四川省德阳五中高二数学下学期期中试题(2021年整理)

四川省德阳五中2017-2018学年高二数学下学期期中试题
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四川省德阳五中2017—2018学年高二数学下学期期中试题
考生注意:
1将选择题的答案填涂在机读卡中，填空题和解答题只能书写在答题卷中，考试结束只交
机读卡和答题卷。

2本试卷总分150分，考试时间为120分钟，注意掌握时间。

一、选择题:本大题共12个小题,每一小题5分,总分60分。

1．下列命题中正确的是 ( )
A.棱柱的各个面都是四边形 B 。

棱柱中只有两个面互相平行
C 。

棱柱的侧棱长不都相等
D 。

一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面
2．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是 （ ）
A 。

圆柱
B 。

圆锥 C.棱锥 D.棱柱
3．已知正方体外接球的体积是π3
32，则此正方体的棱长为（ ） A.1 B 。

34 C.334 D.3
16 4．对于直线n m 、和平面βα、,能推出βα⊥的一个条件是 ( ）
A.n m ⊥,m ∥α,n ∥βB 。

n m ⊥,m =βα ,α⊂n
C.m ∥n ,β⊥n ，α⊂m D 。

m ∥n ，α⊥m ，β
⊥n
5．若θ是直线l 的倾斜角,且5
1cos sin =+θθ，则直线l 的斜率为 ( ) A.34B 。

43C 。

34- D.34-或43- 6．在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则该二面
角的大小为 （ )
A 。

30 B. 45 C 。

60 D. 90
7．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1与平面D D BB 11所成的角为（ ）
A. 30
B. 45 C 。

60 D. 90
8．若向量→a =x 2(log ，)1-,→b =x 2(log ,)log 22x +的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 （ ）
A 。

21(，)4 B.21(，]1C 。

1(，]4 D 。

21(，1()1 ，)4
9．在长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，1=AD ，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与
AE 所成角的余弦值为 ( ) A.1010 B 。

1030C.515 D 。

10103
10．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余
部分体积的比值为 ( ） A.81 B.7
1 C 。

61 D.5
1
11．已知函数2)(2++=mx x x f ,|1|)(2-=x x g ,R x ∈．若函数)(x F )()(x g x f +=在0(，)2上有
两个不同的零点21x x 、，则实数m 的取值范围是 （ ） A.29[-，)22- B.2
9(-，)3- C.3(-，)22- D.3(-,]22-
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他
们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8,1,2，4，8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ，100>N ,且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是 （ ）
A 。

