浙教版九年级数学下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元检测试题(有答案)

第二章直线与圆的位置关系单元检测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
1. 如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB=30∘，OP=10cm，以P为圆心，5cm为半径
的圆与直线OB的位置关系是（）
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
2. 如图，BC与⊙O相切于点C，BO的延长线交⊙O于点A，连结AC，若∠ACB=120∘，
则∠A的度数等于（）
A.30∘
B.40∘
C.50∘
D.60∘
3. 已知⊙O的直径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法判断
4. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、
PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）
A.15
B.30
C.18
D.25
5. 在同一平面内，有⊙O和直线l，已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，
则直线l与⊙O的位置关系为（）
A.相交
B.相离
C.相切
D.无法确定
6. 下列命题中正确的是（）
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
7. 如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC，连接AD，现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB=MO；④∠ADM=120∘，其中正确的结论有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8. 如图，⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，A为切点，则点O到直线l的距离是（）
A.2.5
B.3
C.5
D.10
9. 下列直线中，一定是圆的切线的是（）
A.过半径外端的直线
B.与圆心的距离等于该圆半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.与圆有公共点的直线
10. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）
AC；④DE是⊙O的切线．
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=1
2
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
11. 如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若PA＝10，则△PCD的周长＝________．
12. 如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB=12cm，∠B=
30∘，则∠ECB=________度；CD=________cm．
13. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，D为BC上的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥BC于点F，则EF________⊙O的切线．（填
“是”或“不是”）
14. 已知△ABC中，∠ACB=90∘，若AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径为
________.
15. 如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为
________．
16. 如图，⊙O的割线PAB交于⊙O于点A、B，PA=4cm，AB=5cm，PO=7.5cm，
则⊙O的直径长为________cm．
17. 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF= 3，则内切圆的半径r=________．
18. 如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PA=5，PO交⊙O于点B，若PB=3，则⊙O
的半径=________．
19. 如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD // AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=
∠ADF，若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为________．
20. AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30∘，则
∠BOD=________∘．
三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）
21. 如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=
BD．
(1)判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
(2)当OA=3，OC=1时，求线段BD的长．
22. 如图，OP是⊙O的半径，∠POT＝60∘，OT交⊙O于点S．
（1）过点P作⊙O的切线；
（2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由．
23. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过
点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的直径为13，BC=10，求DE的长．
24. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=3
．求证：CB是⊙O的切
5
线．
25. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=
∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）作AD⊥MN垂足为D，交⊙O于E，若DC=2√3cm，∠B=60∘，求直径AB的长．
26. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，
连接AE、EF．
（1）求证：AE是∠BAC的平分线；
（2）若∠ABD=60∘，则AB与EF是否平行？请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.
【答案】
C
【解答】
解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵ ∠AOB=30∘，OP=10cm，
OP=5cm，
∵ PD=1
2
∵ 以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB相切．
故选C．
2.
【答案】
A
【解答】
解：如图，连接OC．
∵ BC与⊙O相切于点C，
∵ OC⊥BC，即∠OCB=90∘．
∵ A=OC，
∵ ∠A=∠ACO=∠ACB−∠OCB=120∘−90∘=30∘．
故选A．
3.
【答案】
A
【解答】
解：∵ ⊙O的直径是6，
∵ ⊙O的半径是3，
而点O到直线l的距离为5，
∵ 直线l与⊙O相离．
故选A．
4.
【答案】
B
【解答】
解：
∵ CD、PA、PB是⊙O的切线，
∵ CA=CE，BD=ED，PB=PA=15，
∵ PC+CD+PD=PC+CE+PD+DE=PC+AC+PD+BD=PA+PB=2PA= 30，
即△PCD的周长为30，
故选B．
5.
【答案】
A
【解答】
解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵ d=5，r=6，
∵ d<r，
∵ 直线l与圆相交．
故选A．
6.
【答案】
D
【解答】
解：A、割线与圆相交也有公共点，但不是圆的切线，故不正确；
B、符合切线的概念，而不是圆的直径，故不正确；
C、应该为经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；
D、符合圆的切线概念，故正确；
故选D．
7.
