改进的积分第一中值定理的应用

第１４卷第６期２０１１年１１月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１４，Ｎｏ．６
Ｎｏｖ．，２
０１１改进的积分第一中值定理的应用
张国铭
（牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江１５７０１１
）收稿日期：２０１１－０５－３０；修改日期：２０１１－１０－
１１．基金项目：２０１１年黑龙江省高等教育教学改革工程立项项目．作者简介：张国铭（１９６０－）
，男，黑龙江海伦人，教授，主要从事数学分析，实变函数的教学工作．Ｅｍａｉｌ：ｚｇ
ｍ１９６０＠１２６．ｃｏｍ．摘
要　提供若干实例用以说明积分第一中值定理中的中值点ξ∈［ａ，ｂ］加强为ξ∈（ａ，ｂ
）后所带来的好处．关键词　积分中值定理；分部积分法；牛顿－莱布尼茨公式中图分类号　Ｏ１７２．２
文献标识码　Ａ
文章编号　１００８－１３９９（２０１１）０６－００２５－
０３文［１
］２２３的习题８指出，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理可依次改进为如下定理．
定理１［２］
　若ｆ（
ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ）
，使得∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．定理２［３］
　若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］
上连续，且ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不变号，则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得
∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）∫
ｂ
ａ
ｇ（
ｘ）ｄｘ．下面通过几个例子，向读者展示这种改进的定理所带来的好处．
例１　若在［ａ，ｂ］上，ｆ（ｘ）为连续函数，ｇ（
ｘ）为连续可微的单调函数，则存在ξ∈（ａ，ｂ）
，使得∫ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｇ（
ｘ）ｄｘ＝ｇ（
ａ）∫ξ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（ｂ）∫ｂ
ξ
ｆ（ｘ）
ｄｘ．证明　因为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，所以ｆ（ｘ）
在［ａ，ｂ］上存在原函数．记Ｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一个原函数．
则由分部积分公式可得∫ｂａ
ｆ（ｘ）ｇ（
ｘ）ｄｘ＝∫ｂ
ａ
ｇ（ｘ）
ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｘ）Ｆ（ｘ）ｂ
ａ
－∫ｂ
ａ
Ｆ（ｘ）
ｄｇ（
ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）－∫ｂａ
Ｆ（ｘ）
ｇ
′（ｘ）ｄｘ．对上式最后一项应用定理２及牛顿－莱布尼茨公
式，可得
∫ｂ
ａ
Ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）∫
ｂ
ａ
ｇ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）
［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］（ａ＜ξ＜ｂ）．于是
∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｇ（
ｘ）ｄｘ＝ｇ（ａ）［Ｆ（ξ）－Ｆ（ａ）］＋ｇ（ｂ）［Ｆ（ｂ）－Ｆ（ξ
）］．再度应用牛顿－莱布尼茨公式，得到
∫ｂ
ａｆ（ｘ）ｇ（
ｘ）ｄｘ＝ｇ（
ａ）∫ξ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（ｂ）∫ｂ
ξ
ｆ（ｘ）
ｄｘ．注１　例１是对文［１］２３４
的习题１６的加强，
那里的ξ∈［ａ，ｂ］，这里的ξ∈（ａ，ｂ）．
例２［４］
　若函数ｆ（
ｘ）在［０，１］上连续，且∫１
０
（
１－ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，则存在ａ∈（０，１
），使得∫
ａ０
ｆ（
ｘ）ｄｘ＝０．证明　不妨记
ｇ（
ｘ）＝１－ｘ，应用例１，存在ａ∈（０，１
），使得０＝
∫１
０
（
１－ｘ）ｆ（
ｘ）ｄｘ＝（１－０）∫ａ
０
ｆ（ｘ）ｄｘ＋（１－１）∫１
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ．
由上式即知待证结论成立．
例３　若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，
且∫ｂ
ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０，∫
ｂａ
ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝０，则在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同的点ｘ１和ｘ２，
使得ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）
＝０．证明　应用例１，有
∫ｂ
ａ
ｘｆ（
ｘ）ｄｘ＝ａ∫
ξ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｂ∫ｂ
ξ
ｆ（ｘ）
ｄｘ＝０（ａ＜ξ＜ｂ）．
再令［５］
Ｘ＝∫ξａｆ（ｘ）ｄｘ，
Ｙ＝∫ｂξｆ（ｘ）ｄｘ．得到方程组
Ｘ＋Ｙ＝０，
ａＸ＋ｂＹ＝０
｛．因为方程组的系数行列式