440
B 。

330C.220 D 。

110
二、填空题：本大题共4个小题，每题4分,共16分。

把答案直接填在题中给出的横线上.
13．已知集合4)2()2(|){22=-++=y x y x A ，，}3|){R k kx y y x B ∈+==，，．若B A 只含有
一个元素，则=k ．
14．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为S ,则该圆锥的底面面积是．
15．在直角坐标系中，与点2(A ，)1的距离为1，且与点1(B ,)3的距离为2的直线的方程是．
16．已知空间四边形ABCD 的四个顶点都在球O 的面上，F E 、分别是CD AB 、的中点，且
AB EF ⊥，CD EF ⊥，若8=AB ，4==EF CD ，则球O 的表面积为．
三、解答题：本大题共6个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．(满分10分）设)(x f )4
(cos cos sin 2π+-=x x x ． (1）求)(x f 的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC 中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、．若0)2
(=A f ，1=a ．求△ABC 面积的最大值．
18．(满分12分）一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中N M 、分别是SC AB 、的中点，
P 是上SD 的一个动点．
（1）当点P 落在什么位置时，AP ∥
平面SMC ,证明你的结论；
(2)求三棱锥NMC B -的体积．
19．(满分12分)已知圆C :4)2()(22=-+-y a x )0(>a 及直线l :03=+-y x ．直线l 被圆C 截得的弦长为22．
(1）求a 的值；
(2）求过点3(，)5并与圆C 相切的切线方程．
20．(满分12分)已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f ．
(1)若函数)(x f 的定义域和值域均为1[，]a ，求实数a 的值；
(2)若函数)(x f 在区间-∞(，]2上是减函数,且对任意的1[21∈x x 、，]1+a ，总有4|)()(|21≤-x f x f ,求实数a 的取值范围．
21．(满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ,且 90=∠=∠CDP BAP .
(1)证明：平面⊥PAB 平面PAD ；
（2）若DC AB PD PA ===, 90=∠APD ，
求二面角C PB A --的余弦值．
22．(满分12分）已知直线l :01034=++y x ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在
直线l 的右上方．
（1)求圆C 的方程;
（2）若直线过点1(M ，)0且与圆C 交于B A 、两点(A 在x 轴上方，B 在x 轴下方)，则在x 轴正半轴上是否存在定点N ,使得x 轴恒平分ANB ∠？若存在,求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
德阳五中高2016级第三学期半期考试数学题答案
一、选择题答案：
二、填空题答题横线： 13．43
-； 14．2S
； 15．0543=-+y x 或3=x ； 16．π65． 三、解答题：
17．解：（1)因)(x f )4(cos cos sin 2π+-=x x x ]1)4(2[cos 212sin 21++-=π
x x
21
2sin 21
)22cos(212sin 21-=-+-=x x x π，
由⇒+≤≤-22222πππ
πk x k )(44Z k k x k ∈+≤≤-π
πππ，
故)(x f 单调递增区间是4[π
π-k ，]4π
π+k )(Z k ∈;
(2）由(1)知0)2(=A
f ⇒21sin =A ，因△ABC 为锐角三角形，∴6π
=A ．
由余弦定理有)23
1(2)cos 1(2cos 2222-⨯=-≥-+=bc A bc A bc c b a ，
∵1=a ，∴1)32(≤-bc ⇒32+≤bc ，进而
43241sin 21+≤==∆bc A bc S ABC ，当且仅当2
26+==c b 时取等号．
故△ABC ． 18．解：（1）当点P 为SD 的中点时，AP ∥平面SMC ，证明如下:
由三视图知该多面体是四棱锥，其底面边长为1的正方形，侧棱⊥SD 底面ABCD ，且2=SD ．
连接PN ，∵N P 、分别是SC SD 、的中点，∴PN ∥DC 且DC PN 21=， 又M 是正方形ABCD 的边AB 的中点∴AM ∥DC 且DC AM 2
1=， ∴AM ∥PN 且PN AM =，即四边形AMNP 是平行四边形，∴AP ∥MN ，又⊄AP 平面SMC ，⊂MN 平面SMC ，∴AP ∥平面SMC ．
(2)∵点S 到平面ABCD 的距离为2,∴点N 到平面ABCD 的距离为1=h ,
∵三棱锥NMC B -的体积满足:
12
11211213131=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--h S V V MBC MBC N NMC B 19．解：（1）∵圆C :4)2()(22=-+-y a x 的圆心为a C (，)2，半径2=r ，
而圆心C 到直线l :03=+-y x 的距离2|1|+=
a d ，依题24222d -=,∴2|
1|2+==a d ⇒3-=a 或1=a ，∵0>a ,故所求1=a ；
(2）∵切线过点3(,)5，设所求切线方程为)3(5-=-x k y ，即035=-+-k y kx , 该直线与4)2()1(22=-+-y x 相切,∴21|
352|2=+-+-k k k ⇒12
5=k ， 又∵4)25()13(22>-+-，点3(，)5在圆C 外，切线应有两条，斜率不存在时3=x 是另一条切线．
故所求切线方程为3=x 或045125=+-y x ．
20．解:（1）∵二次函数52)(2+-=ax x x f 的对称轴为a x =，且开口向上，∴)(x f 在定义域1[，
]a 上单调递减,即1[∈x ，]a 时，)1()()(f x f a f ≤≤,
∴依题=∈)]1()([)(f a f x f ，1[，]a ，满足
∴⎩⎨⎧==a f a f )1(1)(，即252115222=⇒⎩⎨⎧=+-=+-a a
a a a ，满足1>a ，
故所求2=a ；
(2）∵)(x f 在区间-∞(，]2上是减函数，∴-∞(，](]2a ，-∞⊆，即2≥a ． ∴)(x f 在区间1[,]1+a 上的子区间1[，]a 递减，子区间a [，]1+a 递增, 由于11≥-a ，∴当1[∈x ，]1+a 时,)1()()(f x f a f ≤≤，
即1[∈x ，]1+a 时,a x f a 26)(52-≤≤-．
∴对任意的1[21∈x x 、,]1+a 时，有：
⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-⇒-≤≤--≤≤-5
)(6226)(526)(5222212a x f a a x f a a x f a ， ⇒12)()()12(2212+-≤-≤+--a a x f x f a a
∴12|)()(|221+-≤-a a x f x f ,依题有4122≤+-a a ，解得31≤≤-a ， 又∵2≥a ，故所求2[∈a ,]3．
21．解:(1)证明：∵ 90=∠CDP ，∴CD PD ⊥，又由AB ∥CD ，∴PD AB ⊥;
由 90=∠BAP ，∴PA AB ⊥，∵⊆PD PA 、平面PAD 且相交， ∴⊥AB 平面PAD ，又∵⊆AB 平面PAB ，∴平面⊥PAB 平面PAD ；
（2）设a DC AB PD PA ====，结合 90=∠APD ，知PAD ∆、PAB ∆、PDC ∆是全等的等腰直角三角形，∴a AD PB PC 2===；由（1)中⊥AB 平面PAD 知AD AB ⊥,∴四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，∴a AD BC 2==，∴PBC ∆是边长为的等边三角形，设E 为PB 的中点，连接AE CE 、，则PB CE ⊥,且a PB CE 2
623==；又∵
PBC ∆是以PB 为斜边的等腰直角三角形,∴PB AE ⊥，且a PB AE 2
221==；由PB CE ⊥和PB AE ⊥知：平面AEC 是二面角C PB A --的棱PB 的垂面，即AEC ∠是二面角C PB A --的平面角,又∵a AC 3=，在AEC ∆中，由余弦定理有：
3
32cos 222-=⋅-+=∠CE AE AC CE AE AEC ． 所求二面角C PB A --的余弦值为3
3-． 22．解：(1)圆心C 在x 轴上,所以设a C (，)0，又∵l ：01034=++y x 与半径为2的圆C 相切，∴234|
104|22=++a ⇒5-=a 或0=a ,∵圆心C 在直线l 的右上方,
∴0=a ，故所求圆C 为422=+y x ；
（2）假设在x 轴正半轴上存在符合题意的点N ，设n N (，)0, ①当直线AB 的斜率不存在时，在x 轴正半轴上每一点N 都使得x 轴恒平分ANB ∠； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为)0)(1(≠-=k x k y , ∵B A 、两点的坐标1(x ，)1y 、2(x ，)2y 满足:
⎩⎨⎧=-+-=0
4)1(22y x x k y ，消去y 可得：042)1(2222=-+-+k x k x k 由韦达定理可得：122221+=+k k x x ，1
42221+-=k k x x ， 若x 轴平分ANB ∠，则0=+BN AN k k ⇒02211=-+-n
x y n x y ⇒0)1()1(2211=--+--n
x x k n x x k ⇒0))(1())(1(1221=--+--n x x n x x ⇒02))(1(22121=+++-n x x n x x ， 所以021
)1(21)4(222
22=+++-+-n k k n k k ⇒4=n ， 综上可知,存在点4(N ，)0,使得轴恒平分ANB ∠．。