA AE BA AC =
=+=+．非常挑战
【例9】已知：如图所示，直线MA NB ∥，MAB ∠与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与
两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．
⑴如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
⑵如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，⑴中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
⑶当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，⑴中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
备用图备用图
图2
图1
A B
C
M A B
C
M N
A B
C
D
E M N l
l
M E D C
B
A
【解析】⑴AD BE AB +=．
⑵成立．方法一：在AB 上截取AG AD =，连接CG ．
方法一图786534
21M E
D
C
B
A N l
方法二图124
35
6l
N A B
C
D E M 方法三图
124
35
67l
N A B
C
D E M ∵12AC AC ∠=∠=，，∴ADC AGC △≌△，∴56∠=∠，
∵AM BN ∥，∴1234180∠+∠+∠+∠=︒，
∵1234∠=∠∠=∠，
，∴2390∠+∠=︒，∴90ACB ∠=︒，即6790∠+∠=︒．∵5678180∠+∠+∠+∠=︒，∴5890∠+∠=︒，∴78∠=∠．∵34∠=∠，BC BC =，
∴BGC BEC △≌△，∴BG BE =，∴AD BE AG BG +=+，∴AD BE AB +=．
方法二：过点C 作FG AM ⊥于F ，交BN 于点G ．作CH AB ⊥于H ．由⑴得AF BG AB +=，
∵AM BN ∥，∴90AFG =︒，∴90BGF FGE ∠=∠=︒，
∵1234∠=∠∠=∠，
，∴CF CH CH CG ==，
，∴CF CG =．∵56∠=∠，∴CFD CGE △≌△，
∴DF EG =，∴AD BE AF BG AB +=+=．方法三：延长BC ，交AM 于点F ．∵AM BN ∥，∴54∠=∠，
∵34∠=∠，∴53∠=∠，∴AF AB =，
∵12∠=∠，∴AFC ABC △≌△，∴CF CB =，∵67∠=∠，∴FCD BCE △≌△，
∴DF BE =，∴AD BE AD DF AF AB +=+==．⑶不成立．线段AD BE AB 、、之间存在数量关系．
当点D 在射线AM 上、点E 在射线BN 的反向延长线上时（如图①），AD BE AB -=；当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时（如图②），BE AD AB -=．
图(2)
图(1)
A B
C
M
N D E
l
l
E D
N
M C
B
A
思维拓展
【拓1】⑴（角平分线定理）AD 是ABC △的角平分线，求证：
AB BD
AC CD
=．D C
B A
⑵（外角平分线定理）AE 是ABC △的外角平分线，求证：
AB BE
AC CE
=．E
A
B C 【解析】⑴设D 到AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ，则12=h h ，
1
21
21
2
ABD
ACD
AB h S BD AB CD S AC AC h ⋅⋅=
==
⋅⋅△△⑵同理可得．
【拓2】已知：如图，ABC △中，AB AC =，D 为BC 上任一点，DF AB ⊥，DE AC ⊥，CH AB ⊥．
求证：CH DF DE =+．
H F E D
C
B
A
G
H F E D
C
B
A
【分析】
作DG HC ⊥于G ，则四边形DFHG 为长方形．故有DF HG =，即证DE CG =．
易证得//DG AB ，故B GDC ∠=∠，又由AB AC =，得B ECD ∠=∠，GDC ECD ∠=∠，可证得()AAS GDC ECD △≌△，∴CG DE =∴DF DE HG CG CH +=+=，得证．<法二>面积法（推荐），易证．
【拓3】已知：如图，ABC △中，100BAC ∠=︒，在BC 边上取点D ，使得80BAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，CE
平分ACB ∠，联结AD 、DE ，求CED ∠的大小．
E
D C
B A
P
N M F
E
D
C
B
A
【解析】如图，延长CA ，得射线CF ，作EM CA ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EP BC ⊥于P ．
易得80DAB FAB ∠=∠=︒，故AE 平分DAF ∠，因此EM EN =；又EC 平分ACB ∠，故EN EP =；
因此EM EP =，所以E 在ADB ∠的角平分线上（即E 为ADC △的旁心）
；因此111
10222
CED EDB ECD ADB ACB CAD ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒（角平分线求角度模型）．
【拓4】如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD
⊥于F ，求证：AF OD =．
O F E
D
C
B
A B
A G
F E
D
C
O 21【解析】如图，过O 作OG AB ⊥．∵12∠=∠，OD BC ⊥，∴OG OD =．
∵190AEO ∠+∠=︒，290BOD ∠+∠=︒，∴AEO BOD ∠=∠．而BOD AOE ∠=∠，∴AEO AOE ∠=∠，∴AE AO =．∵EF DC ∥，∴AEF C ∠=∠．
∵90C CAD ∠+∠=︒，90GAO CAD ∠+∠=︒，∴C GAO ∠=∠，故AEF GAO ∠=∠．∴Rt Rt AEF OAG △≌△，OG AF =，∴AF OD =．
【点评】直角三角形斜边上的高+一个锐角的角平分线，可以构造出等腰三角形，即AE AO =
．
复习巩固
习题1．如图，BD 是ABC ∠的平分线，AB BC =，点P 在角平分线上，PM AD ⊥于M ，PN CD ⊥于