Δ＝１　１
ａ　ｂ
＝ｂ－ａ≠０，
所以，上述方程组只有零解，即
Ｘ＝０，　Ｙ＝０．
应用定理１，有
０＝∫ξａｆ（ｘ）ｄｘ＝
ｆ（ｘ１）（ξ－ａ）（ａ＜ｘ１＜ξ），
０＝∫ｂξｆ（ｘ）ｄｘ＝
ｆ（ｘ２）（ｂ－ξ）（ξ＜ｘ２＜ｂ）．
故在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同的点ｘ
１和ｘ
２
，使得
ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＝０．
例３有更一般的推广，即如下定理．
定理３　若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上严格单调，又
∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝０，
∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，
则在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同的点ξ
１与ξ
２
，使得
ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．
证明　由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，又
∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝０，
应用定理１，存在ξ
１∈
（ａ，ｂ），使得
０＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ１）（ｂ－ａ）．
从而
ｆ（ξ１）＝０，
即ξ
１
是ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的零点．如果ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）
内只有这一个零点，则在开区间（ａ，ξ
１）及（ξ
１
，ｂ）内
ｆ（ｘ）不变号，否则与零点定理相矛盾．再由
０＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝
∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＋∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｄｘ，可得
∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｄｘ＝－∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＝
－ｆ（η）（ξ１－ａ）≠０（ａ＜η＜ξ１），
应用定理２，有
∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝
∫ξ１ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝
ｇ（η１）
∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（η２）∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（η１）
∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ－ｇ（η２）∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＝
［ｇ（η
１
）－ｇ（η
２
）］
∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ≠０
（ａ＜η
１＜ξ１＜η２＜ｂ
）．
这与题设条件相矛盾．因此，ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内至少还
有另一个零点ξ
２．
故在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同
的点ξ
１
与ξ
２
，使得
ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．
定理１的另一个应用，可见下例．
例４　设ｆ（ｘ）在［０，１］上可导，
Ｆ（ｘ）＝∫ｘ０ｔ２　ｆ（ｔ）ｄｔ，
Ｆ（１）＝ｆ（１），
试证：在（０，１）内至少存在一点ξ，使得
ｆ′（ξ）＝－
２ｆ（ξ）
ξ
．
分析　结论的表达式可变形为
ξｆ′（ξ）＋２ｆ（ξ）＝０．
进一步可化为
２ξｆ（ξ）＋ξ２　ｆ′（ξ）＝０．
这显然是函数
ｇ（ｘ）＝ｘ２　ｆ（ｘ）
在ｘ＝ξ处的导数，并且
ｇ′（ξ）＝０，
其中ξ∈（０，１）．因此可以考虑对ｇ（ｘ）在［０，１］上应用罗尔定理．虽然已知
ｇ（０）＝０，
但因ｆ（ｘ）无具体表达式，故
ｇ（１）＝ｆ（１）＝Ｆ（１）＝∫１０ｔ２　ｆ（ｔ）ｄｔ
无法求出．不过，利用定理１，应有
ｇ（１）＝Ｆ（１）＝η２　ｆ（η）（１－０）＝
η２　ｆ（η）＝ｇ（η）（０＜η＜１）．
所以，对ｇ（ｘ）在［η，１］上应用罗尔定理是完全可行的．根据以上分析，证明思路已经清楚，故详细证明过程在此从略．
６
２高等数学研究２０１１年１１月
第１４卷第６期２０１１年１１月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１４，Ｎｏ．６
Ｎｏｖ．，２
０１１欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
参考文献
［１］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．４版．北京：
高等教育出版社，２０１０：２２３；２３４．
［２］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．６版．北京：
高等教育出版社，２００７：２４１．