【答案】
D
【解答】
解：如图，连接CO，DO，
∵ MC 与⊙O 相切于点C ，
∵ ∠MCO =90∘，
在△MCO 与△MDO 中，
{MC =MD ，
MO =MO ，CO =DO ，
∵ △MCO ≅△MDO(SSS)，
∵ ∠MCO =∠MDO =90∘，∠CMO =∠DMO ，
∵ MD 与⊙O 相切，故①正确；
在△ACM 与△ADM 中，
{CM =DM ，
∠CMA =∠DMA ，AM =AM ，
∵ △ACM ≅△ADM(SAS)，
∵ AC =AD ，
∵ MC =MD =AC =AD ，
∵ 四边形ACMD 是菱形，故②正确；
如图连接BC ，
∵ AC =MC ，
∵ ∠CAB =∠CMO ，
又∵ AB 为⊙O 的直径，
∵ ∠ACB =90∘，
在△ACB 与△MCO 中，
{∠CAB =∠CMO ，
AC =MC ，∠ACB =∠MCO ，
∵ △ACB ≅△MCO(SAS)，
∵ AB =MO ，故③正确；
∵ △ACB ≅△MCO ，
∵ BC=OC，
∵ BC=OC=OB，
∵ ∠COB=60∘，
∵ ∠MCO=90∘，
∵ ∠CMO=30∘，
又∵ 四边形ACMD是菱形，
∵ ∠CMD=60∘，
∵ ∠ADM=120∘，故④正确；
故正确的有4个.
故选D.
8.
【答案】
C
【解答】
解：∵ 直线l是⊙O的切线，
∵ OA⊥l，
∵ ⊙O的半径为5，
∵ 点O到直线l的距离是：5．
故选C．
9.
【答案】
B
【解答】
解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，
A、如图EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
D、如上图，EF⊙O有公共点，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
故选B．
10.
【答案】
D
【解答】
∵ AB是直径，
∵ ∠ADB＝90∘，
∵ AD⊥BC，故①正确；
连接DO，
∵ 点D是BC的中点，
∵ CD＝BD，
∵ △ACD≅△ABD(SAS)，
∵ AC＝AB，∠C＝∠B，
∵ OD＝OB，
∵ ∠B＝∠ODB，
∵ ∠ODB＝∠C，OD // AC，
∵ ∠ODE＝∠CED，
∵ ED是圆O的切线，故④正确；
由弦切角定理知，∠EDA＝∠B，故②正确；
∵ 点O是AB的中点，故③正确，
二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）
11.
【答案】
20
【解答】
∵ PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∵ PB＝PA＝10，CA＝CE，DB＝DE，
∵ △PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+ PB＝20．
12.
60,3√3
【解答】
解：∵ AB为⊙O直径，
∵ ∠ACB=90∘，∠A=60∘；
由弦切角定理知，∠ECB=∠A=60∘；
在Rt△ABC中，∠B=30∘，AB=12cm；
BC=AB⋅cos∠B=6√3cm；
在Rt△BCD中，∠B=30∘，BC=6√3cm；
CD=BC⋅sin∠B=3√3cm．
故∠ECB=60∘，CD=3√3cm．
13.
【答案】
是
【解答】
解：EF是⊙O的切线；理由如下：
连接OE，如图所示：
∵ ∠BAC=90∘，D为BC上的中点，BC=CD，
∵ AD=1
2
∵ ∠C=∠DAC，
∵ OA=OE，
∵ ∠DAC=∠AEO，
∵ ∠C=∠AEO，
∵ OE // BC，
∵ EF⊥BC，
∵ EF⊥OE，
∵ EF是⊙O的切线；
故答案为：是．
14.
【答案】
1
解：设△ABC的内切圆半径为r，
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，∵ AB=√AC2+BC2=5，
∵ S△ABC=1
2AC⋅BC=1
2
r⋅(AC+BC+AB)，
∵ r=AC⋅BC
AC+BC+AB =3×4
3+4+5
=1．
故答案为：1.
15.
【答案】
2√2
【解答】
解：∵ PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB=2，PC=4，∵ PA2=PB×PC，
∵ PA=√8=2√2．
故答案为：2√2．
16.
【答案】
9
【解答】
解：设PO交圆于C，延长PO交圆于D，设圆的半径是xcm；
∵ PA⋅PB=PC⋅PD，
∵ (7.5−x)(7.5+x)=36，
∵ x=4.5，
∵ 直径是9cm．
17.
