河南省鲁山县第一高级中学2022届高三上学期12月月考数学(文)试卷

鲁山一高高三年级12月月考文科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的。

1．已知集合{}
213A x x =-≤，{}0,1,2,3,4B =，求A
B =（ ）
A.{}2,1,0,1,2--
B.{}1,01,2,3,4-，
C.{}2,1,0,1,2,3,4--
D.}{
0,1,2 2．若复数)2(i i z +⋅=，则=z （ ）
A ．i 21+- B. i 21+ C. i 21-- D. i 21- 3．若α，β[,]22
ππ
∈-
，则“βα=”是“βαsin sin =”的（ ）
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．22sin 18sin 72sin15cos15++=（ ） A ．
23 B.43
1+ C. 10097 D. 4
5
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n a 满足212+++=n n n a a a ， 235=-a a ，若22S =，则=9a （ ） A ．9 B.
217 C. 10 D. 2
19
6．若x ，y 满足约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤-+≥013
1
01210y x y x x ，则2+-=y x z 的最小值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7．已知函数321
,10
10(),01x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩
，则下列图象错误的是（ ）
A ．()y f x =的图象：
B ．()1y f x =-的图象：
C ．()y f
x =的图象：
D ．()y f x =-的图象：
8. 已知数列{}n a 是递减的等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若943=+a a ，1852=a a ，则62a S ⋅=
（ ）
A. 54
B. 36
C. 27
D. 18
9．若8.02.0=a ，2.08.0=b ，3.01.1=c ，2.0lg =d ，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）
A ．d a b c >>>
B ．c a b d >>>
C ．d a c b >>>
D ．d b c a >>>
10．如图,在ABM ∆中,CM BM 3=，AM AN 7
2
=，若AN BA BC λμ=+， 则=+μλ（ ）
A ．17-
B ．17
C ．27-
D ．27
11．与曲线2
1
4121)(2-++=b x x x f 和1)1ln(2)(+-=x x g 都相切的直线l 与直线
012=-++a y x 垂直，则b =（ ）
A ．-8
B ．-3
C ．4
D ．6
12．将函数()2cos f x x =的图象先向右平移()0ϕϕπ<<个单位长度，再把所得函数图象的横坐
标变为原来的
()1
0ωω
>倍，纵坐标不变，
得到函数()g x 的图象，若对()g x 满足()()124g x g x -=，有
12min 4x x π
-=
恒成立，且()g x 在区间()63
ππ
，上单调递减，则ϕ的取值范围是（ ）
A.[]123ππ，
B. []32ππ，
C. 2(]33ππ，
D.2[]33
ππ
， 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()1,1-=m a ，()m b ,2-=，若b a ⊥，则正实数m 的值
为 ▲ ．
14．已知函数()2sin()16
f x x π
=-+，则)(x f 的对称中心为 ▲ ．
15．设命题p :a >2；命题q :关于x 的方程233=0x ax a -+-的两个实根均大于0．若命题“p 且q ”
为真命题，求a 的取值范围为 ▲ ．
16．已知函数)ln 2()(2x x k x
e x
f x
-+=和2)(x e x g x =，若)(x g 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则
k 的最大值为 ▲ ．
三、解答题：本大题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知函数2
()1
f x x =
- （1）求()f x 的定义域（写成集合或区间形式）； （2）若正实数m ，n 满足+=+)0(f n m )2(f ，求
1
1+的最小值.
18．（本小题满分12分）
已知函数()cos()3f x A x b π
=+，其中R x ∈，0>A ，且3)0(=f ，2)1(=f
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 单调递增区间及对称轴；
（3）求)9()4()3()2()1(f f f f f +++++ .
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n b 为等比数列，正项数列{}n a 满足22
144n n n a a a +=--，且112,1a b ==，44a b =
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若从{}n a 中去掉与数列{}n b 中相同的项后余下的项按原来的顺
序组成数列{}n c ，设=100T 123100c c c c +++⋅⋅⋅+，求100T .
20．（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，
c ，且关于x 的一元二次方程0442=+-c bx ax 有两个相等的实数根，又()3
cos cos 2A C B -+=
（1）求B ；
（2）延长BC 至D ，使BD=6，若ACD ∆的面积32=∆ACD S ，求AD 的长．
21．（本小题满分12分）
已知函数a
x x
x f 221)(2+-=
（1）若0=a ，求()f x 在11(,())22
f 处的切线方程；
（2）若)(x f 在1-=x 处取得极值，求)(x f 的单调区间和极值；
（3）当0a >时，讨论函数)(3)()2()(2
R m m x f a x e x g x ∈--++= 的零点个数.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 过点)2,1(P ，且倾斜角为6
π
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ
θρ3
1sin 2-+
=． （1）求C 的直角坐标方程与l 的参数方程； （2）若l 与C 相交于不同的两点M ,N ，求
MN
PN PM ⋅的值.
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数x x x f +-=1)(
（1）求不等式02)(≥+-x x f 的解集；
（2）若关于x 的不等式a a x x f -≥++221)(的解集为R ，求a 的取值范围.
参考答案
二、填空题：（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 2 14. ))(1,6
(Z k k ∈+π
π 15. 23a << 16. 42e
17. 【解析】：（1）由题意得⎩
⎨⎧≥++-≠-020
12x x x ……………………………………………2分
11211
<≤-⇒⎩
⎨⎧≤≤-≠⇒x x x 或21≤<x
故所求定义域为[)(
]2,11,1 - …………………………………………………………6分 （2）因为20222)2()0(=+++-=+f f ，所以2=
+n m ………………………8分
又m ，n 为正实数，所以
)2(2
1)11)((2111m n
n m n m n m n m ++=++=+ 22)22(21=⨯+⨯≥
n m m n 当且仅当2
m n ==
时取最小值， 故
n
m 1
1+的最小值为22 …………………………………………………………12分 18. 解析：（1）因为()cos()3
f x A x b π
=+，3)0(=f ，2)1(=f ，
则有(0)3
(1)cos 23f A b f A b π
=+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩
解得2,1A b ==，所以()2cos 13
x
f x π=+……………………………………………3分
（2）若()f x 单调递增，则
[2,2]3
x
k k ππππ∈-,k Z ∈，即[63,6]x k k ∈-,k Z ∈，
又由
ππk x
=3
，k Z ∈，即k x 3=，k Z ∈。

