省连城一中2015届高考数学围题卷 文

连城一中2015届数学（文）试卷围题卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求).
1．设集合x x M ≤-=4|{<2}，集合x
x N 2|{=<}4
1，则N M 中所含整数的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．设复数,,121i m z i z -=+= 若12z z ⋅为纯虚数,则实数m 可以是（ ） A ．i B ．2
i C ．3
i D ．4
i
3．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．17
4．一个学校高一、高二、高三学生数之比为5:2:3,若用分层抽样抽取容量为200的样本,则应从高三学生中抽取的人数是（ ）
A ． 20
B ．40
C ． 60 D. 80
5．函数y ＝f (x )的图象在点x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )
A ．1
B ．2
C ．0 D.1
2
6．已知0x 是x
x x f 1
sin )(-
=的零点，则0x 还满足的方程是（ ） A.01sin 1=+⋅x x B.01sin 1=-⋅x x C.01sin =+⋅x x D.01sin =-⋅x x
7．已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在同一周期内,当x =12
π时,y max =2;
当x =712
π时，,y min =-2.那么函数的解析式为 ( )
A ．y =2sin(2x +
3π) B ． y =2sin(2x -6π) C ．y =2sin(2x +6π) D ．y =2sin(2x -3
π
)
8．已知1,111=++=+a n a a n n ，则按如图所示的框图运算输出的值对应的项是（ ） A ．8a . B ．9a C ．10a D ．11a
9．已知点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点C ，D 为椭圆的上、下顶点，点F 为椭圆的右焦点，若CF ⊥BD ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．213-
B ．21
C ．215-
D ．2
16-
10． 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2
＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.
若圆心C ∈Ω，且圆C
与x 轴相切，则a 2
＋b 2
的最小值为( )
A ．5
B ．29
C ．37
D ．49
11．正三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A ­ B 1DC 1的体积为( )
A ．3
B ．32
C ．1
D ．3
2
12已知抛物线x y 42
=，点A （1，0）B （-1，0），点M 在抛物线上，则MBA ∠的最大值是（ ） A ．
4π B ．3π C ．6π D ．4
3π
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).
13.若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2， 则)2
15(f ＋)3
20(f ＝______．
14.已知ωω(,sin )(x x f =>0）的部分图像如图所示，且
2)(=⋅+OM OQ OP ，则ω的值是
15.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为
.21
,则AD AB
=____ 16.设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量
a 的分解,有如下四个命题:
①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+
a b c ;
②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+
a b c ;
③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+
a b c ;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+
a b c ;
上述命题中的向量 b , c 和
a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.
已知向量1
(cos ,),,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·
f x =a b . (Ⅰ) 求)(x f 在[2
,0π
]上的最大值和最小值. (Ⅱ) 若)(x f 在[-m ,6
π
]上不单调，求m 的取值范围。

18.设n S 为数列{n a }的前项和,已知2n n S a =-2,∈n N *
(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.
19.学校为了解学生的数学学习情况，在全校高一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异”； (2)在被调查的女生中抽出5名，其中2名喜欢数学，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢数学的概率．
其不意附：χ2
＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2
，
20.如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为
线段PC 上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G 是PC 的中点,求证PA ‖面BDG;
(Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求
PG
GC
的值.
21.已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点,
求|MN|的最小值.
22.设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2
－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1) )处的切线斜率为
0.
(1)求b ；
(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a
a －1
，求a 的取值范围．
连城一中2015届数学（文）试卷
参考答案
1-12：CBACBDACCACA 13.4132- 14.π 16.2 17.
解
：
(Ⅰ)
()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-
⋅x x x x x x . ………3分
上的图像知，
在，由标准函数时，当]6
5,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[π
πππππx y x x =∈-∈.
]1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-
=πππ
f f x x f . 所以,)(x f 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为21,1-. ………………………6分
(Ⅱ)
解
2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k 得
3
6
π
ππ
π+
≤≤-
k x k )(z k ∈………………………9分
)(x f ∴在[3
,6π
π-
]单调递增， )(x f 在[-m ,6
π
]上不单调， m ∴>3π………………………12分
18.
解
:
(Ⅰ)
11111221.a S a n a S ==-=∴=时，当 .21=⇒a ………………………1分 1112222---=⇒-=-=≥n n n n n n n a a a a s s a n 时，当………………………4分
.*,222}{1N n a q a a n n n ∈===⇒的等比数列，公比为时首项为 ………………
………6分 (Ⅱ)
n
n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设
1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT ………………………8分
上式左右错位相减:
11111321222211)1(++++⋅--⋅=---=-++++=-n n n n
n n n n na q
q a na a a a a T q …
…………10分
*,22)2(1N n n T n n ∈+⋅-=⇒+. ………………………12分
19.解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2
＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝
100×（60×10－20×10）2
70×30×80×20
＝10021
≈
4.762. ………………………4分
由于 4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异” ………………6分
(2)从5名女生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，
b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，
其中a i 表示喜欢数学的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢数学的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．………………………9分
用A 表示“3人中至多有1人喜欢数学”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．
事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝7
10
.………………………12分
20.解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30°,
且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫
⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬
⎪=⎭
且,
所以BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
; (4)
分
(Ⅱ)设AC BD O = ,由(1)知 O 为AC 中点，则OG ‖PA ，
又PA ⊄面BDG ，OG ⊂面BDG ∴PA ‖面BDG (8)
分
(Ⅲ)由已知得到
:PC 因为PC BGD PC GD ⊥∴⊥, 在PDC ∆中
,PD CD PC =设
223107)2
PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴∴-=-∴== ………………12分
21.解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122
p p =⇒=,
所以抛物线方程是: 24x y =; ………………………4分
(Ⅱ)设22
1212
(,),(,)44
x x A x B x ,所以12,,44AO BO x x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =,
由118442M x y x x x y x ⎧=
⎪∴=⎨-⎪=-⎩,同理由228442
N x
y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨
-⎪=-⎩ 所
以
12121212
88
|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x -=-=-=---++①…………6分
设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y =+⎧
+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨
=-=⎪⎩⎩
,
且12||x x -=………………………8分 代
入
①
得
到
:
||MN ==………………………9分
设34304
t
k t k +-=≠∴=, ① 当0t
>时
||MN ==,所以此时||MN 的最小值
是
………10分
② 当0t
<时
,
4||5MN ===≥=
,………11分
所以此时||MN 此时25
3t
=-
,43
k =-; 综上所述:
||
MN 的
最
小
值
是
………………………12分
22.解：(1)f ′ (x )＝a x
＋(1－a )x －b .
由题设知f ′ (1)＝0，解得b ＝1，………………………3分 (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2
x 2
－x ，
f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝
1－a x )1(a
a x --(x －1)．………………………5分 (i)若a ≤12，则a
1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调
递增．
所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<a
a －1
，
解得－2－1<a <2－1. ………………………8分
(ii)若12<a <1，则a
1－a >1，
故当x ∈)1,1(a
a
-时，f ′ (x )<0； 当x ∈),1(
+∞-a
a
时，f ′ (x )>0. f (x )在)1,1(a a -上单调递减，在),1(+∞-a
a 上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f )1(a a -<a a －1
.
而f )1(a
a -＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>a a －1，所以不合题意．………………………
11分
(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a
a －1，符合题意． (13)
分
综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．………………………14分。