【答案】
1
【解答】
解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∵ AF=AE，EC=CD，DB=BF，
∵ AE=2，CD=1，BF=3，
∵ AF=2，EC=1，BD=3，
∵ AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，∵ △ABC是直角三角形，
∵ 内切圆的半径r=3+4−5
2
=1.
故答案为：1．
18.
【答案】
8
3
【解答】
解：连接AO，
∵ PA是切线，点A是切点，
∵ PA⊥AO，
∵ ∠OAP=90∘，
设AO=x，则PO=x+3，
∵ x2+52=(x+3)2，
解得：x=8
3
，
∵ ⊙O的半径为8
3
，
故答案为：8
3
．
19.
【答案】
2√5
【解答】
解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，
∵ 直线AB与⊙O相切于点A，
∵ OA⊥AB，
∵ 弦CD // AB，
∵ AH⊥CD，
∵ CH=1
2CD=1
2
×4=2，
∵ ⊙O的半径为5
2
，
∵ OA=OC=5
2
，
∵ OH=√OC2−CH2=3
2
，
∵ AH=OA+OH=5
2+3
2
=4，
∵ AC=√AH2+CH2=2√5．
∵ ∠CDE=∠ADF，
∵ CÊ=AF̂，
∵ EF̂=AĈ，
∵ EF=AC=2√5．
故答案为2√5．
20.
【答案】
120
【解答】
∵ AC与⊙O相切，
∵ ∠BAC=90∘，
∵ ∠CAD=30∘，
∵ ∠OAD=60∘，
∵ ∠BOD=2∠BAD=120∘，
三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）
21.
【答案】
(1)证明：连接OB，
∵ OA=OB，DC=DB，
∵ ∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵ AO⊥OD，
∵ ∠AOC=90∘，即∠A+∠ACO=90∘，
∵ ∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∵ ∠ABO∠DBC=90∘，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
(2)解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，
即32+x2=(x+1)2，
解得x=4，
∵ 线段BD的长是4．
【解答】
(1)证明：连接OB，
∵ OA=OB，DC=DB，
∵ ∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵ AO⊥OD，
∵ ∠AOC=90∘，即∠A+∠ACO=90∘，
∵ ∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∵ ∠ABO∠DBC=90∘，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
(2)解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，
即32+x2=(x+1)2，
解得x=4，
∵ 线段BD的长是4．
22.
【答案】
如图所示
QP即为所求作的切线．
∵ ∠TOP＝60∘，∠OPQ＝90∘，∵ ∠OQP＝30∘．
OQ．
∵ OP=1
2
∵ OS＝OP，
OQ．
∵ OS=1
2
∵ S是线段OQ的中点．
【解答】
如图所示
QP即为所求作的切线．
∵ ∠TOP＝60∘，∠OPQ＝90∘，∵ ∠OQP＝30∘．
OQ．
∵ OP=1
2
∵ OS＝OP，
OQ．
∵ OS=1
2
∵ S是线段OQ的中点．
23.
【答案】
（1）证明：∵ AB是⊙O的直径，∵ ∠ADB=90∘，
即AD⊥BC，
∵ BD=DC，
∵ AB=AC；
（2）证明：连接OD，
∵ AO=BO，BD=DC，
∵ OD // AC，
∵ DE⊥AC，
∵ DE⊥OD，
∵ OD为半径，
∵ DE为⊙O的切线；
（3）解：过D作DF⊥AB于F，
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∵ AD平分∠CAB，
∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∵ DE=DF，
在Rt△ADB中，∠ADB=90∘，BD=1
2BC=1
2
×10=5，AB=13，由勾股定理得：
AD=12，
由三角形面积公式得：1
2AB×DF=1
2
AD×BD，
∵ 12×5=13×DF，∵ DF=60
13
，
即DE=DF=60
13
．
【解答】
（1）证明：∵ AB是⊙O的直径，∵ ∠ADB=90∘，
即AD⊥BC，
∵ BD=DC，
∵ AB=AC；
（2）证明：连接OD，
∵ AO=BO，BD=DC，
∵ OD // AC，
∵ DE⊥AC，
∵ DE⊥OD，
∵ OD为半径，
∵ DE为⊙O的切线；
（3）解：过D作DF⊥AB于F，
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∵ AD平分∠CAB，
∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∵ DE=DF，
在Rt△ADB中，∠ADB=90∘，BD=1
2BC=1
2
×10=5，AB=13，由勾股定理得：
AD=12，
由三角形面积公式得：1
2AB×DF=1
2
AD×BD，
∵ 12×5=13×DF，∵ DF=60
13
，
即DE=DF=60
13
．24.