故(
)f x 单调递增区间为[63,6]k k -,k Z ∈；对称轴为k x 3=，k Z ∈……………7分 （3）因为()f x 最小正周期为6,且(6)(0)3f f ==,(1)2f =(2)0f =,
(3)1,(4)0,(5)2f f f =-==,
所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)6f f f f f f +++++=，
所以)9()8()7(6)9()4()3()2()1(f f f f f f f f +++=+++++
71026)3()2()1(6=-++=+++=f f f 。

……………………………………12分
19. 解析：（1）因为22
n n 1n
4a a a 4+=--，所以()2
212n n a a +=+，又0n a >， 所以12n n a a +=+．……………………………………………………………………2分 即21=-+n n a a ，又21=a ，所以数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列． 所以n n a a n 22)1(1=⨯-+=，即2n a n =。

………………………………………4分
设{}n b 的公比为q ，又448b a ==，11b =，所以3
8q =，解得2q
，所以12n n b -=．综
上，数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为2n a n =，1
2n n b -=………6分
（2）由（1）知11=b ，212b a ==，324b a ==，448b a ==，5816b a ==，
61632b a ==，73264b a ==，864128b a ==，9128256b a ==．
所以=100T ()()123100123107238c c c c a a a a b b b +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+.10分 ()
()72121072214113022
12
-+=
-=-．…………………………………………………12分
20. 解析：（1）由()3cos cos 2A C B -+=
，可知()()3
cos cos 2
A C A C --+=， 即3
cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +-+=，所以4
3sin sin =C A ……2分又关于x
的一元二次方程0442=+-c bx ax 有两个相等的实数根，所以有016)4(2
=--=∆ac b ，即
ac b =2 …………………………………………………3分，
由正弦定理
C
c B b A a sin sin sin ==，可得2
3sin sin sin 4B A C ==，………………4分
因为()0,πB ∈，所以sin 2
B =，因此π3B =或2π3．
分别代入()3cos cos 2
A C
B -+=，可知当2π
3B =时，()cos 2A C -=不成立．
因此3
π
=B ．……………………………………………………………………………6分 （2）由3
π
=
B 可知()cos 1A
C -=，即A C =，因此ABC ∆为等边三角形，即a b c ==， ……………………………………………………………………………………………7分
32)6(4
332sin )6(21sin 21=-=-=∠⋅=
∆a a a b ACD CD AC S ACD π， 整理可得8)6(=-a a ，即862-=-a a ，…………………………………………9分 由余弦定理可知，在ABD △中，
286366363
cos
222222=-+=-+=⋅⋅-+=a a c c BD AB BD AB AD π
，
因此AD 的长为72．………………………………………………………………12分
21. 解析：（1）当0=a 时，221)(x x x f -=
，322)(x x x f -='，8)2
1
(-==f k 切
0)21
(=f ，故所求切线方程为)2
1(80--=-x y ，即048=-+y x ……………2分 （2）因为a
x x
x f 221)(2+-=，
所以2
222
222)2(422)2()2)(21()2()21()(a x a
x x a x a x x a x x x f +--=+'+--+'-='， 因为函数)(x f 在1-=x 处取得极值，令0)1(=-'f ，即
0)21(442
=+-a a
，解得1=a 。

