【祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积】

小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异” “幂”是面积，“势”即是高。
意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体 的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
因此
那么 r = R2 l 2
S圆 = r 2 = (R2 l 2 ) = R2 l 2
圆环面积 S圆环 = R2 l 2
S圆 = S圆环
L
O2
P
r
K
O1
l
BN
l
R
o
o
根据祖日恒原理，这两个几何体的体积相等，即
1 2
V球
= R2 R
1 3
R2 R
=
2
3
R3
所以
V球
=
4
祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等。
探究柱体的体积公式 如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h 从而我们可以得到所有柱体的体积是_V_柱 __体_____S_底_ h
3
R3
课堂小结： 知识方面：本节探究了利用祖暅原理获得了
柱体、锥体、球体的体积公式.
思维能力方面：体会到联想，类比，猜想 证明等合情推理及逻辑推理的 方法在探索新知识方面的重要 作用.
谢谢观看
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱锥和圆锥，你能用祖暅原理推导 锥体的体积公式吗？
探究锥体的体积公式
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1CBCB NhomakorabeaA
A
分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由.
锥体的体积
V锥体
1 3
S底h
探究球体的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 l
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。祖 冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿 子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方 被称为“卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以 后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。 为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上也称 这个原理为“祖暅原理”。