【答案】
证明：连接OD，可得OB=OD，
∵ AB=AD，
∵ AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=3
5
，
∵ OE=9
5
，
根据勾股定理得：BE=√BO2−OE2=12
5，CE=OC−OE=16
5
，
在Rt△CEB中，BC=√CE2+BE2=4，∵ OB=3，BC=4，OC=5，
∵ OB2+BC2=OC2，
∵ ∠OBC=90∘，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．
【解答】
证明：连接OD，可得OB=OD，
∵ AB=AD，
∵ AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=3
5
，
∵ OE=9
5
，
根据勾股定理得：BE=√BO2−OE2=12
5，CE=OC−OE=16
5
，
在Rt△CEB中，BC=2+BE2=4，∵ OB=3，BC=4，OC=5，
∵ OB2+BC2=OC2，
∵ ∠OBC=90∘，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．
25.
【答案】
（1）证明：连接OC，
∵ AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∵ ∠ACB=90∘，即∠ACO+∠OCB=90∘，∵ OC=OB，
∵ ∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∵ ∠MCA=∠OCB，
∵ ∠ACO+∠MCA=90∘，
即OC⊥MN，
∵ OC为半径，
∵ 直线MN是⊙O的切线；
（2）解：∵ ∠B=60∘
∵ ∠MCA=∠CBA=60∘，
∵ AD⊥MN，
∵ ∠ADC=90∘，
∵ ∠DAC=30∘，
∵ DC=2√3cm，
∵ AC=2DC=4√3，
∵ AB是直径，
∵ ∠ACB=90∘，
∵ ∠CBA=60∘，
∵ AB=DC
sin60∘=√3
√3
2
=8(cm)．
【解答】
（1）证明：连接OC，
∵ AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∵ ∠ACB=90∘，即∠ACO+∠OCB=90∘，∵ OC=OB，
∵ ∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∵ ∠MCA=∠OCB，
∵ ∠ACO+∠MCA=90∘，
即OC⊥MN，
∵ OC为半径，
∵ 直线MN是⊙O的切线；
（2）解：∵ ∠B=60∘
∵ ∠MCA=∠CBA=60∘，
∵ AD⊥MN，
∵ ∠ADC=90∘，
∵ ∠DAC=30∘，
∵ DC=2√3cm，
∵ AC=2DC=4√3，
∵ AB是直径，
∵ ∠ACB=90∘，
∵ ∠CBA=60∘，
∵ AB=DC
sin60∘=√3
√3
2
=8(cm)．
26.
【答案】
（1）证明：连接BE；
∵ AB是⊙O的直径，
∵ ∠AEB=90∘．
∵ CD切圆于E，
∵ ∠AEC=∠ABE，又AC⊥CD．∵ ∠CAE=∠BAE．
即AE是∠BAC的平分线．
（2）解：AB // EF．理由如下：
∵ AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，
∵ AC // BD．
∵ ∠BAC=180∘−∠B=120∘．
∵ AE是∠BAC的平分线，
∵ ∠BAE=60∘．
∵ ∠DFE=∠BAE=60∘（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角），∵ ∠DFE=∠ABF．
∵ AB // EF．
【解答】
（1）证明：连接BE；
∵ AB是⊙O的直径，
∵ ∠AEB=90∘．
∵ CD切圆于E，
∵ ∠AEC=∠ABE，又AC⊥CD．
∵ ∠CAE=∠BAE．
即AE是∠BAC的平分线．
（2）解：AB // EF．理由如下：
∵ AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，
∵ AC // BD．
∵ ∠BAC=180∘−∠B=120∘．
∵ AE是∠BAC的平分线，
∵ ∠BAE=60∘．
∵ ∠DFE=∠BAE=60∘（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角），∵ ∠DFE=∠ABF．
∵ AB // EF．。