［３］张国铭．定积分的一个性质及其应用［Ｊ］．
高等数学研究，２０１０，１３（１）：５５－
５７．［４］杜瑞芝．关于积分中值定理的注记［Ｊ］．高等数学研究，
２００１，４（４）：１４－
１７；２９．［５］戈衍三．一些经典数学问题的另类解算［Ｍ］．
北京：北京理工大学出版社，２００７：１７２－
１７６．［６］赵显曾．数学分析拾遗［Ｍ］．南京：
东南大学出版社，２００６：２１－
２７Ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｉｍｐ
ｒｏｖｅｄ　Ｆｉｒｓｔ　ＭｅａｎＶａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｉｎｔｅｇ
ｒａｌｓＺＨＡＮＧ　Ｇｕｏ－ｍｉｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　
１５７０１１，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｔｈｅ　Ｆｉｒｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｖａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ｓｔａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｉｆ　ｆ（ｘ）ｉｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｏｎａ　ｃｌｏｓｅｄ　ｉｎｔｅｒｖａｌ［ａ，ｂ］，ｔｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｎｕｍｂｅｒξｉｎ［ａ，ｂ］ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）
（ｂ－ａ）．Ｉｎ　ｆａｃｔ，ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒξｃａｎ　ｂｅ　ｃｈｏｓｅｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ（ａ，ｂ）．Ｔｈｅ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｉｓｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｉｓ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｂｙ　
ａ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　Ｆｉｒｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｖａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ，ｉｎｔｅｒｇｒａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｐａｒｔｓ，ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＴｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　
Ｃａｌｃｕｌｕｓ反常积分敛散性的对数判别法
廉海荣，张帅，金旸
（中国地质大学（北京）信息工程学院，北京１０００８３
）收稿日期：２０１１－０４－２２；修改日期：２０１１－０９－
１３．基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助（２０１１ＹＹＬ０７７）．作者简介：廉海荣（１９７９－）
，女，河北成安人，博士，副教授，主要从事微分方程定性分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｌｉａｎｈｒ＠１２６．ｃｏｍ．张帅（１９８２－）
，男，内蒙古呼和浩特人，硕士，讲师，从事泛函分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｓｈｕａｉ＠ｃｕｇ
ｂ．ｅｄｕ．ｃｎ．摘
要　给出一个判别无穷限反常积分敛散性的对数判别法，并通过实例说明其应用．
关键词　反常积分；敛散性；对数判别法．中图分类号　Ｏ１７２．２
文献标识码　Ａ
文章编号　１００８－１３９９（２０１１）０６－００２７－
０２反常积分敛散性的判别是分析学中的一个重要内容．积分和级数在极限思想下的理论是统一的，故可以将正项级数的判别法推广到反常积分敛散性
的判别中［１］
．正项级数的常用判别法有比较判别
法、比值（达朗贝尔）判别法和根式（柯西）判别法．关于正项级数的另一些判别法可参考文［２］及其他相关文献．文［３］将正项级数敛散性的根式判别法推广到了反常积分敛散性的判别．受此启发，本文将利用比较判别法建立一个适用于无穷限反常积分
敛散性判断的对数法则．
引理１（比较判别法）［１］２５７
　设非负函数ｆ（
ｘ）和ｇ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）上连续．
如果ｆ（
ｘ）≤ｇ（ｘ）　（ａ≤ｘ＜＋∞），且
∫
＋∞
ａ
ｇ（
ｘ）ｄｘ收敛，那么∫＋∞
ａ
ｆ（
ｘ）ｄｘ也收敛；
如果ｆ（
ｘ）≥ｇ（ｘ）　（ａ≤ｘ＜＋∞），且
∫
＋∞
ａ
ｇ（
ｘ）ｄｘ发散，那么∫＋∞
ａ
ｆ（
ｘ）ｄｘ也发散．
引理２　设非负函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）
上连续，ｃ∈［ａ，＋∞）．如果∫＋∞
ａ
ｆ（
ｘ）ｄｘ收敛，那
么
∫＋∞
ｃ
ｆ（
ｘ）ｄｘ收敛且
∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｃａｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＋∞
ｃ
ｆ（
ｘ）ｄｘ．（１）。