经检验，
当1=a 时，1-=x 为函数）x f (的极大值点，符合题意。

……………3分
此时2
21)(2
+-=
x x x f ，函数的定义域为R ，22)2()2)(1(2)(+-+='x x x x f ，由0)(>'x f ，解得1-<x 或2>x ；由0)(<'x f ，解得21<<-x ，所以)(x f 在()1,-∞-，),2(+∞上单调递增；在
()
2,1-上单调递减。

当1-=x 时，1)1()(=-=f x f 极大值；当2=x 时，
2
1
)2()(-==f x f 极小值…………………………………………………………7分
（3）法一
2()(2)()322x x g x e x a f x m e x m =++--=---
()2,
()0ln 2x g x e g x x ''=-=⇒=令
(,ln 2),()0,
(ln 2,)()0x g x x g x ''∴∈-∞<∈+∞>当时时
()(,ln 2),(ln 2,)g x ∴-∞+∞在上单调递减在上单调递增
min ()(ln 2)22ln 222ln 2g x g m m ==---=--…………………………………8分
①2ln 20,2ln 2()m m g x --><-当即时无零点 ②2ln 2=0,=2ln 2()m m g x ---当即时有一个零点 ③2ln 20,2ln 2m m --<>-当即时
1ln 21ln 22
m
--<-<
(1)(1)2
2114444442ln 2422(1)220,
2(1,ln 2)()0
2
2ln 2442ln 2ln 2
(4)282310()310
()3()33330
()m m m m m m m m g e m m e m
x g x m m g m e e m m e e m m e e m m e e m e e e e e e e m ϕϕϕϕ--------=++--=>∴∃∈--=>-⇒+>->∴+=----=--=--'∴=-'=->->-=->∴而使得令为单调递增函数
单调递4
22()(2ln 2)6ln 2100(m+4)>0
4
(ln 2,4)()02ln 2()e m g x m g x m g x ϕϕ>-=+->∴∃∈+=∴>-增函数，，即使得时有两个零点
综上：①2ln 20,2ln 2()m m g x --><-当即时无零点
②2ln 2=0,=2ln 2()m m g x ---当即时有一个零点
③2ln 20,2ln 2()m m g x --<>-当即时有两个零点………………………12分 其它赋值言之有理酌情给分。

法二
令223)()2()(2
--=-++=x e x f a x e x h x
x
，2)(-='x
e x h ，由0)(>'x h ，解得2ln >x ；
由0)(<'x h ，解得2ln <x ，所以)(x h 在)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增。

所以2ln 2)2(ln )(min -==h x h ，又0)(=x g ，即0)(=-m x h ，所以)(x h m = 故①当2ln 2-<m 时，)(x g 没有零点；②当2ln 2-=m 时，)(x g 有一个零点；
③当()()x h x x h x →+∞→+∞→-∞→+∞时，当时，结合图像当2ln 2->m 时，)(x g 有两个零点。

…………………………………………12分（无说明扣1分）
22. 解析：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ
θρ3
1sin 2-+
=，即31sin 22-+=θρρ，将2
22y x +=ρ，
y =θρsin 代入得31222-+=+y y x ，
即01322
2=-+-+y y x 。

………………………………………………………3分
因为直线l 过定点)2,1(P ，且倾斜角为6π，则直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+=6sin 26cos 1π
πt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 21223
1（t 为参数）（注：只要能化为)1(332-=-x y 的其他形式的参数方程也对！）………………………………………………………………………………5分
（2）将直线l 的参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 21223
1代入013222=-+-+y y x 得03)13(2
=+++t t
设方程的两根分别为1t ，2t ，则由根与系数的关系有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-=+3
)
13(2121t t t t ，
所以133244)(212
2121-=-=-+=-=t t t t t t MN ，321=⋅=⋅t t PN PM
故MN
PN PM ⋅23
31
33+=-=
…………………………………………………10分 23.
解析：（1）由02)(≥+-x x f 有021≥+-+-x x x ，
即⎩⎨
⎧≥---+--<0)2(12x x x x 或⎩⎨⎧≥+-+-≤≤-0)2(112x x x x 或⎩⎨⎧≥+-+->0
)2(11x x x x ，
化简整理得⎩⎨
⎧≥+-<032x x 或⎩⎨⎧≤+≤≤-0112x x 或⎩
⎨⎧≥->031
x x ；
解得23-<≤-x 或12-≤≤-x 或3≥x ，
故所求的不等式的解集为{
13-≤≤-x x 或}3≥x ………………………………5分
（2）令⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤-+-<-=++=1,311,21
,1)()(x x x x x x x x f x g ，………………………………………7分
因为当)1,(--∞∈x 时，x x g -=)(；[]1,1-∈x 时，2)(+=x x g ；),1(+∞∈x 时，x x g 3)(=，所以函数)(x g 在)1,(--∞单调递减，在[]1,1-，),1(+∞单调递增，则1)1()(min =-=g x g ，
由题意有122
≤-a a ，解得12
1
≤≤-
a ，则实数a 的取值范围为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-1,21…………………………………………………………………………10分。