N ．求证：PM PN =．
P
N
M
D C
B
A 【解析】不难证得()SAS ABD CBD △≌△，则有ADP CDP ∠=∠，又PM AD ⊥，PN CD ⊥，所以PM PN =（角的平分线上的点到角两边的距离相等）
习题2．如图所示，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB
于E ，FG BC ∥交AB 于G ．4AE =，14AB =，则BG =______．
G F E
D
C
B
A
H
G F E
D
C
B
A
【解析】过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点，
易证AEC EHC △≌△；
由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，则有EH EA AF ==；又可证AGF BHE △≌△，
则14410AG EB ==-=，则1064BG =-=．习题3．如图，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠．
ED AB FD AC ∥，∥．如果6BC =，求DEF △的周长．【解析】6
习题4．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ．
求证：AB BD AC +=．
【解析】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =，连结DE ．
在ABD △和AED △中
AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED
△≌△∴BD ED =，B AED
∠=∠又∵2AED EDC C B C
∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED EC =，∴AB BD AC +=．
E
D
C
B
A
A
B
C
D E
方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC AE =，连结DE ．
在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，
∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠，
F
E
D C B
A
D C
B A
又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠，
∴E BDE ∠=∠，∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：延长DB 到点E ，使得AB BE =，连结AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠，又∵2ABC C ∠=∠，∴AE AC =，
又∵EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠，∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+===．
A
B C
D
E E D C
B A F
M
方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点延长BF 到M ，使FM FA =，连结AM ∴ABF FBC
∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =∵AF FM =，∴M FAM
∠=∠∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M
∠=∠∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB AM
=∵ADB C DAC ∠=∠+∠，且DEB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD BE =同理MA ME
=∵AF FM =，FB FC =，∴AC BM =．∴AC AB BD =+．
习题5．如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．
D
C
B A
E
D
C
B
A
D
C
B
A
F
【解析】方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD △与EBD △中
∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD =，∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠，
∵108A ∠=︒，∴108DEB ∠=∠︒，∴72DEC ∠=︒．又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，
∴72CDE ∠=︒，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE =，∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+．
方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ．∵AB AC =，且108BAC ∠=︒，∴36ABC C ∠=∠=︒．
∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．
∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=︒．
∵1
2
ADB C ABC ∠=∠+∠，
∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒
∴BF AB AC FD ===．∴AF CD =．∴BC AC CD =+．
习题6．如图，已知AC BD ∥，EA EB 、分别平分CAB DBA ∠∠、，CD 过点E ．求证：AB AC BD =+．
E
D
C
B
A F
A
B
C
D
E
【解析】在AB 上截取AF AC =，连接EF ，
∵EA 是角平分线，∴CAE FAE ∠=∠，∴ACE AFE △≌△，∴ACE AFE ∠=∠，∵AC BD ∥，∴180C D ∠+∠=︒，
∵180AFE BFE ∠+∠=︒，∴BFE D ∠=∠，∵EB 平分DBA ∠，∴EBF EBD ∠=∠，∴BEF BED △≌△，∴BF BD =，∴AB AF BF AC BD =+=+．
习题7．在ABC △中，MB 、NC 分别是ABC ∠和ACB ∠的外角的平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂
足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1
2
MN AB AC BC =++．
N
M
C
B
A
F
E
N
M
C B A
【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，
易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC
=∴MN BC ∥，且()()11
22
MN EB BC CF AB BC AC =++=++．
习题8．如图，在ABC △中，分别作两角B C ∠∠、的平分线BE CF 、，AG CF AH BE ⊥⊥，．求证：
GH ∥BC ．
H
G
F E
C
B
A
N
M
H G F E
C
B
A
【解析】分别延长AG AH ，
，交BC 于M N ，．由例题结论可证得AH HN AG GM ==，
，于是GH 是AMN △的中位线，∴GH BC ∥．
补充练习
习题1．已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，180B D ∠+∠=︒．求证：BC CD =．
D
C
B
A B'
D
C
B
A 【解析】如图，在AD 上截取'A
B AB =，联结'B
C ．
易证'ABC AB C △≌△，故'BC B C =，'B AB C ∠=∠．
又180B D ∠+∠=︒且''180AB C CB D ∠+∠=︒，故'D CB D ∠=∠，因此'CB CD =，所以BC CD =．
习题2．（2002年上海市中考题）已知：如图所示，点P 为AOB ∠的平分线上一点，PC OA ⊥于C ，
180OAP OBP ∠+∠=︒．求证：2OA OB OC +=．
B
C
A O
P
E
B C
A O
P
【解析】如图，作PE OB ⊥于E ，则PC PE =，OC OE =，180CAP OBP EBP ∠=︒-∠=∠，
∴ACP BEP △≌△，2OA OB OC AC OE BE OC +=++-=．
习题3．已知：如图，在凸四边形ABCD 中，AB BC CD ==，::1:1:2A B C ∠∠∠=，求各内角的度数．
D
C
A
E
D
C
A
【解析】作BE 平分ABC ∠交AD 于E ，联结CE ．
易证得()SAS ABE CBE △≌△，则A BCE ∠=∠，
设ABE CBE x ∠=∠=，则2A BCE x ∠=∠=，4BCD x ∠=，则2ECD x ∠=，故可证得()SAS BCE DCE △≌△，故CBE D x
∠=∠=由四边形内角和为360︒，得224360x x x x +++=︒，解得40x =︒故80A B ∠=∠=︒，160C ∠=︒，40D ∠=︒
习题4．如图，已知ABC △，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．
2
1B
D
C
E
D
C
B
2
1【解析】过D 作DE AB ⊥于E ，
∵AD BD =，DE AB ⊥，∴ADE BDE △≌△，
∴1
2
AE BE AB AC ===，
∵12∠=∠，∴ADE ADC △≌△，∴90ACD AED ∠=∠=︒，∴DC AC ⊥．
习题5．如图，在ABC △中，3AB AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，垂足为E ，
求证：AD DE =．
E
D
C B
A
【解析】解法一：如图，延长AC 、BE 交于F ．
∵12∠=∠，AE BF ⊥，∴AF AB =，2CF AC =．过E 作EH AF ∥，交BC 于H ，则1
2
EH CF AC ==，1DEH ∠=∠，ACD EHD ∠=∠．∴ACD EHD △≌△，∴AD DE =．
解法二：如图，延长BE 、AC 交于F ．
∵12∠=∠，AE BF ⊥，
∴AF AB =．∴2ABF ABE S S =△△．
而1133AC AB AF ==，∴13ABC ABF S S =△△．∵AD 平分BAC ∠，∴3BD AB
CD AC
==（由角平分线定理可得，教师可以根据学生情况适当补充该知识点），
3
34BD DC BC ==，
∴311
442ABD ABC ABF ABE S S S S ===△△△△．
故1
2
AD AE =，∴AD DE =．
解法三：如图，延长AC 、BE 交于G ，
过E 作EH BC ∥交AG 于H ．
∵12∠=∠，AE BG ⊥，
∴3AG AB AC ==，BE GE =．故有HC HG =．
∵2CG AB AC AC =-=，∴HC AC =．
∵DC HE ∥，∴AD DE =．解法四：如图，取AB 的中点G ，连接EG 交BC 于F ，
F 21
B
A E
D
C 2
1
B
A E
D C G H 21
B
A
H
F
E
D C
则EG 是Rt ABE △斜边上的中线．∴AG EG =，21AEG ∠=∠=∠．
∴EG AC ∥．
故BF CF =，12FG AC =，1322EG AB AC ==，有13
FG EG =，故F 是ABE △的重心．
∴BD 为AE 的中线，故AD DE =．
习题6．（2008年新知杯）如图，已知9BAD DAC ∠=∠=︒，AD AE ⊥，且AB AC BE +=．
则B ∠=_______．
D C E
B A
2α
5
43
2
1α
αF
D C
E
B
A
【分析】
如图，延长BA 到点F ，使AF AC =．
由题设知BF BE =,39019024∠=︒-∠=︒-∠=∠．于是，EAF EAC △≌△，有AEF AEC α∠=∠=．进而，2F α∠=，1804B α∠=︒-．
故905191804B αα︒-=∠=∠+∠=︒+︒-．解得33,18043348B α=︒∠=︒-⨯︒=︒．
G C D E F A B 1
2。